第十三单元　事件的相互独立性、频率与概率【一周一测基础知识专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十三单元事件的相互独立性、频率与概率【一周一测基础知识专项训练】单项选择题1.[2025重庆八中高一期末改编]甲、乙两人投篮相互独立,假设每人投篮命中的概率都是0.7,现甲、乙两人各投篮一次,则两人都没命中的概率为()A.0.49B.0.3C.0.21 D.0.092.[2025成都七中月考]某研究所进行新型作物种植实验,已知在第一次的试种中,种植300株植物,存活180株,由此估计,若试种2000株该植物,则可存活()A.1800株 B.1500株 C.1200株 D.1000株3.[2025佛山一中教学质量检测]下列说法正确的有()①随机事件A的概率是频率的稳定值,频率是概率的估计值②某人打靶,射击10次,击中7次,那么此人中靶的概率为0.7③一位同学进行掷硬币试验,掷6次,一定有3次正面朝上④某地发行福利彩票,回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报A.0个 B.1个 C.2个D.3个4.[2025长郡中学模拟]已知事件A,B是相互独立事件,且P(A)=23,P(B)=34,则P(ABA.112 B.12 C.512 5.[2025吕梁市凤山高级中学高一期末]甲、乙两人独立地解锁同一部手机,若两人能成功解锁的概率分别为23,12,则此手机被成功解锁的概率为(A.13 B.12 C.23 6.[2025广东省清远市211联盟期中联考]经过多年的技术积累,我国在车床加工零件方面取得长足进步.某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品、良品、合格品和不合格品四个等级.按以往统计数据:100个零件中有40件优品,50件良品,5件合格品和5件不合格品.现该工厂向某地发货1000件产品.对方验货的规则如下:如果抽检的第一件产品是优品或良品,则接收整批产品;如果抽检的第一件产品是合格品,则再检验两件,如果都是优品或良品,则接收整批产品.其余情况拒收整批产品.若用频率代替概率,用随机抽样的方法采样,则本批产品被拒收的概率是()A.0.065 B.0.0595 C.0.0455 D.0.04657.[2025广雅中学、执信中学等校高一期末联考]甲、乙两位同学进行羽毛球比赛,并约定规则如下:在每个回合中,若发球方赢球,则得1分,并且下一回合继续由其发球;若发球方输球,则双方均不得分,且下一回合交换发球权;比赛持续三回合后结束,若最终甲、乙得分相同,则为平局.已知在每回合中,甲获胜的概率均为23A.127 B.227 C.19 8.[2025黄冈中学月考]抛掷一枚质地均匀的硬币n次(其中n为不小于2的整数),设事件A表示“n次中至少有一次正面和一次反面朝上”,事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”,若事件A与事件B是独立的,则n的值为()A.2B.3 C.4 D.5多项选择题9.[2025浙江省杭州市西湖区期中]中国男子篮球职业联赛(CBA)中,某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况(不包括罚球)如下表:投篮次数投中两分球次数投中三分球次数1005518记该运动员在一次投篮中,“投中两分球”为事件A,“投中三分球”为事件B,“没投中”为事件C,用频率估计概率,下列结论中正确的是()A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27 D.P(B∪C)=0.5510.[2025平遥中学开学质量检测]已知A,B为两个随机事件,且A与B相互独立,若P(A)=2P(B),P(A∪B)=58A.P(A)=12B.P(B)=C.事件A,B恰有一个发生的概率为12 D.P(A∪B)=P(A)P(B11.[2025丰城中学高一期末]连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,用数字x表示第一次抛掷骰子的点数,数字y表示第二次抛掷骰子的点数,用(x,y)表示一次试验的结果.记事件A=“x+y=7”,事件B=“x≤3”,事件C=“xymod5≡1”(注:余数运算amodb≡c(b≠0)表示整数a除以整数b所得余数为c).则()A.P(C)=736 B.A与C为对立事件C.A与B相互独立 D.B与C相互独立填空题12.[2025吉林省实验中学开学考试]在一个试验中,某种豚鼠被感染A病毒的概率为40%,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率:先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数:192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为.

