空间点直线平面之间的位置关系（5大考点6大题型）（讲义精练）

7.2空间点、直线、平面之间的位置关系目录TOC\o"12"\h\z\u01课标要求 202落实主干知识 3一、四个公理 3二、直线与直线的位置关系 3三、直线与平面的位置关系 4四、平面与平面的位置关系 4五、等角定理 403探究核心题型 5题型一：共面、共线、共点问题的证明 5题型二：判定空间两条直线是异面直线 9题型三：截面问题 13题型四：平面的基本性质 17题型五：等角定理 21题型六：异面直线所成的角 2504好题赏析（一题多解） 2905数学思想方法 32①数形结合 32②转化与化归 34③分类讨论 3806课时精练（真题、模拟题） 40基础过关篇 40能力拓展篇 47

1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2、了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．

一、四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．二、直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号a∥b公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内三、直线与平面的位置关系位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号∥公共点个数无数个10四、平面与平面的位置关系位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号∥公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上五、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

题型一：共面、共线、共点问题的证明(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)证明，，相交于一点．【解析】（1）证明：连接，，如图所示，【解题总结】共面、共线、共点问题的证明（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【解析】取的中点，的中点，连接、、，是的中点，是的中点，是的中点，所以、、、共面.(1)求证：、、、四点共面；所以、、、四点共面；题型二：判定空间两条直线是异面直线【例题3】取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（

）A．16 B．24 C．32 D．48【答案】B【解析】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条，故选：B．A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定【答案】C故选：C【解题总结】判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．【变式4】若为异面直线，且它们之间的距离为，则空间中与，均异面且距离也均为的直线的条数为（

）A．0条 B．1条C．多于1条，但为有限条 D．无数条【答案】D【解析】过公垂线段中点的双曲面上的直线满足要求．故选：D.【答案】A又是的中点，所以直线与直线垂直；所以直线与直线异面，不相交，故B不正确；对于C，以为原点，建立如图空间直角坐标系，故直线与直线不平行，故C不正确；故直线与直线异面是正确的，故选：AB．与是异面直线【答案】C所以C不一定正确.如图：故选：C题型三：截面问题【解题总结】（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．因为为的中点，由相似比可知为的中点，【变式8】E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是.【答案】五边形【解析】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，连接AP交BC于M，连接AQ交A1D1于N，连接NF、ME，则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面；故答案为：五边形.【解析】如图，取、、分别为、、的中点，取的中点，连接、，题型四：平面的基本性质【例题7】（多选题）下列命题是真命题的是（

）B．若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线【答案】AC对于C，经过一组相交直线或一组平行直线，有且仅有一个平面，故C为真命题；故选：AC．【例题8】（多选题）下列结论错误的有（

）A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．D．没有公共点的两条直线是异面直线．【答案】BCD【解析】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平面;所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.故A正确；对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故B错误；对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C错误；对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D错误故选：BCD.【解题总结】平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基本构成单元，其存在与确定的唯一性。【变式10】（多选题）（2526高三上·河北·开学考试）下列命题正确的有（

）A．一条直线和一个点确定一个平面B．直线与平面垂直，在平面内存在无数条直线与直线相交C．直线与平面相交，平面内存在无数条直线和直线异面D．平面与平面垂直，若直线与平面垂直，则直线与平面平行【答案】BC【解析】对于A，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，故A错误；对于B，平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，B正确；对于C，设直线与平面的交点为，平面内所有不经过点的直线都与直线异面，这样的直线有无数条，故C正确；对于D，直线还有可能在平面内，D错误.故选：BC.A．和异面 B．和共面【答案】ABD故选：ABD【变式12】（多选题）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面，使得点A、B到平面的距离之比为1:2，则这样的平面不可能有（

）A．无数个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】BD【解析】线段与的位置关系有以下四种，如图，当线段与异面时，有两种情况，当线段与平行时，此时A、B到平面的距离之比为，故这样的平面为0个，故选：BD题型五：等角定理【答案】故答案为：.【答案】或由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角，【解题总结】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【答案】2考虑到，夹角为，所以同一平面的角平分线与，的夹角大小为，综上，满足条件的直线共2条．故答案为：2.【答案】/9:25故答案为：【答案】故答案为：题型六：异面直线所成的角【答案】则与所成角大小等于与所成角的大小，故答案为：【答案】补全可得如图所示的正方体，所以直线与所成角的大小为.故答案为：.【解题总结】（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型．（2）求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．【答案】75°或15°【解析】因为､分别为､的中点，取中点，因为直线与直线所成的角为，所以直线和直线所成角为或.故答案为：或.【答案】/即直线与直线所成角的余弦值为.故答案为：.

