【零点存在定理的证明及其应用研究5600字】

1 21.零点存在定理并证明 31.1零点存在定理与几何意义 31.2用闭区间套定理证明零点存在定理 3 4 5 6 6 72.零点存在定理的推广 82.1介值定理 82.2解析函数平均值公式 82.3最大模原理 92.4儒歇定理 2.5十一个推论 13.零点存在定理的应用 3.1导数中的应用 3.2理论中的应用 3.3生活中的应用 其几何意义.其次研究了闭区间套定理、解析函数平均公式、覆盖定理、勒贝格方法、确界存在定理和最大模原理，并且通过这些定理和方法来证明零点存在定理.最后再通过实例来说明零点存在定理在理论证明和生活中的应用.点的存在性问题.绍了闭区间套定理及其定义，并用闭区间套定理证明零点存在定理；文献[3]先给我们说了零点定理和它的几何意义，然后探究讨论了零点定理，并加以应用；文献[4]和一元二次方程中函数零点存在性定理在实根分布中的应用进行对比，得到了只要掌握一元二次方程隐含符号关系就能更容易解题的结论；文献[5]介绍了在高考题中零点存在定理在导数中的应用，在文中作者将导数问题和零点问题结合起来进行探究讨论；文献[6]介绍了零点存在定理在高考和竞赛中的应用，利用反证法解题将函数根的个数问行求解，据此得出函数零点个数的求解方法；文献[8]谈论了求函数零点个数的三种方法，得出了在求解函数零点个数时图像法和定义法较为简单，零点存在定理比较麻烦的结论；文献[9]研究了确界问题，并且进行了推广，还讨论了连续函数中的最大值等行应用.1.零点存在定理并证明零点存在定理是讨论方程解的存在性的理论基础，它可以通过覆盖定理、确界存在定理、解析函数平均值公式、最大模原理证明和儒歇定理来证明.几何意义因f(x)在[a,b]中连续，则f(x)是一条连续曲线.当f(a)、f(b)异号时，f(a)、f(b)分别在x轴上方与下方，则曲线至少过x轴一次.闭区间套定理可以将原来的闭区间的某种性质“浓缩到某一个点的附近.通过Bolzano二分法，函数f在区间[a,b]两端异号这个性质导致函数f在每个区间[a,bn]的两端异号，而且将这个性质“浓缩”到一个点ξ的任意邻域.从而如果f(ξ)≠0的话，就与连续函数的局部保号性矛盾.证记a=a,b=b₁,用区间的中点c₁=(a+b₁)/2从[a,b₁]一分为二得到两个闭子区间[a,c]和[c,b].考虑f(c)的符号，如果恰好有f(c)=0,则C₁就是f的零点.否则，由于f(a)和f(b)异号，其中一定有一个值的符号和f(c)的符号相反.因此在两个这个闭子区间中必有一个闭子区间，在它的两端f的值异号.将这个闭子区间记为[a,b₂],这时满足条件f(a₂)f(b₂)<0.用数学归纳法可以证明，或者在有限次运用二分法后已经找到f的一个零点，或者上过程可以无限地做下去，得到一个闭区间对这个{|ab|}应用闭区间套定理，就存在一个点ξ,使考虑f(ξ)的符号，若f(ξ)≠0,则从连续函数的布局保号定理，就有ξ的一域o(ξ),使得f在领域o(ξ)上同号，但当n充分大时，a和b将同时进入这个邻域，此时保号性与f(aₙ)f(b)<0矛盾，因此只能有f(ξ)=0.这个证明方法有一个优点，即可以用于求近似解.我们将这类证明方法称为构造性证明.例如，设f在区间[0,1]上连续，f(0)·f(1)<0,且只有一个根ξ,用以上二和闭区间套定理的证明比较，用覆盖定理证明是构造性的，它断定了根的存但并未提供方法去求这个根.用覆盖定理证明的这种方法称为非构造性证明，或纯粹存在性证明.数轴上有点集S,H为(a,b)的集合，S中任一点都在至少一个开区间内，则H为S的开覆盖.H的开区间个数有限，则H为S的有限覆盖.设H为[a,b]的无限开覆盖，则H中可选出有限个开区间来覆盖.证反证法.设连续函数f在区间[a,b]两端有f(a)f(b)<0,在区间中无零点.