13.[2025南昌二中高一期末]由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由其中一人猜一个成语,活动共进行三轮,每人猜一次.已知甲猜对乙未猜对的概率为13,乙猜对丙未猜对的概率为14,丙猜对甲也猜对的概率为1814.[2025牡丹江一中高一期末改编]已知某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,若5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为34,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为23.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为解答题15.(13分)[2024北京四中期中改编]随着人民生活水平的提高,人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶,在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取500人作为样本,得到下表(单位:人).

老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080(1)从样本中任意取1人,求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率;(2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率;(3)依据表中三个年龄段的数据,你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1,使得整体对鲜奶的满意度提升最大?(直接写出结果即可)注:本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值.16.(15分)[2025青岛二中期中]某校体育组为了了解本校高一学生的体能状况,随机抽取了n名高一学生进行体能测试,将所得评分(百分制)按体育组制定的体能测试评价标准整理,得到如图所示的频率分布直方图.已知评分在[70,80)中的学生有100人,体能测试评价标准如下表.测试评分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]体能等级EDCBA(1)求n的值及频率分布直方图中t的值.(2)在抽取的体能等级为D的学生中,按照测试评分的分组分为两层,通过比例分配的分层随机抽样抽取3人进行体能训练.根据以往数据统计,经体能训练后,测试评分在[40,50)中的学生的体能等级转为B的概率为14,测试评分在[50,60)中的学生的体能等级转为B的概率为1317.(15分)[2025南山中学期中]多项选择题是高中数学考试中常见的题型,它一般从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案,其评分标准为全部选对的得6分,部分选对的得部分分(如有两个正确选项的每选对一个得3分,三个正确选项的每选对一个得2分),有选错的得0分.(1)考生甲有一道答案为ABD的多项选择题不会做,他随机选择一个或两个或三个选项,求他本题至少得2分的概率.(2)现有2道两个正确选项的多项选择题,根据训练经验,每道题考生乙得6分的概率为13,得3分的概率为12;每道题考生丙得6分的概率为14,得3分的概率为118.(17分)[2025北京四中高一期末]根据《国家学生体质健康标准》,高一男生和女生50米跑单项等级如下(单位:秒):50米跑单项等级高一男生高一女生优秀7.3及以下8.0及以下良好7.4~7.58.1~8.6及格7.6~9.58.7~10.6不及格9.6及以上10.7及以上从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学,将其50米跑测试成绩(单位:秒)整理如下:男生:7.07.27.27.37.47.47.57.57.98.38.69.6女生:7.47.67.67.87.98.08.38.48.79.29.410.4假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立.(1)分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率;(2)从该校高一男生中随机抽取1人,高一女生中随机抽取1人,求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率;(3)从该校高一女生中随机抽取2人,记“2人的50米跑单项等级至少有1个是优秀”为事件A,记“2人的50米跑单项等级至多有1个是优秀”为事件B,判断A与B是否相互独立.19.(17分)【学科综合】[2024绵阳中学入学考试]某企业为了推动技术革新,计划升级某电子产品,该电子产品核心系统的某个部件G由2个电子元件组成.如图所示,部件G是由元件A与元件B组成的串联电路,已知元件A正常工作的概率为23,元件B正常工作的概率为45,且元件A,B工作是相互独立的.(1)求部件G正常工作的概率.(2)为了促进产业革新,该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件,使得部件G正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为p(0.8≤p<1),且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案:方案一:新增两个元件都和元件A并联后,再与B串联;方案二:新增两个元件都和元件B并联后,再与A串联;方案三:新增两个元件,其中一个和元件A并联,另一个和元件B并联,再将两者串联.