广东省金太阳2026届高三上学期11月联考 数学（含答案）

高三数学参考答案

题序1234567891011121314

CACBADBDBCDABACD

答案4\

十∞)

【评分细则】

【1】第1~8题,凡与答案不符的均不得分.

【2】第9,11题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得2分;第10题,全部选对的

得6分,有选错的不得分,每选对一个得3分.

【3】第12题第一空2分,第二空3分,第二空的答案也可以写为

【4】第13题,其他结果均不得分.

【5】第14题第一空2分,第二空3分,第二空的答案也可以写为

1.C【解析】本题考查复数的运算与复数的概念,考查数学运算的核心素养.

义=3十4i—8=—5十4i,其实部为—5.

2.A【解析】本题考查等差数列,考查数学运算的核心素养.

S

3.C【解析】本题考查集合的并集与交集,考查逻辑推理的核心素养.

由题意得4呋M,1呋N,8呋N,则M可能为{1,6,7},不可能为{1,4,6},N不可能为{0,4,8}

和{1,4,7}.

4.B【解析】本题考查函数的奇偶性与函数的图象,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

因为f(—父)=(—父)2(2—父—2父)=—f(父)(父∈R),所以f(父)为奇函数,其图象关于原点对

称,排除A与C.因为f,所以排除D.故选B.

5.A【解析】本题考查椭圆的定义与离心率,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.

由10,得点P到(0,—1),(0,1)这两个点的距离之和为

10.由椭圆的定义可知,点P的轨迹是以(0,—1),(0,1)为焦点,10为长轴长的椭圆,则c=

1,2a=10,所以点P的轨迹的离心率为

6.D【解析】本题考查简单几何体的棱数与面数,考查直观想象与数学运算的核心素养.

因为正四棱锥的棱数与面数分别为8,5,正三棱台的棱数与面数分别为9,5,所以α(Ψ4)=8

十5=13,α(T3)=9十5=14,所以α(Ψ4)<α(T3),A,C均错误.同理可得α(T5)=22,α(T6)

=26,α(Ψn)=2n十1十n=3n十1,因为3×7十1=22,3n十1=26无正整数解,所以不存在

【高三数学●参考答案第1页(共8页)】26-118C

Ψn,使得α(Ψn)=α(T6),存在Ψn,使得α(Ψn)=α(T5),B错误,D正确.

7.B【解析】本题考查二项式定理,考查逻辑推理与数学运算的核心素养及分类讨论的数学

思想.

r

55—r

由题意可知×2=64,得a=3,的展开式的通项Tr十1=C父=

r5—2r

C5父(r=0,1,2,3,4,5).令5—2r=1,得r=2,令5—2r=—1,得r=3,故该展开式的常

数项为●C父—父●C父—1=20.

父

8.D【解析】本题考查圆与平面向量的交汇,考查直观想象与数学运算的核心素养.

—→—→—→—→—→—→—→3—→1—→

设M(父,y).由AM=2MB,得OM—OA=2(OB—OM),即OB=OM—OA,所以点B

22

222

的坐标为y).因为点B在圆O上,所以(父—1)十(y)=4,即(父—)十

y2=,则点M的轨迹是以P(,0)为圆心,为半径的圆.因为点N在圆P的外部,所以

|MN|的最小值为

9.BCD【解析】本题考查双曲线的几何性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

因为a2=4,b2=6,c2=4十6=10,所以a=2,b=\,c=\,所以Ω的虚轴长为2\,实轴

长为4,焦距为2\,渐近线方程为y父,A错误,B,C,D均正确.

E

10.AB【解析】本题考查立体几何初步的综合,考查直观想象与数学运算

的核心素养及空间想象能力.

AFB

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1丄底面ABC,则AA1丄CD.因为DG

为棱AB的中点,所以CD丄AB.又AA1∩AB=A,所以CD丄平面OC

ABB1A1.因为CDC平面CDE,所以平面CDE丄平面ABB1A1,A正

确.取棱AC的中点M,设四面体ACDE外接球的球心为O,连接OM,D

AB

DM,OD.易知OM丄底面ABC,DM=BC=1,OM=DE=,所M

C

以OD2=DM2十OM所以四面体ACDE外接球的表面积为13π,

B正确.直线CE与直线A1B1异面,C错误.

设DE与A1B1交于点H,AE与A1B1交于点F,CE与HC1交于点G,连接FG,则四面

体ACDE与正三棱柱ABC-A1B1C1的公共部分为三棱台FGH-ACD,△ACD的面积S=

2

××22=.因为===,所以△FGH的面积为()S=,所以三

棱台FGH-ACD的体积V=×2×(十十\×)=,D错误.

11.ACD【解析】本题考查新定义、函数的性质与最值,考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的

【高三数学●参考答案第2页(共8页)】26-118C

核心素养.

易知y是R上的奇函数,其图象关于原点对称,当父>0时,0<y

父十

父

2—22父

≤=1,当父<0时,0>y=≥—1,所以y=的最大值与最小值的差为2,

21父2十1

—父十

—父

所以y是R上的完美函数,A正确.

