第5章对函数的再探索（复习讲义）数学青岛版九年级下册

第5章对函数的再探索（复习讲义）1．掌握函数的概念，了解函数的表示方法，并且能解决相关实际问题。①掌握函数的概念；②了解函数的表示方法。③能解决函数的相关实际问题。2．学习反比例函数，理解其图像特征并且能将反比例函数应用到实际问题中去。①掌握反比例函数的概念;②理解其图像特征；③能够将反比例函数应用到实际问题中去3．掌握二次函数的图像和性质，理解和应用二次函数的标准形式，能够通过给定条件求出二次函数的具体表达式并且能够将二次函数的知识运用到实际问题中。①掌握二次函数的图像和性质；②理解和应用二次函数的标准形式，能够通过给定条件求出二次函数的具体表达式；③理解并能解决二次函数与一元二次方程的关系及实际问题；④能够将二次函数的知识运用到实际问题中，解决问题并做出合理解释。知识点01：函数与它的表示法1）函数的表示方法：图象法、列表法、解析法2）图象法的优缺点：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势，不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函数值。3）列表法的优缺点：列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值，不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值。4）解析法的优缺点：解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值，不足之处是不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式。5）函数：在同一个变化过程中，有两个变量x，y。如果对于变量x在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。知识点02：反比例函数1）反比例函数：一般的，形如y=（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。2）反比例函数的性质：反比例函数y=的图象称作双曲线。当k>0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。3）一般的，从反比例函数y=图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数|k|。知识点03：二次函数1）二次函数：一般的，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。2）二次函数y=ax2+bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围。知识点04：二次函数的图象和性质1）二次函数y=ax2的图象是抛物线。我们把二次函数y=ax2的图象也叫做抛物线y=ax2，它的对称轴是y轴。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y=ax2的顶是坐标原点。当a>0时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是它的最高点。2）二次函数y=ax2+c的图象是抛物线，它与抛物线y=ax2的形状相同，将抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平移|c|个单位长度便得到抛物线y=ax2+c。当c>0时，向上平移；当c<0时，向下平移。3）二次函数y=a（xh）2+k的图象是抛物线，它与y=ax2的图象形状相同，只是位置不同。因此，它可由抛物线y=ax2经过平移而得到。二次函数y=a（xh）2+k及其图象有如下性质：（1）a>0时，开口向上，顶点是图象最低点；a<0时，开口向下，顶点是图象最高点。（2）对称轴是经过点（h，0）且平行于y轴的直线x=h。（3）顶点坐标是（h，k）。（4）如果a>0，当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大。如果a<0，当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小。4）一般的，二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，它的对称轴是直线x=b2a（b2a，4ac−b24a）。若a>0，抛物线的开口向上。当x<b2a时，y随x的增大而减小，当x>b2a知识点05：确定二次函数的表达式1)如果已知图象的顶点坐标，把它的表达式写成y=a（x+h）2+k的形式，其中（h，k）已知，那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便可以利用待定系数法确定系数a的值。2)在二次函数y=ax2+bx+c的表达式中，a，b，c是待定系数，如果已知不共线的三点的坐标将它们分别代入这个表达式，便可得到一个关于a，b，c的三元一次方程组，解这个方程组，便可确定表达式中的未知系数。这就是说，知道不共线的三点的坐标，便可确定经过这三点的抛物线。知识点06：二次函数的图象与一元二次方程1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根；反之，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。知识点07：二次函数的应用1)一般的，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是抛物线的最低（高）点，所以当x=b2a时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值，最小（大）值为4ac−题型题型一根据反比例的定义求参数【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答．故答案为：．【答案】【分析】本题考查反比例函数的定义，一元二次方程的解法，掌握知识点是解题的关键．故答案为：．【答案】故答案为：．【答案】的值为．题型题型二判断反比例函数图象A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了正比例函数的图象，反比例函数图象，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据三个量，其中一个量一定，剩下两个量的函数关系来确定函数图象．故选：B．A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查了反比例函数的图象和应用，解题的关键是正确分析题意．根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可判断．故选：A．A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键．先根据圆柱体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的图象特点即可得．所以这个函数的图象为反比例函数的图象在第一象限内的部分．故选：C．【变式23】面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：∵面积为4的矩形一边为x，另一边为y，故选：C．题型题型三由反比例函数图象的对称性求点的坐标【答案】C【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决．∴它们的交点也关于原点对称，故选：C．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可．故选：A．【答案】D故选：．【答案】故答案为：．题型题型四已知反比例函数的增减性求参数【答案】D故选：D．【分析】本题考查反比例函数的增减性．熟记相关结论即可．【答案】∴，故答案为：．题型题型五已知比例系数，求特殊图形的面积【答案】C故选：C．A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案．故选：B．A．6 B．7 C．12 D．21【答案】A故选：A．【详解】解：如图，连接，，，，题型题型六二次函数图象与各项系数符号C．当时，y随x增大而增大 D．图象与y轴交点在正半轴【答案】D【分析】根据抛物线的对称性，抛物线的增减性等解答即可.本题考查了抛物线的对称性，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键.故A正确，不符合题意；故D错误，符合题意；故B,C正确，不符合题意；故选：D．【答案】C【详解】解：二次函数图象开口向下，二次函数图象与轴的交点在轴上方，二次函数图象与轴有个交点，故选：C．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．综上，正确结论的序号是②③④．故选：D．【答案】③⑤/⑤③【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．由抛物线的对称性以及图象可知，综上所述，正确的结论有：③⑤，故答案为：③⑤．题型题型七反比例函数、二次函数图象综合判断A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．故选：A．A． B． C． D．【答案】D故选：D．A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上，故选：．【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．题型题型八抛物线与X轴的交点问题【答案】C故选：C．【答案】B∴抛物线开口向上，∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，故选：B．【答案】C故选：C．(1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点；【答案】(1)见解析(2)1或5【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程综合．无论为何值，该抛物线与轴一定有交点；题型题型九根据交点确定不等式的解集【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的对称性、抛物线与线段交点个数等知识点，分情况画出图形成为解题的关键．【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键．∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为，∵二次函数的图象开口向下，【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解．