则该公司应选择哪一个方案,可以使部件G正常工作的概率达到最大?参考答案1.D两人都没命中的概率为(1-0.7)2=0.09.2.C第一次试种植物的存活率为180300=0.6,故若试种2000株,则估计可存活2000×0.6=120(株)3.B①(√)频率是较少数据统计的结果,是一种具体的趋势和规律.在大量重复试验时,频率具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增加,这种摆动幅度越来越小,这个常数叫做这个事件的概率.所以随机事件A的概率是频率的稳定值,频率是概率的估计值.②(✕)某人打靶,射击10次,击中7次,那么此人中靶的频率为0.7,但概率不一定为0.7(用频率估计概率时,随机事件发生的概率针对的是大量重复试验,对单独的一次或几次试验而言,很可能结果与经过大量重复试验得出的结果相差很大).③(✕)一位同学进行掷硬币试验,掷6次,不一定有3次正面朝上.④(✕)买这种彩票,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料.综上,正确的说法有1个.4.A因为事件A,B是相互独立事件,所以事件A,B也是相互独立事件(相互独立事件的性质:若事件A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B也相互独立),又P(A)=23,P(B)=34,所以P(A)=1-P(A)=13,P(B)=1-P(B)=14,所以P(AB)=P(A)5.D记事件A:此手机被成功解锁,则事件A:此手机没被解锁,甲、乙两人独立地解锁同一部手机,甲成功解锁的事件记为M,乙成功解锁的事件记为N,则P(M)=23,P(N)=12,P(A)=P(M)P(N)=[1-P(M)][1-P(N)],所以P(A)=1-P(A)=1-(1-23)(1-12)=1-136.B依题意:优品的概率为0.4,良品的概率是0.5,合格品的概率是0.05,不合格品的概率是0.05,且每件产品的等级是独立的,设本批产品被拒收的概率为P.方法一(间接法)P=1-0.9-0.05×0.9×0.9=0.0595.方法二(直接法)被拒收的情况包括:①第一件不合格;②第一件合格、第二件优良、第三件非优良;③第一件合格、第二件非优良,则P=0.05+0.05×0.9×0.1+0.05×0.1=0.0595.7.D根据给定条件,把所求概率的事件拆分成两个互斥事件的和,再利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式列式求解.设Ai=“第i回合甲胜”(i=1,2,3),则P(Ai)=23,P(Ai)=13,设事件M=“甲、乙两人平局”,依题意,甲、乙两人在比赛中平局只有0∶0与1∶1两种情况,即M=A1A2A3∪A1A2A3,因此P(M)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)8.B第一步:求P(A)抛掷一枚质地均匀的硬币n次,所有可能的结果有2n种.事件A表示“n次中至少有一次正面和一次反面朝上”,其对立事件A为“n次都是正面朝上或n次都是反面朝上”,A包含的情况有2种,所以P(A)=22n=12n−1.根据对立事件概率之和为1,可得P(A)=1-P(A第二步:求P(B)事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”,即“n次中没有正面朝上(全是反面朝上)”或“n次中有一次正面朝上”.“n次中没有正面朝上”的情况有1种;“n次中有一次正面朝上”的情况有n种.所以事件B包含的情况共有n+1种,则P(B)=n+12第三步:求P(AB)事件AB表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”,即“n次中有一次正面朝上”,有n种情况,所以P(AB)=n2第四步:利用P(AB)=P(A)P(B)建立方程,将选项代入验证因为事件A与事件B是独立的,所以P(AB)=P(A)P(B),即n2n=(1-12n−1)×n+12n,可得n=(1-12n−1)(n+1),展开得n=n+1-n+12n−1,即n+1=2n-1.当n=2时,2+1=3,22-1=2,等式不成立;当n=3时,3+1=4,23-1=4,等式成立;当n=4时,4+1=5,24-1=8,等式不成立;当9.ABCA(√)B(√)C(√)依题意,P(A)=55100=0.55,P(B)=18100=0.18,P(C)=100−55−D(✕)P(B∪C)=100−55100=0.45(P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.27=010.ACA(√)B(✕)D(✕)设P(B)=x,则P(A)=2x,0<x<12,由A与B相互独立,得P(AB)=P(A)P(B)=2x2,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=x+2x-2x2=58,解得x=14或x=54(舍去),则P(A)=12,P(B)=14,P(A)P(B)=18≠C(√)事件A,B恰有一个发生的概率为P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-12)×14+12×(1-1411.AC依题意,连续拋掷一枚质地均匀的骰子两次,样本空间的样本点总数为6×6=36,事件A=“x+