第04讲离散型随机变量的分布列与数字特征（复习讲义）（原卷版）

第04讲离散型随机变量的分布列与数字特征目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 2TOC\o"13"\h\u02体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 3知能解码 3知识点1离散型随机变量分布列 3知识点2离散型随机变量的均值 4知识点3离散型随机变量的方差 4题型破译 5题型1离散型随机变量分布列 5题型2离散型随机变量的均值 6题型3离散型随机变量的方差 904真题溯源·考向感知 1205课本典例·高考素材 13考点要求考察形式2025年2024年2023年求离散型随机变量的分布列及均值单选题填空题解答题北京卷T18（14分）北京卷T18（14分）/考情分析：北京卷中离散型随机变量及其数字特征的题目稳定出现在解答题位置，常作为概率统计大题的第二问或独立设问，分值在14分左右，属于“中档能力题”。核心考查离散型随机变量分布列的求解与书写规范性、期望与方差的计算及其实际意义的解释。试题常与古典概型、相互独立事件、二项分布等知识深度融合，构建有实际背景的概率模型。聚焦于分布列性质的验证与应用、期望与方差公式的准确运用，以及利用期望与方差进行决策判断，是核心的得分点与易错点。复习目标：1.理解离散型随机变量及其分布列的概念与性质，会求取有限值的离散型随机变量的分布列。2.理解离散型随机变量的期望（均值）与方差的含义，掌握期望与方差的计算公式。3.能利用分布列的性质（如概率之和为1）求解待定参数。4.熟练掌握期望与方差的性质，能进行相关计算。5.理解并掌握常见的离散型随机变量概率模型（两点分布、二项分布），能识别其适用条件，并计算其期望与方差。6.能综合运用概率与分布列的知识解决简单的实际问题，并能对计算结果（如期望值）做出合理的解释与判断。知识点1离散型随机变量分布列（1）定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i=1Xxx…x…xPpp…p…p称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式表示X的分布列．（2）性质：①；②i=1n自主检测设离散型随机变量X的分布列为：X01234P0.20.10.10.3m求随机变量η=X知识点2离散型随机变量的均值（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示．Xxx…xPpp…p则称EX=x1（2）均值的性质设X的分布列为PX=xi=p①EX+b=②EaX=③EaX+b=自主检测袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．(1)求PX=1(2)求随机变量X的分布列和数学期望．X012P5153知识点3离散型随机变量的方差（1）定义①DX=x1−EX2p1+x2②公式：DX（2）两个特殊分布的均值与方差分布期望方差两点分布ED超几何分布ED（3）方差的性质①离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差，即DX+b=而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的倍，即DaX=一般地，可以证明下面的结论成立：DaX+b=②随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的，反映了随机变量取值的．方差或标准差越小，随机变量的取值越；方差或标准差越大，随机变量的取值越．自主检测甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为X、η，且X和η的分布列分别为X012P613X012P532试比较这两名工人的技术水平及稳定性．题型1离散型随机变量分布列例11某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量X，求X的分布列.例12某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队.(1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；(2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列.【变式训练11】一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码.(1)求X>2的概率;(2)求X的分布列.【变式训练12】投掷四枚不同的金属纪念币A,B,C,D，其中A,B两枚正面向上的概率均为12，C,D两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为a0<a<1．将这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数．求ξ的分布列（用【变式训练13】一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球.(1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率；(2)记摸出的球的颜色种类为X，求X的分布列与期望.题型2离散型随机变量的均值例21（2025·北京海淀·二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：颜色小学生初中生高中生愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意黑色802040202020白色604030303010假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．(1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率p；(2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记X为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求X的分布列和数学期望EX(3)假设该市A学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为2:2:1，从A学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为pA，试比较pA与（1）中的例22（2526高三上·北京房山·开学考试）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下：生产方式工作时间（单位：min）第一种68

