2025-2026学年八年级数学上册第12章全等三角形达标测试卷【含答案】

page12026学年八年级数学上册第12章全等三角形达标测试卷学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________

1.如图，AB是⊙O的一条弦，半径OC交AB于点D，且AD=BD，连接OA，∠OAB=30A.4π3+2+23 B.4π3+4+23 C.

2.下列说法错误的是（

）A.全等三角形的面积相等B.全等三角形的周长相等C.全等三角形的对应边上的中线相等D.有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

3.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3,AC=4，以B为圆心，以小于BC长度的任意长为半径作弧，分别与边BC，BA交于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于12MNA.32 B.52 C.2 D.5

4.如图，Rt△ABC中，AB=BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于ABA.EF=GF B.∠ADF=∠CDB

C.AF=22AB

5.下面各条件中，能使△ABC≅△DEF的条件的是（A.AB=DE，∠B.AB=BC，∠C.AB=EF，∠D.BC=EF，∠

6.已知∠MAN=40∘，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出△ABC，观察图中的作图痕迹，可以得出A.30∘ B.25∘ C.15∘ D.10∘

7.如图，在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，点M，N分别在AB，CD边上，且AM=CN，将△ADM，△BCN分别沿DM，BN折叠，点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，点A甲：当A′C′乙：当A′C′则下列正确的是（

）A.甲错，乙对 B.甲对，乙错 C.甲、乙都正确 D.甲、乙都错误

8.下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点(2)分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧在(3)画射线OC，射线上述方法是通过判定△OMC≅△ONC得到∠MOC=∠A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.三边分别相等的两个三角形全等

9.下列说法不正确的是（

）A.全等三角形的对应边相等B.全等三角形的对应边上的高相等C.两边及一角相等的三角形全等D.角平分线上的点到角两边的距离相等

10.如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）

A.2 B.4 C.8 D.无法确定

11.如图，已知四边形ABCD和四边形GFED是正方形．若AD=4，DG=2

12.如图，

△ABC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P．则△PBC的面积是________

13.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘

14.如图所示的尺规作图是：分别以线段BA的端点为圆心，以小于AB长为半径画弧，分别交射线BH和线段BA于点C、D、E，再以点E为圆心．以CD长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线AF，分别以点E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两弧交于点C．画射线AC．若∠ABH=80∘,

15.如图，△AOB的两个外角∠MAB和∠NBA的平分线AP，BP相交于点P，作射线OP，过点P作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分别是点C，D，则下列结论：①OP平分∠AOB；②OC

16.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上一点，且2AE=ED，连接BE交对角线AC于点F，点G是对角线AC上一点且2CG=AG，过点G作GH⊥BE于点H，连接DG，将△DGC沿CD翻折，得到△DG′C，连接

17.如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72∘，∠AEB=92

18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．点D是边BC上的一点（点D不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP=BD，以AP为边作正方形APMN，使点M和点C在直线AD同侧．若点N到直线AC的距离是点

19.如图，在△ABC中，∠ABC=30∘，AB=AC=23，点D是边BC上的点，将△ACD沿AD折叠得到△AED

20.如图，△ABC≅△DEF.若AE=10，BD

21.线段AC、BD相交于点E，∠D=∠A，DE=

22.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠BAC的角平分线AD交CB于点D，过点D（1）求证：AC=（2）若点E在AC上，且DE=BD，请判断AE、AF、

23.如图，∠BAD=∠CAE=90∘，AB=AD（1）求证：△ABC（2）求∠FAC（3）求证：∠ABF=∠ADC，并直接写出线段CD、BC

24.【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=15，AC=7小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．容易证得△ADC(1)由已知和作图得到A．AAS

B．SSS

C．SAS

D．HL(2)BC解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠EAF=∠【拓展提升】如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF // AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，若AB=

25.[问题背景]如图①，将△ABC沿折痕AD翻折，使点C落在AB边上点C′处，已知∠BAC=80[变式运用]如图②，在△ABC中，AB>AC

26.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=(1①以点B为圆心，小于BC长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点③作射线BP，交AC于点D(2)直接写出线段AD，CD与

27.如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作平行线，与DE的延长线交于点F．（1）判断并证明DE与EF之间的数量关系；（2）连接AF,CD，添加一个与线段有关的条件，使四边形ADCF是菱形．

28.已知，如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥（1）求证：AE=（2）求证：BE=（3）求AE的长．