取x₀∈[a,b],因f(x₀)≠0,则3δ>0,使f[a,b]中的每一个点都这样做，就得到区间[a,b]的一个开覆盖.在这个开覆盖中的每一个开区间内，函数f保号.若现在直接用开覆盖定理，则不容易说清楚如何引出与条件f(a)f(b)<0矛盾.改用加强形式的覆盖定理，3δ>0,使得对[a,b]中的任何两点x',x”,只要|x-x”|<δ,就有开覆盖中的某一个开区间将这两个点x'用这个数δ在区间[a,b]中插入一系列点，连同端点一起，记为使得i∈{1,2…,n}.由于f(x₋)f(x,)>0,i∈{1,2…n},可见f(a)f(b)>0.这个证明没有能够提供具体的求根方法，但从方法上看并不抽象，倒是有很直观的几何意义.对数集S={x},x为理想实数，若7满足：(1)η是S的上界，即对一切x∈S,都有x≤η(x≥η);(2)对任给的误差界ε,必然存在S中的某一个理想实数x₀,使得x>η-ε(x₀<η+ε).即7是S的最小上界，则称7为数集S的上确界，同理下确界，记作：设S≠0,若S有上界，则S必有上确界.证为确定起见，设f(a)>0,f(b)<0.定义数集从f(a)>0知a∈S,所以S为非空有界数集.由确界存在定理，记ξ为S的上确界.由于f(b)<0,我们知道f在b附近也取负值(局部保号性),因此只要证明f(ξ)>0和f(ξ)<0都不可能.如f(ξ)>0,则ξ∈S.因ξ<b,且连续函数有局部保号性，则f在点ξ邻近的右侧也取正值.这与ξ时数集S的上届矛盾.如f(ξ)<0,设f∈B(a,R)nc(B(a,R)),则Vr≤R有零点.1.设f(z)在D解析，且f(z)≠c(C是常数),则f(z)在D上不会有最大值.设f(z)在D上解析，若3M∈R,且Va∈OD证若f(z)在|z|≤R上没有零点，使,那么F(z)一定不是常数，且|z|=R时有|F(z)|<|F(O),则矛盾，则f(z)在|z|<R上至少一个零点.儒歇定理在复变函数里面是非常重要且具有知名度的，它不仅在理论中有着很重要的地位，而且在应用上有着非常重要的作用.除此之外，我们使用它不仅可以判断零点有几个，还可以知道零点都分布在哪里.在D中，C为简单闭曲线，且f(z)与g(则f(z)和f(z)+g(z)有一样多的零点.证若f(0)=0,则f(z)在|2|<R内有至少一个零点.若f(0)≠0,则在|z|=Rf(z)-f(0)有至少一个零点，则f(z)-f(0)在|z|<R中零点个数大于等于1.故f(z)在|z|<R中有大于等于一个零点.2.零点存在定理的推广使用零点定理是有限制的，第一个条件是在[a,b]上要为连续函数，第二个条件是f(a)·f(b)<0,所以我们要对它进行推广，以便于它能更好的应用.我们经常把介值定理称为中间值定理，在闭区间上连续函数中，介质定理是它的性质之一.在连续函数的一个区间中，介值定理是指连续函数的函数值处于最大值和最小值之间，而零点定理是介值定理的特殊情况.设f(x)在[a,b]上连续，在其端点取不同函数值f(a)=A及f(b)=B,则A、B间取任意数使f(x)=C(a<x<b).证设f∈C(I),其中I为区间.为了证明f(I)是区间，只要证明：若有x′,x”∈I,且f(x')≠f(x”),则函数f能取到在f(x')和f(x")之间的每一个值.为确定起见，只写出x'<x”,f(x')<c<f(x”)时的证明.我们要证明，存在点η∈(x,x")=1,F(x)=f(x)-c,F(x)F(x”)=(f(x)-c)(f(这就是f(n)=c.在D中，设f(z)解析，但f(z)不是常函数，则|f(z)不会在D中有最大值.则f(z)在K中展成幂级数于是，取0有其中令ζ=a+re⁶,则dζ=ire⁶dθ(0≤θ≤2π),所以由(2)式知,所以在[-π,π]内收敛，把求和与积分的顺序交换得因因