题型题型十二次函数的应用【答案】9∵x为整数，故答案为：9．【变式101】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元．(1)用含的代数式表示下列各量．①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件．(2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？(3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．(2)55元件(3)当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．（1）①根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；②根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数；（2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可；（3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．（2）设每件商品降价元，依题意得：答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．（3）解：设总利润为，依题意得：答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元．(1)写出和的函数关系式：(2)3【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．【变式103】某企业在2024年14月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润）XX企业2024年14月净利润表经过月数（x）1234净利润数（y）91624(1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）；(2)补全表中的空格处并填空：本公司14月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来；(3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数）(2)空格处应填；17.5；10；3【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键．（1）根据待定系数法求解方程即可；（2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解；（3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可．故空格处应填；所以14月平均每月亏损17.5万元，故答案为：17.5；所以到2024年10月起，公司当月不再亏损，故答案为：10；则19月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利，11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元，2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元，从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元，理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来，故答案为：3；所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为：基础巩固通关测基础巩固通关测单选题A． B． C． D．【答案】A故选：．A． B．C． D．【答案】A故B，C选项不符合题意；故D选项不符合题意；P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像．故选：A．A．3 B． C．6 D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，已知比例系数求特殊图形的面积，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．∴点A为的中点，，故选：B．A． B． C． D．【答案】C故选项A，B，C，D都不符合题意；故选：C．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．故③错误；抛物线与轴有两个交点，故④正确；故选：C．二、填空题【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．∴反比例函数图象在二、四象限，【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键．先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可．∴点B的横坐标为，∴点P与点B关于原点对称，

【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的交点问题，解决此题的关键是正确的理解图示及不等式关系；先找到交点，是两个函数值相等的时候，再找到抛物线在直线下方的时候自变量的取值范围即可；【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，矩形的判定与性质等知识点．故答案为：．三、解答题(1)求的值；【答案】(1)(2)点不在此函数图像上；点在此函数图像上；【分析】本题考查的是反比例函数的定义与性质，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键．（1）根据反比例函数的定义即可求解；（2）根据待定系数法，把点代入函数的解析式即可求出k的值，再利用代入法判断在不在函数的图像上；又∵随的增大而增大∴在每个象限内y随x的增大而增大，(1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；【答案】(1)m的值为或【分析】本题考查二次函数的性质（与x轴的交点、二次函数的最值）．解题用到的思想是代数方程思想，方法是利用判别式解决抛物线与x轴的交点问题，利用二次函数的顶点式求最值；解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数最值的求解方法；易错点是在计算判别式和二次函数最值时，容易因符号或运算错误导致结果出错．这是一个关于m的二次函数，开口向下，其最大值在顶点处取得．(1)求该二次函数的顶点坐标；(2)见解析【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键．（1）将二次函数解析式化为顶点式，即可得到二次函数的顶点；（2）利用描点法画函数图象；（3）根据二次函数的图象直接解答即可．（2）解：列表：012300描点、连线，画图：0510203040501.21.00.80.60.40.30.240.202.03.23.62.72.3042.0(1)补全表格中的信息：_________________，___________________．(2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________．∴__________________，当且仅当_____________时等号成立．【答案】(1)2，3.2(3)40，3.6，10【分析】本题考查列函数关系式，求自变量和函数值，画函数图象，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键：（2）描点，连线，画出函数图象即可；（3）根据均值不等式，作答即可．故答案为：2，3.2；（2）描点，连线，画出函数图象如图：故答案为：40，3.6，10【直接应用】【知识迁移】（3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．（1）根据完全平方公式的特征判断即可；（2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值，以及x的值即可；（3）根据垂直于墙的长为x米，表示出平行于墙的长，进而表示出生物园的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可．故答案为：9；（3）设生物园的面积为，则能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题A．图象位于第一、三象限B．y随x的增大而减小【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．故选：B．A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握图象的形状和所在象限．根据一次函数的性质和反比例函数的性质求解即可．只有选项C符合要求．故选：C．【答案】B根据反比例函数的图像与性质逐项判断即可．故A正确；故B错误；故选：B．【答案】D【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．根据函数图象，确定交点横坐标，再找出直线在抛物线下方的部分，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为、，故选：D．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B则C的纵坐标是，即的横坐标是，故选：B．二、填空题【答案】故答案为：．【答案】②④/④②故答案为：②④．【答案】/故答案为：．其中正确的有．【答案】②④⑤∴抛物线的开口向上，故答案为：②④⑤．三、解答题(1)根据题意，列表如下：x…0…235…y…124……在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象．(2)观察图象，发现：②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______．【答案】(1)见解析【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移；（1）利用描点法画出函数图象即可；（2）通过观察图象即可求解；（3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可．【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示，（2）解：观察图象，发现：故答案为：增大；(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的