若f(父)是D上的完美函数,则f(父)在D上的最大值与最小值的差不大于2,则y=

2f(父)在D上的最大值与最小值的差可能大于2,则g(父)=2f(父—1)不是D上的完美函

数,B错误.

易证y=lglg是奇函数,因为lg

—lg(\父2十1十父),所以y=lg\\/父2十1—父在[0,49]上单调递减,所以y=

lg\\父2十1—父在[—49,49]上的最小值为—lg(\492十1十49),且lg

十lg=—1,所以y=lg在[—49,49]上的最大值与最小值

的差小于2,则该函数是[—49,49]上的完美函数,C正确.

设F(父)=父3—3父2十2(0≤父≤2),则FI(父)=3父2—6父=3父(父—2)≤0,则F(父)为减函

数,则F(父)max—F(父)min=F(0)—F(2)=4,

又F(2—父)=(2—父)3—3(2—父)2十2=—父3十3父2—2=—F(父),所以F(父)的图象关于点

(1,0)对称,所以存在a,使得h(父)=a(父3—3父2十2)(a≠0)是[0,2]上的完美函

数,D正确.

【解析】本题考查三角函数的性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

f(父)的最小正周期T由父,得2父十φ∈(0,φ),依题意可得

13.4\【解析】本题考查对数函数与定点问题,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

令父2—2父—2=1,得父=—1或父=3,所以这两个定点的坐标为(—1,—1),(3,3),故|AB|

=\/42十42=4\.

【解析】本题考查导数的几何意义与数列的综合,考查逻辑推理与数学运算的

核心素养.

由y=父3,得yI=3父2,则曲线y=父3在点(2n,8n)(n∈N*)处的切线方程为y—8n=3.(2n)2.

n十1n十1

n22

(父—2).令y=0,得父=,所以a=,则[a6]==42,

3n3

【高三数学●参考答案第3页(共8页)】26-118C

Sn

15.【解析】本题考查相互独立事件的概率及离散型随机变量的数字特征,考查数学运算与逻辑

推理的核心素养及应用意识.

解:分别用X,Y,Z表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件,则X,Y,Z相互独立.

(1)用D表示事件“该嘉宾未获得猜歌曲C歌名的资格”,则P(D)=P(X)十P(XY)=1—

0.9十0.9×(1—0.7)=0.37.………………5分

(2)Q的可能取值为0,800,2800,6800,…………………6分

P(Q=0)=P(X)=1—0.9=0.1,…………7分

P(Q=800)=P(XY)=0.9×(1—0.7)=0.27,…………8分

P(Q=2800)=P(XYZ)=0.9×0.7×(1—0.2)=0.504,……………9分

P(Q=6800)=P(XYZ)=0.9×0.7×0.2=0.126,…………………10分

则Q的分布列为

Q080028006800

P0.10.270.5040.126

………………11分

E(Q)=0×0.1十800×0.27十2800×0.504十6800×0.126=2484.………………13分

【评分细则】

【1】第(1)问还可以用间接法求解P(D)=1—P(XY)=1—0.9×0.7=0.37.

【2】第(2)问中,未写Q的可能取值为0,800,2800,6800,但后面P(Q=0),P(Q=800),

P(Q=2800),P(Q=6800)的计算都正确,不扣分,计算E(Q)时,未体现0×0.1,而是写

为“E(Q)=800×0.27十2800×0.504十6800×0.126=2484”,不扣分.

16.【解析】本题考查直线与抛物线,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

(1)解:依题意可得F,0).………………1分

因为焦点F到直线y=x的距离d…………3分

所以p=±4.………………4分

又p>0,所以p=4,则C的准线方程为x=—2.………6分

(2)证明:由(1)得C的方程为y2=8x.依题意得直线l的斜率不可能为0,则可设直线l的

方程为x=my十8.…………7分

22

设A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my十8代入y=8x,得y—8my—64=0,…………9分

则Δ=64m2十64×4>0恒成立,…………10分

y1y2=—64.………………11分

22

因为y1y2=8x1.8x2,……………………12分

所以x1x………………13分

【高三数学●参考答案第4页(共8页)】26-118C

—→—→

所以OA●OB=x1x2十y1y2=0,………14分

所以OA丄OB.……………15分

【评分细则】

【1】第(1)问中,准线方程还可以写为“x十2=0”.

【2】第(2)问中,得到y1y2=—64后,也可以由y1十y2=8m,x1x2=(my1十8)(my2十8)=

2

my1y2十8m●(y1十y2)十64,得到x1x2=64.