y=7”包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个;事件B=“x≤3”包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共18个;事件C=“xymod5≡1”,包含的样本点有(1,1),(1,6),(2,3),(3,2),(4,4),(6,1),(6,6),共7个.A(√)P(C)=736B(✕)事件AC包含样本点(1,6),(6,1),故事件A与C不为对立事件.C(√)事件AB包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),共3个,故P(AB)=336=112,又P(A)=636=16,P(B)=1836=12,所以P(A)P(B)=P(AB),事件A与B相互独立(“事件A与B相互独立”是“P(A)P(BD(✕)事件BC包含的样本点有(1,1),(1,6),(2,3),(3,2),共4个,所以P(BC)=436=19,而P(C)=736,P(B)=12,所以P(BC)=19≠772=P(B)P(C12.0.320组随机数中,表示有两只被感染的有192,271,932,812,393,127,共有6组,故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为620=0.313.112设事件A=“甲猜对”,事件B=“乙猜对”,事件C=“丙猜对”,由题意,得P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[114.5619第一空:这对夫妻中,“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai(i=1,2,3,4,5),“妻子在科目二考试中第i次通过”记为事件Bi,则P(Ai)=34,P(Bi)=23.记事件A=“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,事件B=“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”,则P(A)=P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1A2)=34+14×34=1516,P(B)=P(B1+B1B2)=P(B1)+P(B1B2)=23+13×23=89,P(C)=P第二空:记事件D=“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,事件E=“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,事件F=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”,则P(D)=P(A1A2A3)=14×14×34=364,P(E)=P(B1B2B3)=13×13×23=227,P(F)=P(AE+BD)=P(A)P(E)+P(B)P(D)15.【解析】(1)设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A,样本总人数为500,其中对酸奶质量满意的人数为100+120+150=370,所以P(A)=370500=3750(2)用样本频率估计总体概率,该地区青年人对酸奶满意的概率p=150150+50=34(3)青年人.(13分)(理由如下:青年人总人数最多,对鲜奶的满意度较低,所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1,人数提高得最多,则整体对鲜奶的满意度提升最大)16.【解析】(1)由已知条件可得n=1000.02×10又因为每组的小矩形的面积之和为1,所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1,解得t=0.002.(5分)(2)由(1)可知,t=0.002,所以测试评分在[40,50)中的人数是测试评分在[50,60)中人数的12.若按比例分配的分层随机抽样抽取3人,则测试评分在[40,50)的有1人,在[50,60)的有2人.(8分)设事件M=“在抽取的3人中,经体能训练后至少有1人的体能等级转为B”.则事件M=“在抽取的3人中,经体能训练后没有人的体能等级转为B”,因为经体能训练后的等级转化情况相互独立,所以P(M)=(1-14)×(1-13)×(1-13)=34×23所以P(M)=1-P(M)=1-13=2故经体能训练后至少有1人的体能等级转为B的概率为23.17.【解析】(1)考生甲所有可能的选择答案有14种:A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,(2分)设事件N表示“本题至少得2分”,则N={A,B,D,AB,AD,BD,ABD},有7个样本点,(4分)所以P(N)=714=12(2)由题意得每道题乙得0分的概率为1-13-12=16,丙得0分的概率为1-14-1这2道多项选择题乙、丙总共刚好得18分的情况包含乙得12分,丙得6分;乙得9分,丙得9分;乙得6分,丙得12分三种情况,分别记为事件E,F,G,事件E:乙得12分,有6+6一种情况,丙得6分,有6+0,0+6,3+3三种情况,则P(E)=13×13×(14×14×2+12×1事件F:乙得9分,有6+3,3+6两种情况,丙得9分,有6+3,3+6两种情况,则P(F)=13×12×2×(14×12×2)事件G:乙得6分,有6+0,0+6,3+3三种情况,丙得12分,有6+6一种