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92第二种65

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93假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率．(1)从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率；(2)从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由．例23（2526高三上·北京·开学考试）某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人）球类男生女生喜欢不喜欢喜欢不喜欢篮球400100200100羽毛球35015025050假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率；(2)从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计X的数学期望EX(3)将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为p0，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为p1，试比较p0【变式训练21】（2526高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．车型低收入群体（<20万/年）中收入群体（20万/年50万/年）高收入群体（>50万/年）愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意EV703070504040PHEV208060606020假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．(1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率p；(2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记X为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求X的分布列和数学期望EX(3)假设该市C社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为3:1:1，从C社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为pA，试比较pA与【变式训练22】（2526高三上·北京·开学考试）某学校为了解该校不同性别教师使用人工智能模型的情况，分别从男教师、女教师中随机抽取了部分教师，统计了他们上个月使用人工智能模型的时长，得到以下数据（单位：小时）：女教师：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55男教师：15，16，22，23，24，26，36，37，40假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名教师使用人工智能模型的情况相互独立．(1)该学校要对上个月使用人工智能模型时长不足20小时的职工进行专项调研，已知该校共有180名男教师，试估计该校需要参加此次专项调研的男教师人数；(2)从女教师中随机抽取2人，男教师中随机抽取1人，记X为这3人中上个月使用人工智能模型时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望：(3)设样本中女教师使用人工智能模型时长的方差为s12，男教师使用人工智能模型时长的方差为s22，写出【变式训练23】（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，40,50，五个区间进行分组，所得样本数据如下表：使用次数分组区间初中生人高中生人[0,10)43[10,20)3829[20,30)4828[30,40)a1740,5063假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率．(1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；(2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布列和数学期望；(3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20,30)的人数分别为Y1和Y2，比较DY【变式训练24】（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按40,50，50,60，…，90,100分组整理得到如下频率分布直方图：(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；(2)从B地区评分为80,100的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为μ1，A，B两地区评分的平均值估计为μ，比较μ1与题型3离散型随机变量的方差例31在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者A1,A(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列及数学期望、方差.例32（2526高三上·北京·开学考试）北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表：类型A（古代皇家宫苑建筑）B（古代皇家祭祀建筑）C（古代城市管理设施）中轴线遗产点景山故宫端门太庙社稷坛天坛钟鼓楼正阳门永定门在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学(1)求选取的3处遗产点都为A类的概率；(2)设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望；(3)设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为YA，YB，YC，记D1=DYA，D2=D例33（2425高三上·北京东城·期末）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：青少年组中年组老年组愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意第一款402080202020第二款303060403010第三款501080201030假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.(1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记X为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求X的分布列和数学期望EX；(3)用“ξi=1i=1, 2, 3”表示顾客愿意购买第i【变式训练31】甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分η的期望和方差.【变式训练32】山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、B、C三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）．ABC66

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94假设所有游客消费金额相互独立.(1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数；(2)从来自A地区和B地区的游客中各随机选取一人，记X为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计X的数学期望EX；(3)从样本中来自A、B、C三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为ξ1, 【变式训练33】第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：12月16日星期六9:30单人雪橇第1轮10:30单人雪橇第2轮15:30双人雪橇第1轮16:30双人雪橇第2轮12月17日星期日9:30单人雪橇第3轮10:30单人雪橇第4轮15:30团体接力(1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记X为看到双人雪橇的次数，求X的分布列及期望E(X)；(3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“ξ1=1”表示小明在周六看到单人雪橇，“ξ1=0”表示小明在周六没看到单人雪橇，“ξ2=1”表示小明在周日看到单人雪橇，“1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p12．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中3．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）4．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111.设X是检测的总次数，求X分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)一、解答题1．从8名男生和6名女生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用X表示所选5人中女生的人数，求EXX012345P5642084056012062．已知15件同类型的零件中有2件是不合格品，从中任取3件，用随机变量X表示取出的3件中的不合格品的件数．求：(1)X的概率分布；(2)X的均值EX3．假定某射手每次射击命中目标的概率为23．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击