人教版九年级数学下大单元教学分层优化练273位似（基础练提升练拓展练达标检测）-1

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练27.3位似（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版）知识点1、位似图形两个图形不仅相似，而且对应点连线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心。（1）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．（2）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．题型1识别位似图形例1．下列选项中的两个图形不是位似图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了位似图形的判断，判断的方法是：连接对应点的连线是否交于同一点，如果交于同一点，则是位似图形，对每项进行一一分析即可．【详解】解：、连接两个正六边形对应点交于正六边形的中心，故是位似图形，故选项不符合题意；、连接两个相似四边形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意；、连接两个相似三角形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意；、连接此两个相似箭头图形的对应点不交于同一点，不是位似图形，故选项符合题意．故选：．【变式11】．下列图形中是位似图形的是（

）【答案】B【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可．【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意；B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意；C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意；D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意；故选：B．【变式12】．下列说法中，正确的个数有（

）①位似图形都相似；②两个等边三角形一定是位似图形；③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；④两个圆一定是位似图形；A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】本题考查位似，相似，掌握相关知识是解决问题的关键．根据概念逐项判断即可【详解】①位似图形都相似，原命题正确，故此选项符合题意；②两个等边三角形不一定是位似图形，原命题错误，故此选项不符合题意；④两个圆一定是位似图形，原命题正确，故此选项符合题意；故选：B．【变式13】．下列图形中，不含有位似图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，、、三个图形中的两个图形都是位似图形；中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：．【点睛】此题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．题型2判断位似中心A．点M B．点N C．点Q D．点P【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键．根据位似中心是位似点连线的交点判断即可．【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心．故选：D．【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的位似变换，涉及位似中心的确定、位似图形的绘制以及根据位似关系确定点的坐标．（1）连接、，交点即为；(1)请在方格图中画出位似中心；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图—位似变换：（1）对应点连线的交点即为位似中心；（2）利用位似变换的性质画出图形．(1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）；【答案】(1)图见解析【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．（1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求；（2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得．【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求．知识点2、位似图形的性质（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．题型3求两个位似图形的相似比【答案】故答案为：．【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案．∴相似比为．【变式32】．如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的周长扩大为原来的倍．【答案】100【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握知识点是解题的关键．【详解】解：由题意，得，即这个三角形的周长扩大为原来的100倍；故答案为：100．【答案】已知两个图形是位似图形，则其相似，根据相似比可求解．故答案为：题型4求位似图形对应点的坐标【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可；【分析】本题主要考查了坐标平面内的位似变换．掌握在平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律是解题的关键．根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可解答．【分析】本题要考查了位似图形和图象上的点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点问题，先解得点A和B的坐标，利用位似变换可得结果．【答案】8点E的纵坐标是8．故答案为：8.题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】该题考查了格点作图，涉及轴对称作图，作位似图形，作三角形的高，解题的关键是正确作图．（2）取格点，连接交于点H，即可解答．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了位似，相似三角形的性质等知识，解题的关键是：故答案为：．【答案】【详解】解：答案不唯一.如图，画法如下：（1）连接，，，，【点睛】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．【答案】见解析【分析】根据位似作图，分同侧、异侧两种情况解答即可．本题考查了位似作图，熟练掌握位似作图的基本步骤是解题的关键．（2）同（1），分别作出点B的对应点与，点C的对应点与；题型6在坐标系中画位似图形、找位似中心【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质和位似比，把M、N的横纵坐标都分别除以得到它们对应点P、Q的坐标，再描出，然后顺次连接O、P、Q即可．．(2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标；【答案】(1)见解析【分析】此题考查了位似变换的性质，还考查了学生的动手能力．题目比较简单，注意数形结合思想的应用．（1）根据位似变换的性质，即可画出位似三角形；（2）结合图形，由位似变化的性质，即可求得；（3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得．【分析】本题考查了位似图形的定义与作图．（1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，该点即为位似中心即可求解；（2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形．(1)在图中标出位似中心的位置；【答案】(1)画图见解析【分析】本题考查了利用位似变换作图，确定位似中心，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心P；【详解】（1）解：点的位置如图所示题型7在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键．（1）根据题意画出位似图形，即可求解；（2）根据相似比等于位似等于相应线段之比，即可求解．故答案为：．【答案】(1)见解析(3)【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键．（2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标；（3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)；【分析】本题考查坐标与图形变换旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键．（1）根据旋转的性质作图求解即可；（2）根据位似的性质作图即可；（3）根据位似图形的性质求解即可．故答案为：；．【分析】本题考查坐标与位似，利用相似三角形的性质进行求解，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，是解题的关键：（2）根据相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．知识点3、四种变换的异同图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的题型8识别图形变换类型例2．皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（

）A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换【答案】C【分析】本题考查了位似变换，解题的关键是理解位似变换的定义和特征．结合平移、轴对称、位似、旋转变换的定义，根据皮影戏中实物与影子的形成原理，判断变换类型．【详解】解：平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子的关系；轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合；旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，不符合；位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心．皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，且实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义．综上，实物与其影子之间的变换是位似变换，故选C．【变式81】．2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（

）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似【答案】B【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解．【详解】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转；故选：B．【变式82】．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（