29.如图，已知△ABC，用直尺和圆规作一点P，使它到点A和点C的距离相等，且到线段AC与线段BC所在直线的距离也相等（保留作图痕迹，不必写出作法）．

30.如图，点D，E，F分别在等边三角形ABC的边AB,BC,AC上，∠DFE=

31.综合与探究问题情境：在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，连接CE将△BCE沿直线CE翻折，得到△B′CE，点B的对应点猜想证明：（1）如图1，连接BB′并延长，交AD边于点F．求证：（2）如图2，当E是AB边的中点时，连接AB′并延长，交CD边于点H，将△ADH沿直线AH翻折，点D恰好落在直线CE上的点D′处，AD′交B′E于点M，问题解决：（3）在(2)的条件下，若AB=

32.如图，在等腰直角△ABC、等腰直角△ADE中，AB=AC（1）如图1，若AD=①求证：BD=②∠ACE=_______​∘；若AD≠AF（2）如图2，若CD=8，DF=

33.在平面直角坐标系中，已知点A(8, 0)（1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：（2）如图②，在(1)的条件下，连接OH，求证：（3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB、OB、

34.在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：△ABO为锐角三角形，求作：∠作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB③画射线OC，则射线OC即为所求．（1）如图1，射线OC就是∠AOBA．SASB．ASAC．SSSD．AAS（2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？下面是两位同学给出的两种方法：①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连接CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB③丙同学：如图4，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD，再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF；CD与EF相交于点P，连接OP，则OP是（3）你还有什么作角平分线的方法(与以上作法原理不一样)？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明．

35.如图，C是BD的中点，AB=ED求证：∠A

36.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90∘（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（2）求证：AE是∠DAB

37.如图(1)，△ABC中，AB=nAC(n≥1)，D为AC的中点，点E在线段AB上，∠ABD=∠（1）证明：AEAD（2）如图(2)，若n=（3）在一般情况下，探究BFDF的值(用含n

38.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥（1）求证：BC是⊙O（2）若⊙O的半径为10，AC=16

39.如图，A为△ABC和△ADE的公共顶点，已知∠B=∠D，（1）你添加的条件是________；（2）根据你添加的条件，写出证明过程．

40.如图，已知BD平分∠ABC，AD∥BC，且（1）求证：△ABD（2）判断∠C与∠

41.如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．

（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．

42.如图，在矩形ABCD中，P是AB边上一点（不与A，B重合），且PD=PC．求证：P是AB

43.如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB=∠ADC，求证：BP（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD为⊙O的直径，①求证：AO=②求⊙O

44.尺规作图，如图，△ABC中，∠A（1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC（2）在(1)的条件下，若∠ACP=40∘

45.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB，点D是AB边的中点，且AB=2．点C是射线OB上的动点，连接CD，以CD为边作等腰直角△CDE，且∠DCE(1)BD(2)如图1，若点C在线段OB上，过点C作CF//OA交AB于点F(3)如图2，当点C在OB的延长线上时，

①判断∠CBE的值是否发生改变，请说明理由；

②若EB平分∠DEC，BE与CD交于点

46.如图，∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CE，BE

47.如图所示，点A，B，C，D在一条直线上，AC=DB,AE

48.如图，抛物线y=−12x2+32x+2（1）求点A，B，C的坐标；（2）将ΔABC绕AB的中点M旋转180∘①求点D的坐标；②判断ΔADB（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使ΔBMP与ΔBAD相似，若存在，请写出所有满足条件的

49.如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4，AD⊥BC于D，E为AB边上的点，过A、D、E三点的⊙O交（1）求证：AE=（2）若tan∠ADF=3（3）如图2，点P为DE⌢上一动点，连接PD，PE，PF①若P为DE⌢的中点，设AE为x，△PDF的面积为S，求S关于②在点P运动过程中，试探索PD，PE，PF之间的数量关系，并证明．

50.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC延长线上一点，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点（1）求证：∠（2）若DE=AB，用等式表示BF，CE，

