江西省赣州市赣南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

第1页/共1页赣南师大附中2024～2025学年度第一学期期中考试高二数学试卷2024年11月（考试时间：120分钟，满分：150分）出题人：廖慧敏审题人：高二数学备课组一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.过点，且在轴上的截距为的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件设出直线的斜截式方程，联立方程组即可解得.【详解】显然斜率存在，可设直线方程为，则，所以，所以直线方程为，即.故选：C2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算可得，进而可得模长.【详解】由已知，则，则，故选：C.3.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线与直线垂直，则，解得，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A.4.设圆，圆，则圆，的公切线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】B【解析】【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．故选：B．5.直线等分圆的周长，则的最小值为（）A.9 B.4C.6 D.18【答案】A【解析】【分析】圆心坐标代入直线方程得关系，然后利用基本不等式求最小值．【详解】由题意圆心坐标为，且圆心在直线上，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：A．6.已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】【分析】由圆的切线的性质可求得PC，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离.【详解】如图所示：设切点为Q，则|CQ|=1,|PQ|=26则PC=设Px,y，则由两点间距离公式得到(x−4)解得，因为y2=8x≥0，所以，因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为3−−2=5.故选：A.7.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设震中为，根据双曲线定义以及可求出结果.【详解】设震中为，依题意有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线靠近的一支，因为，当且仅当三点共线时，取等号，所以,所以，所以震中到地震台站的距离至少为.故选：A8.已知是圆上的动点，且．是圆的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，由弦长公式求得圆心到AB的距离，设AB中点为D，求出点D的轨迹为圆，从而由化简得，转化成两圆上的点间的距离问题即可求解．【详解】设AB中点为D，则由得，，即D点的轨迹方程为．,由于P点在圆上，所以，所以，即，所以.故选：D．【点睛】本题属于圆与平面向量结合的问题，由圆的弦长先求出弦的中点轨迹也为圆，再由平面向量加法运算进行转化，从而转化为两圆上的点的距离问题.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（）A.当或时，曲线是双曲线B.当时，曲线是椭圆C.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则【答案】AD【解析】【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的的范围即可.【详解】对于A，若曲线为双曲线，则，解得：或，A正确；对于B，若曲线为椭圆，则，解得：或，B错误；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，D正确.故选：AD.10.已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示及投影向量的定义一一计算即可.【详解】易知，显然，故A错误；易知：，故B正确；易知，故C正确；在上的投影向量，故D正确.故选：BCD11.我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为，，动点满足，化简可得卡西尼卵形线，则（）A.曲线C既是中心对称图形也是轴对称图形B.曲线C关于直线对称C.曲线C都在圆内D.曲线C与椭圆没有公共点【答案】ACD【解析】【分析】对于A：根据方程结合中心对称和轴对称分析判断；对于B：根据方程结合直线对称性质分析判断；对于C：根据题意分析可得，进而可得，即可得结果；根据椭圆定义结合基本不等式分析判断.【详解】对于选项A：曲线C上任取一点，把方程中的x，y换成得，把方程中的x，y换成得，把方程中的x，y换成得，可知点，，也在曲线C上，所以曲线C既关于原点对称，也关于坐标轴对称，A正确；对于选项B：把方程中的x，y互换得，即两方程表示的曲线不相同，所以曲线C关于直线对称，故B错误；对于选项C：由得，两边平方得，设O为原点，则，所以曲线C都在圆内，故C正确；对于选项D：椭圆的左、右焦点分别为，，若曲线C与该椭圆有公共点P，则，则，与矛盾，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为______.【答案】【解析】【分析】依据对称关系求出点坐标，后利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题意知点关于平面的对称点，由两点间距离公式知故答案为：13.若直线与直线平行，则与之间的距离为_______．【答案】【解析】【分析】根据平行线间的距离公式计算.【详解】因为直线与直线平行，所以与之间的距离．故答案为：14.已知椭圆的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为________．【答案】##【解析】【分析】由椭圆的定义及余弦定理得，，求解．详解】如图：令，，，则，．在和中，由余弦定理可得，．故．（1）在，中，由余弦定理可得（2）由可得．（3）由（2）（3）可得，从而．代入（1）可得，．因此．故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图所示，平行六面体中，，.（1）用向量表示向量，并求；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解；（2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【小问1详解】解：根据空间向量的线性运算，可得，可得，所以.【小问2详解】解：由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以.16.已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据离心率设，求出，代入焦点到渐近线的距离计算进而可得，则双曲线方程可求；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.【小问1详解】由题意得：，令，则，又焦点到渐近线的距离为，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为；【小问2详解】设，，联立方程组，消去整理得，则，，，所以，又原点到直线的距离，所以．17.已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.（1）求C的方程；（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解，（2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解.【小问1详解】C上一点到点F的距离为4,由抛物线定义可得，，抛物线的方程为．【小问2详解】设直线，，设,,,，将方程代入方程整理得，需满足，，故，解得，当时，满足，故符合题意，故直线方程为18.已知圆过三点，直线．（1）求圆的方程；（2）求圆关于直线对称的圆的方程；（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程；（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值.【小问1详解】设圆的方程为，代入，则，解得，所以圆的方程为；【小问2详解】设，由对称关系可知，解得，所以，又因为对称圆的半径不变，所以的方程为；【小问3详解】因，由（2）可知关于直线的对称点为，所以，当且仅当共线时取等号，所以，即的最小值为.19.已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．（1）求的方程．（2）不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.【小问1详解】令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得