）A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换【答案】A【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用．【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象；然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点．平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意；对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意；旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意；位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意．故选A．【变式83】．如图，甲图案变为乙图案，可以用（

）A．旋转 B．平移、旋转 C．位似、平移 D．轴对称、旋转【答案】D【分析】本题考查了平移、对称、旋转、位似等知识点，解题的关键是掌握相关知识灵活运用．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转；轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移；两个图形的对应点都交于一点，并且对应点到的距离的比值都相等的图形，叫做位似图形；根据旋转、平移、轴对称、位似图形的定义进行判断即可解答．【详解】解：甲图案先经过轴对称，再绕根部旋转一点角度即可得到乙，只有D符合题意，故选：D．题型9利用图形变换求图形中线段长度，周长、面积(1)画图并填空：连接线段，，发现如果一条直线平行于轴，那么这条直线上的所有点的_____坐标都相等；线段与轴的交点坐标是_____；(2)3.5；【分析】本题考查了坐标与图形、平移的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）先作出图形，结合图形分析即可得解；【详解】（1）解：如图：【答案】(1)（3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案．【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等．【变式92】．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和轴上的点．【答案】(1)和【分析】本题考查了中心对称图形的性质、圆的性质等知识，熟练掌握以上知识和数形结合是解题的关键．（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”．【详解】（1）解：如图所示：∴若线段是以点P为中心的“关联线段”，∴不可能在上，∴线段不是以点P为中心的“关联线段”，综上，以点P为中心的“关联线段”是和，故答案为：和．∴点的纵坐标为．又∵点在上，(2)【分析】本题考查直角坐标系，坐标系中的位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．（1）利用位似的性质得出，，，再连接即可解决；（2）利用三角形的面积公式即可求解．题型10坐标与图形综合(1)求经过B、C两点的直线的表达式．（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【答案】(1)见解析(3)的长度不会发生改变，的长度始终是9【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算（1）根据同角的余角相等得出结论即可；【详解】（1）解：如图，又∵点B在第三象限，（3）解：的长度不会发生改变．即的长度始终是9．(1)求点的坐标；(3)秒或秒．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、图形与坐标．因为点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段，向终点运动，所以要分点在线段上，点在点处，点在线段上运动三种情况求的表达式；（2）解：点从点出发，速度是每秒个单位长度，如下图所示，如下图所示，如下图所示，（3）解：如下图所示，如下图所示，【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可．题型11位似中的规律探究【答案】【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，找出规律是解题的关键．故答案为：．【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，找到正确的规律是解决本题的关键．根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论．∴后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，【变式113】【发现问题】数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题．小强同学经过分析，思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中发现了一些规律．【提出问题】【分析、解决问题】（2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想．【深度思考】【分析】题目主要考查相似三角形的性质，坐标与图形，二次函数的应用等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质进行分类讨论是解题关键．解得：；综合①②③④可知，的值为或1．(1)求A，B两点的坐标；(2)6【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．（1）联立一次函数和反比例函数，即可求出A，B两点的坐标；（3）解：点P在y轴上，(1)求a，b的值；(2)连接，【答案】(1)6，3【分析】本题主要考查了二次根式的双重非负性，偶次方的非负性，平面直角坐标系中三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式等知识点，解决此题的关键是合理的正确的计算．（1）根据二次根式的双重非负性和偶次方的非负性即可得到答案；（2）①根据坐标求出对应线段的长度，即可得到三角形的面积；②根据一次函数的待定系数法求出一次函数解析式，把横坐标代入即可求出答案；（3）根据三角形的面积得到不等式，求出不等式的解集即可∴点的横坐标是4，【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，理解“平行四边形对角顶点横，纵坐标的和分别相等”是解题的关键．(1)点A的坐标为__________；点B的坐标为__________；和的位置关系是__________．【分析】本题考查的是坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．（1）根据非负数的性质分别求出、，得到点坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系；（3）分点在点与中间、点在点的上方两种情况，根据平行线的性质解答即可．∵、的纵坐标相同，点在轴上，∵点在上，一、单选题（每小题3分，共24分）A．与轴平行 B．与轴平行 C．与轴垂直 D．与轴平行或重合【答案】D【分析】本题主要考查了坐标与图形，能根据两点的坐标特征判断过这两点的直线与坐标轴的位置关系是解题的关键．故直线与轴的关系为：平行或重合；故选D．2．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键．故选：．A．1 B．3 C．9 D．27【答案】C【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．故选：C．【答案】B【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.根据位似图形的坐标性质解答．故选：B．【答案】D【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算，判断即可．故选：D．【答案】B【分析】本题主要考查了位似变换中对应点的坐标的变化规律，根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，直接求解即可得到答案；故选：B．【答案】D【分析】本题考查坐标与位似图形，根据以原点为位似中心的对应点之间的坐标关系，进行求解即可，注意分两种情况进行讨论.【详解】∵位似中心为原点，相似比为，故选D.【答案】C【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心”，据此即可求解．故选：C二、填空题（每小题4分，共20分）【答案】9【分析】本题考查位似图形，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．故答案为：9【答案】【分析】本题考查了位似的性质，位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．根据位似的性质求解即可．故答案为：．【分析】本题考查了图形与坐标，平行四边形的性质等知识，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，分类