参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.【答案】A【考点】全等的性质和SSS综合（SSS）含30度角的直角三角形勾股定理的应用求弧长【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可．【解答】解：连接，，，，，，在中，，即，（负值舍去），，，，，，，阴影部分的周长，阴影部分的周长．故选：．2.【答案】D【考点】全等三角形的性质全等三角形的应用【解析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握能完全重合的两个个三角形是全等三角形，因此全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，周长相等，面积相等，对应边相等，对应角相等，据此解答即可．【解答】解：、全等三角形的面积相等，故该选项说法正确；、全等三角形的周长相等，故该选项说法正确；、全等三角形的对应边上的中线相等，故该选项说法正确；、如图，在和中，，，第三边上的高都是，但是和不全等，故该选项说法错误；故选：．3.【答案】B【考点】全等的性质和HL综合（HL）角平分线的性质尺规作图——作角平分线勾股定理的应用【解析】本题考查了角平分线的作图，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点作，垂足为，先根据角平分线的作图和性质得出，再通过证明得出，最后根据勾股定理求解即可．【解答】解：过点作，垂足为，则，由题意得，平分，，则，，在和中，，，，，，，，设，则，，，解得，，故选：．4.【答案】B【考点】灵活选用判定方法证全等利用相似三角形的性质求解全等三角形的应用相似三角形的性质与判定【解析】选项：由可得，可确定结论错误；选项：由，，可确定结论正确；选项：由可得，进而由确定点为的三等分点，可确定结论错误；选项：因为为的三等分点，所以，又，所以，由此确定结论错误．【解答】如图：，在，，在与中，，，，，点是的中点，在与中，，，故结论正确在中，，故结论错误．设，则．，故结论错误，，，又点是的中点，故结论错误．故答案为：5.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】根据三角形全等的判定方法结合各选项提供的已知条件进行判断，逐条排除再确定．【解答】D6.【答案】C【考点】三角形内角和定理三角形的外角的定义及性质已知三边作三角形尺规作图——作角平分线【解析】先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解【解答】解：由作图得,，平分，，，，，，故此题答案为．7.【答案】C【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）勾股定理的应用矩形与折叠问题【解析】本题考查了矩形与折叠，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判断与性质等知识，当时，延长交于点，延长交于点，利用证明，可得出，，利用证明，求出，利用勾股定理求出，即可求出；当于点时，连接、，利用证明，得出．证明四边形是平行四边形，求出，利用勾股定理求出，即可求出．【解答】如解图①，当时，延长交于点，延长交于点，，，，由折叠的性质可知，，，，，，．，，，，，，，，．故甲的说法正确．如解图②，当于点时，连接、，在矩形中，，，．，，，．．．又，四边形是平行四边形．，，．故乙的说法正确．故选：．8.【答案】D【考点】全等的性质和SSS综合（SSS）尺规作图——作角平分线【解析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定，由作图可得，，，再结合，可得，进而可得答案．【解答】解：由作图可得，，，，．判定的依据是：三边分别相等的两个三角形全等．故选：．9.【答案】C【考点】全等三角形的性质灵活选用判定方法证全等角平分线的性质【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．根据全等三角形的性质判断选项、，根据全等三角形的判定判断选项，根据角平分线的性质判断选项即可．【解答】解：．全等三角形的对应边相等，说法正确，不符合题意；．全等三角形的对应边上的高相等，说法正确，不符合题意；．两边及两边的夹角相等的三角形全等，原说法错误，符合题意；．角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，不符合题意；故选：．10.【答案】A【考点】求阴影部分的面积全等图形【解析】正方形是轴对称图形，根据对称性可以将图形中带阴影的图形面积等于正方形面积的一半，进而得出答案．【解答】A二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.【答案】【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）勾股定理的应用根据正方形的性质求线段长相似三角形的性质与判定【解析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，令交于，作于，由正方形的性质可得，，，，证明，得出，由等腰直角三角形的性质可得，求出，，证明，求出，，从而可得，再证明，求出，最后由，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【解答】解：如图：令交于，作于，四边形和四边形是正方形，，，，，，即，，，在中，，，，，，，，，，即，，，，，，，，即，，，故答案为：．12.【答案】【考点】三角形的面积全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】13.【答案】度【考点】直角三角形的两个锐角互余全等三角形的性质【解析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据全等三角形对应角相等，得到，在利用直角三角形两锐角互余求解即可．【解答】解：，，，，故答案为：．14.【答案】度【考点】作一个角等于已知角尺规作图——作角平分线【解析】本题考查尺规作图：作一个角等于已知角，作角的平分线．由作图过程可知，，进而即可求解．【解答】解析：根据作图过程，可知，，，，故答案为：．15.【答案】①②④⑤【考点】角平分线的判定定理角平分线的性质全等的性质和HL综合（HL）【解析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点，由角平分线的性质得，，所以，则点在的平分线上，所以平分，可判断①正确；再根据“”证明，得，可判断②正确；假设成立，可根据“”证明，得，则，与已知条件不符，可判断③错误；再根据“”证明，得，，同理可证明，，则，可判断④正确；由，，得，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．【解答】解：作于点，则，平分，平分，且于点，于点，，，，点在的平分线上，平分，即平分，故①正确；在和中，，，，故②正确；假设成立，则有，，，，与已知条件不符，不成立，故③错误；在和中，，，，，同理，，，，故④正确；，，，故⑤正确，故答案为：①②④⑤．16.【答案】【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）根据矩形的性质与判定求线段长相似三角形的性质与判定根据正方形的性质求线段长【解析】连接、，取中点，连接并延长，交于点，先明，得到是等腰三角形，即得，再利用计算出，进而根据勾股定理算出正方形的边长；然后建系，求得，，以及直线的表达式，最后求出点坐标即可．【解答】解：连接、，取中点，连接并延长，交于点，，且为中点，，，又，，，四边形和四边形都是矩形，，，在正方形中,，，，为中点，，，，又，，，又，，设，则，在正方形中,，，，，则有，解得：，，在中，设，则，由勾股定理可得：，即：，解得：，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则易得：，，，，，，为中点，，与关于轴对称，，直线的表达式为：，当时，，．17.【答案】【考点】线段垂直平分线的性质全等三角形的性质与判定【解析】连接，由线段，的垂直平分线交于点，得，，，进而得，易证∆∆，设，得则，，中，，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【解答】连接，