若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．【解析】解：【方法一】取PD的中点G，连接EG，AG，如图，EG，AG即为所求画线．理由如下：平面ABEG为过点E和棱AB的平面，截面四边形ABEG是直角梯形，【方法二】取PD的中点G，连接EG，AG，如图，EG，AG即为所求画线．理由如下：EG，AG即为所求画线，截面四边形ABEG是直角梯形，理由如下：如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

求证：DP，RQ，BC三线共点．所以O在BC上，所以DP，RQ，BC三线共点．解：由知DP，BC共面，且交于点O，

①数形结合1．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是

A．l与，都不相交 B．l与，都相交C．l至多与，中的一条相交 D．l至少与，中的一条相交【答案】D

【解析】解：与，可以相交，如图：该选项错误；B．l可以和，中的一个平行，如上图，该选项错误；C．l可以和，都相交，如下图：该选项错误；D．“l至少与，中的一条相交”正确，假如l和，都不相交；和，都共面；和，都平行；该选项正确．故选：2．三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B

【解析】解：按照三个平面中平行的个数来分类：三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；

三个平面中没有平行的平面：三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分；

三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；

综上，可以为4、6、7、8部分，不能为5部分，故选：3．在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B

【解析】解：对于选项A，点E，F，H确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在直线FM上，故E，F，G，H四点不共面；对于选项B，连结底面对角线AC，故E，F，G，H四点共面；对于选项C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E，F，G，H四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形，即点E，G，H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E，F，G，H四点不共面．故选：②转化与化归【答案】D

【解析】解：选项A，如图，连接EF，对于选项C，如图，延长EG，FH相交于点故选A． B． C． D．【答案】B

故选：④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､三点共线；A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C

【解析】故选③分类讨论7．若一条直线和一个平面平行，则称此直线与平面构成一个“平行线面对”．在一个正方体中，由经过两个顶点的直线和经过四个顶点的平面所构成的“平行线面对”的个数是A．48 B．44 C．36 D．24【答案】A

当该直线为面对角线所在直线时，有1个面与其构成“平行线面对”，共12对；

当该直线为体对角线所在直线时，无．综上，共48对，故选A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直【答案】C

【解析】解：当N不与A或B重合时，SB是平面SAB内的一条直线，MN是平面SAB外的一条直线，且M不在SB上，可知BS与MN异面；当N与B重合时，可知MN与BS相交；当N与A重合时，可知SB与MN垂直．直线BS与MN不能平行．故选：9．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（

）A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线【答案】C

【解析】对于任意的直线l与平面，分两种情况：若l于不垂直，则它的射影在平面内为一条直线，在平面内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；综上，对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l垂直，故选：

基础过关篇A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B利用排除法可得选项B正确.故选：B.【答案】B故选：BA． B． C． D．【答案】D所以异面直线AF与BD所成角的余弦值为.故选：D.4．下列命题中，是真命题的是（

）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形【答案】C【解析】对于A，两组对边分别相等的四边形可以是空间四边形，故A不正确；对于B，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，故B不正确；对于C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确；对于D，四边相等，四个角也相等的四边形可以是空间四边形，故D不正确.故选：C.5．下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（

）A．这两条直线可能既共面，又共点B．这两条直线可能既不共面，又不共点C．这两条直线可能共面但不共点D．这两条直线可能共点但不共面【答案】D【解析】设是空间中不重合的两条直线，对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确；对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确；对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确；对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误.故选：D6．若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（

）A．直线在平面内 B．直线平行平面C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行【答案】D【解析】由题，设直线为，平面为，要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得，当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意，故直线与平面相交或平行．故选：D．7．下列说法其中正确的是（

）A．四边相等的四边形是菱形．B．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．D．两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线．【答案】D【解析】选项A：只有平面内四边相等的四边形才是菱形，空间内四边相等的四边形可以构成立体图形，故A错误；选项B：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故B错误；选项C：若平面内无数条直线均平行，则两个平面可以平行或相交，故C错误；选项D：两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线，故D正确；故选：DA． B． C． D．【答案】B【解析】画出图象如下图所示即直线与所成的角的大小为故选：9．（多选题）如图所示，G､H､M､N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BD故直线，是异面直线；易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交，不是异面直线．故直线，是异面直线.故选：BD．C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交【答案】AD故选：AD11．直线为异面直线，直线为相交直线，则直线的位置关系是．【答案】相交或平行或是异面直线当棱所在直线为时，相交；当棱所在直线为时，是异面直线，所以直线的位置关系是相交或平行或是异面直线.故答案为：相交或平行或是异面直线12．三条直线两两相交可以确定个平面．【答案】1或3【解析】（1）三条直线共面时，则确定1个平面；（2）三条直线不共面时，则三条直线必交于一点，此时每两条直线确定1个平面，共确定3个平面.则三条直线两两相交可以确定1个或3个平面.故答案为：1或3（2）连接，如图所示，所以与是异面直线．

能力拓展篇A． B． C． D．【答案】A故异面直线与的夹角为．故选：A【答案】D【解析】A