数学-2026届上海六校联考高三上期中

2025-2026学年上海市六校（复旦复兴、控江、市西、松江二中、奉贤、金山）联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本题共12小题，共54分.1.函数的零点为___________；2.设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________；3.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.4.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________；5.若，，，则的最小值为________．6.若满足，则曲线在点处切线的倾斜角为__________.7.设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．8.若，则集合B的子集的个数为______；9.在中，是边的中点.若，，，则______________．10.已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，___________；11.设，的最小值为___________；12.已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论：①的最小值为；②当与坐标轴平行时，最小值为2；③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则；④当直线均为曲线和公切线时，线段的中点在轴上．其中所有正确结论序号是______．二、单选题：本题共4小题，共18分.1.“”是“”的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时3.设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（）．A. B. C. D.4.已知，，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（）A.存在，使得的点C有且只有一个B.任意，使得的点C至少一个C.存在，使得的点C有且仅有两个D.任意，使得的点C最多两个三、解答题：本题共5小题，共78分.17.已知等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率.19.如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，.（1）证明：；（2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离.20.已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.（1）若，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求证；（3）求的最小值.21.给定函数，若过点恰能作曲线的条切线，则称是的“秩点”，切点的横坐标为的“秩数”.（1）若是函数的“秩点”，求其“秩数”；（2）证明：是函数的“0秩点”；（3）记使函数“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为.证明：对，，且，有.2025-2026学年上海市六校（复旦复兴、控江、市西、松江二中、奉贤、金山）联考高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，则，即，得不出，如，所以“”不是“”的充分条件；若，则，可得，即，所以“”是“”的必要条件；所以“”是“”的必要而不充分条件，故选：A．2.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时【答案】B【解析】【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解.【详解】由题意可知，即有，令，则有，解得，，故还需要4小时才能消除至最初的.故选：B.3.设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解.【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究，因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数，所以只需要在区间是单调函数即可，根据选项可知只需要满足时取值，故，根据余弦函数的单调性，若满足，解得，若满足，解得，若满足，无解，故必满足题意，而，则ABC错误；故选：D．4.已知，，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（）A.存在，使得的点C有且只有一个B.任意，使得的点C至少一个C.存在，使得的点C有且仅有两个D.任意，使得的点C最多两个【答案】D【解析】【分析】根据题意，函数为双曲线的一部分（如图），求出直线，再求出与函数，图象相切的直线，过点与直线平行的直线为，分别求出特殊情况下的值，即可判断.【详解】根据题意，，，则，，函数为双曲线的一部分（如图），因为双曲线的渐近线为，所以直线与函数图象交于一点，设直线与函数，图象相切，联立方程组，得，令，得，由图可知，，此时直线与间的距离为，又，当点C为切点时，，又过点与直线平行的直线为，其与直线的距离为，所以当点C为或时，，所以当时，使得的点C有且只有一个，A正确；由于函数，图象向右向上无限延伸，所以点C到直线的距离可以无限大，从而任意，使得的点C至少一个，B正确；当，或时，使得的点C有且仅有两个，C正确；而当时，使得的点C有三个，故D错误.故选：D二、填空题：本题共12小题，共54分.5.函数的零点为___________；【答案】【解析】【分析】求解出的解，结合定义域可知结果.【详解】令，解得，，又因为，所以，所以的零点为，故答案为：.6.设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________；【答案】2【解析】【分析】由向量不能组成基底得向量共线，进而可得.【详解】因为不能组成平面上的一个基底，所以，得，解得.故答案为：2.7.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.【答案】【解析】【分析】由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解.【详解】依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故答案为：.8.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________；【答案】.【解析】【分析】应用复数的几何意义得出不等关系，再应用对数运算计算求解.【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限，则，所以则x的取值集合为；故答案为：.9.若，，，则的最小值为________．【答案】32【解析】【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】因为，，，所以，由基本不等式可得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为32．故答案为：3210.若满足，则曲线在点处切线的倾斜角为__________.【答案】【解析】【分析】结合导数定义与导数的几何意义计算即可得.