17.【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

解:(1)因为tanC=7,sinC>0,所以sinC……1分

又sin(A十B)=sin(π—C)=sinC=,………………2分

所以……4分

解得sinAcosB……………………5分

(2)由(1)知cosAsinB=,则……………6分

则tanAtanB,tanC=—tan

3

……………7分

解得tanB=1或tanB8分

因为△ABC为锐角三角形,所以B为锐角,所以tanB=1,则B=.………………9分

由sinAcosB及B得sinA………10分

由正弦定理得R,其中R为△ABC外接圆的半径,

所以a=2RsinA,c=2RsinC,…………11分

…………………………13分

解得R………………14分

所以△ABC外接圆的周长为2πR=5π.…………………15分

【高三数学●参考答案第5页(共8页)】26-118C

【评分细则】

第(3)问中,还可以由sinA=sin求得sinA

18.【解析】本题考查函数的零点与导数的应用,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

解:(1)当a=1时,f(x)=ex—4x,fI(x)=ex—4.………1分

当x∈(0,ln4)时,fI(x)<0,则f(x)的单调递减区间为(0,ln4);……2分

当x∈(ln4,十∞)时,fI(x)>0,则f(x)的单调递增区间为(ln4,十∞).……………3分

(2)当a=2时,f(x)=ex—4x2,fI(x)=ex—8x,fⅡ(x)=ex—8.……4分

当x∈(0,ln8)时,fⅡ(x)<0,fI(x)单调递减;

当x∈(ln8,十∞)时,fⅡ(x)>0,fI(x)单调递增.………5分

而fI(0)=1>0,fI(ln8)=8—8ln8<0,fI(4)=e4—32>0,…………6分

所以存在唯一的x1∈(0,ln8),使得fI(x1)=0,存在唯一的x2∈(ln8,4),使得fI(x2)=

0,所以f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,故f(x)极值点的个数为2.

……………8分

当a时,F=|ex—4xx,显然F(0)=1≠0,

令F(x)=0,由x>0可得………………9分

令g则gI……………10分

令h则hI

…………………………12分

则h(x)在(0,十∞)上单调递增.又h=—2<0,h

所以h(x)存在唯一零点x0∈(1,2).……………………13分

当x∈(0,x0)时,gI(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(x0,十∞)时,gI(x)>0,g(x)单调递

增.…………………………14分

又因为g(1)=e—4<—1,所以g(x)的最小值g(x0)<—1.…………15分

因为g,所以方程|g(x)|=1在(0,x0]上有两个解.

同理,g所以方程|g(x)|=1在(x0,十∞)上也有两个解.

综上,F(x)零点的个数为4.………………17分

【评分细则】

【1】第(1)问中,若写为“当x∈(0,ln4)时,fI(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(ln4,十∞)时,

fI(x)>0,f(x)单调递增”,扣1分.

【高三数学●参考答案第6页(共8页)】26-118C

【2】第(2)问中,得到f’(x)的单调区间后,写为“f’(0)>0,f’(ln8)<0,f’(4)>0,所以

f’(x)有且仅有2个变号零点,故f(x)极值点的个数为2”,不扣分.

【3】第(3)问中,在判断h(x)的零点所在区间时,不取h(2)>0,也可以取其他值使得h(x)

>0,或者写为“当x→十∞时,h(x)→十∞”,不扣分.对于g(x)的分析也一样,可以不取

g和g(4)这两个值,而取其他使g(x)>1的值,但两次取值的自变量必须分别要在x0

的左右两边,也可以不取具体的值,写为“当x→0十时,g(x)→十∞,当x→十∞时,g(x)→

十∞”,不扣分.

A

19.【解析】本题考查空间向量与立体几何、计数原理与古典概

DC

型,考查空间想象能力与推理论证能力.

BR

(1)证明:由题意知,平面ABB1A1Ⅱ平面CDD1C1,平面A

PQRS∩平面ABB1A1=PQ,R

平面PQRS∩平面CDD1C1=RS,则PQⅡRS,……1分Q

Q

y

同理可得PSⅡRQ,则四边形PQRS为平行四边形,……PDC

………2分

▲AB

则PQ=RS,则PQ2=RS2,所以42十(a—b)2=42十(d—

c)2,所以|a—b|=|d—c|.…………………3分

(2)解:由(1)知a—b=d—c或a—b=c—d,则a十c=b十d或a十d=b十c.

同理可得|a—d|=|b—c|,a—d=b—c或a—d=c—b,则a十c=b十d或a十b=c十d.

因为四边形PQRS为平行四边形,所以|a—b|=|d—c|且|a—d|=|b—c|,

所以a十c=b十d.…………4分

以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系,则P(4,0,a),R(0,4,c),S(0,0,d).…………………5分

—→—→

因为a十c=4,所以SP=(4,0,a—d),SR=(0,4,4—a—d).

设平面α的法向量为n=(x,y,z),所以

令z=4,得n=(d—a,d十a—4,4).………6分

又因为m=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,

所以cos…………………7分

设l=(d—a)2十(d十a—4)2=(d—2十2—a)2十(d—2十a—2)2=2[(a—2)2十(d—2)2],

……………8分

因为a十c=4,所以a∈[0,4],d∈[0,4],当a=b=c=d=2时,l取得最小值0,此时cosθ

=1,当a=d=0,b=c=4时,l取得最大值16,此时cos,………9分

所以cos故θ的取值范围是[0,.………10分

【高三数学●参考答案第7页(共8页)】26-118C

(3)(i)证明:不妨设a≤b≤d≤c,过点P作平面βⅡ平面ABCD,平面β分别与棱BB1,

C1,DD1交于点Q1,R1,S1,连接QS,QS1,

--……分

则V=VABCD-PQ1R1S1十VQ-PQ1R1S1十V