【详解】，设其倾斜角为，则有，又，故.故答案为：.11.设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．【答案】【解析】【分析】利用点差法求解即可．【详解】设，，则，，所以，也即，因为，的中点为，所以，，所以，所以，所以直线的斜率为，经检验满足题意．故答案为：12.若，则集合B的子集的个数为___________；【答案】【解析】【分析】先求出集合，再根据子集个数公式计算求解.【详解】因为，所以，则集合B的子集为，所以子集的个数为；故答案为：.13.在中，是边的中点.若，，，则______________．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理计算，再利用做基底计算即可.【详解】如图所示，由题意得，因为，，，所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：，所以，又D是BC中点，所以，所以.故答案为：.14.已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，___________；【答案】【解析】【分析】问题等价于，当且仅当时取到最小值，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案.【详解】，又，所以，对于任意成立，等价于，当且仅当时取到最小值，则，解得.故答案为：.15.设，的最小值为___________；【答案】【解析】【分析】应用两点间距离公式结合三角形旋转转化边长，最后结合距离和得出最小值即可.【详解】设，设，把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则，所以，当且仅当四点共线时取最小值则的最小值为.故答案为：.16.已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论：①的最小值为；②当与坐标轴平行时，最小值为2；③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则；④当直线均为曲线和公切线时，线段的中点在轴上．其中所有正确结论序号是______．【答案】①③④【解析】【分析】①结合图形，结合相切状态求解最小值；②由，构造函数求解最小值，再证明最小值大于；③先证明若四边形为正方形，则，可知与，与关于直线对称；结合对称性分析存在正方形满足题意，进而利用坐标表达面积，结合关系式利用单调性求解范围；④设切点，，利用函数的对称性、导数求切线方程，借助切线斜率建立等量关系证明即可.【详解】对于①：因为与互为反函数，它们的图象关于对称，所以的最小值就是点到直线的最小距离的2倍.对求导得，令，解得.此时，即曲线在点处的切线斜率为1，切线方程为，即.切点到直线的距离为，即点到直线的最小距离为，所以的最小值为，故①正确；对于②：当与坐标轴平行时，若与轴平行，此时，则.令，对其求导得，在上单调递增，且，所以存在，使得，即.当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，即；若与轴平行，则可设，（）则，同理可证.综上可知，当与坐标轴平行时，最小值不为2，故②错误；对于③：当四边形为正方形时，因为与互为反函数，它们的图象关于对称.如图，设（），则，因为可由逆时针旋转得到，故，又，可得，且，，故，且，设，设，由，则有；又，联立可得（），由，可解得，则由可得，，若，则，所以，可得，则，这与矛盾；若，则，所以，可得，则，这与矛盾；故，即，从而.所以与直线平行，由此可知与，与关于直线对称；则可设（），所以；；则，可得，所以，所以有，即.令，（）再令，则，故在上单调递增，则，所以即.则，所以，故在上单调递减，由，且，故在内有唯一零点，即方程有唯一解，故仅存在一个这样的正方形.且，，且在为单调增函数，故，故，故③正确；对于④：如图，由图象可知，两函数恰有两条公切线，且两公切线也关于对称.设两公切线分别与相切的切点为，.则点关于直线的对称点即为公切线与相切的切点，由，则公切线的斜率，所以，可得，故线段的中点在轴上，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可.（2）根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可.【小问1详解】因为等比数列满足，则，两式相除可得，解得.所以的通项公式为.【小问2详解】.所以18.某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，可求出，平均数可利用同一组中的数据用该组区间的中点值和频率的乘积之和求解;（2）求出样本空间，再结合古典概型计算公式求解即可.【小问1详解】因为，所以.平均值：【小问2详解】抽取的3天中，“轻度超标日”有2天，记为a，b，“重度超标日”有1天，记为A，样本空间，设事件B为这2天都是“轻度超标日”，则.因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.所以.19.如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，.（1）证明：；（2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证得，根据线面垂直的判定证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，设点P的坐标，求出两个平面的法向量，根据锐二面角大小结合数量积夹角公式求出点P的坐标，代入点到平面距离的向量公式直接求解.【小问1详解】连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面，所以，又因为BC是直径，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，连接OP，设，则，所以，设平面的一个法向量为，所以，则，令，则，所以，设为平面的一个法向量，则，，所以，令，则，所以，因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，所以，令，则，平方化简得，即，又由，可解得或（舍去），所以，所以平面PCA的一个法向量，且，所以点D到平面PCA的距离.20.已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.（1）若，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求证；（3）求的最小值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）.【解析】分析】（1）设，，，与联立求出和韦达定理，根据求出即可求解；（2）求出即可证明；（3）由（1）求出，考虑和两种情况，根据求出，求出，根据（2）求出，根据结合基本不等式即可求解.【小问1详解】设，，，与联立可得，，，，，因为，所以，由可得，故因为在第一象限，所以，解得，由得；【小问2详解】由题意得，，故，，，则，即；【小问3详解】由（1）得，，故，因为，所以，当时，，，，故，，，故，所以⊥，，则，由对称性可知，则，当时，，，由得，将其代入中得，显然，当时，，当时，，解得，，，因为，其中，由（2）知，又，故，故，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，由于，故.21.给定函数，若过点恰能作曲线的条切线，则称是的“秩点”，切点的横坐标为的“秩数”.（1）若是函数的“秩点”，求其“秩数”；（2）证明：是函数的“0秩点”；（3）记使函数的“1秩