线段，的垂直平分线交于点，

，，

，

，

，

在∆与∆中，

，

∆∆，

，

设，则，，

，

在∆中，．

故答案是：．

18.【答案】或【考点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）根据正方形的性质求线段长解直角三角形的相关计算【解析】分类讨论，①、在同侧时，作于点，则，过作于点，证明，利用利用锐角三角函数得到的边角关系，设参数建立方程即可；②、在两侧时，利用锐角三角函数得到的边角关系，设参数建立方程即可．【解答】解：①、在同侧时，如图，作于点，则，过作于点，则，，，，，，，设，，，，，解得：，；②、在两侧时，如图，同理可得，，设，，，，，解得：，；故答案为：或．19.【答案】【考点】含30度角的直角三角形等腰三角形的判定与性质勾股定理的应用翻折变换（折叠问题）【解析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由折叠的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解．【解答】解：如图，过点作于点，，，，，，将沿折叠得到，，，，，，，．故答案为：20.【答案】【考点】全等三角形的性质【解析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案．【解答】解：，，，，．故答案为：．三、解答题（本题共计30小题，每题10分，共计300分）21.【答案】见解析【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到．根据可证，根据全等三角形的性质即可得证．【解答】证明：线段、相交于点，，在和中，，，．22.【答案】（1）见解析（2），理由见解析【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）全等的性质和HL综合（HL）角平分线的性质【解析】（1）根据角平分线的性质得到，，证明，即可得证．（2）根据已知条件证明，得到，根据等量代换求解即可．【解答】解：（1）证明：平分，，，，，在和中，，．（2）解：，理由如下：由知：，在和中，，，，由可得：，．23.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析，【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）等腰三角形的性质：三线合一【解析】（1）根据证明即可；（2）根据，，求出，根据全等三角形性质得出，根据，得出，即可求出；（3）延长到，使得，连接，由得，证明，得出，根据，即可证明结论．【解答】解：（1）证明：，，，，在和中，，；（2）解：，，，由知，，，，；（3）解：；理由如下：延长到，使得，连接，如图所示：，，，，，，，，，，在和中，，，，，．24.【答案】【问题情境】；；【初步运用】见解析；【拓展提升】【考点】确定第三边的取值范围全等三角形的辅助线问题——倍长中线模型根据等角对等边证明边相等【解析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系、等角对等边、平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．问题情境：根据全等三角形的判定方法即可求解；根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可求解；初步运用：延长到，使，连接，通过证明得到，，进而得到，再根据等角对等边得到，等量代换即可证明；拓展提升：延长到，使，连接，通过证明得到，，根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可解答．【解答】问题情境：解：是的中线，，在和中，，由已知和作图得到，依据是，故选：；由得，，，在中，，，解得：．故答案为：；初步运用：证明：延长到，使，连接，如图所示：是的中线，，在和中，，，，，，，，又，．拓展提升：解：延长到，使，连接，如图所示：点为边的中点，，在和中，，，，平分，，，，，，，，，，设，则，，，解得：，．故答案为：25.【答案】；[变式运用]见解析【考点】全等三角形的性质翻折变换（折叠问题）【解析】本题考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是：[问题背景]问题①根据折叠的性质可得，继而得到，再根据三角形外角的性质可得结论；[变式运用]利用①的方法，将沿折痕翻折，点的对应点为点，可得，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得证．【解答】解：沿折痕翻折，，，，，，的度数为；[变式运用]证明：如图，沿折痕翻折，点的对应点为点，，点落在边上，，，，．26.【答案】图见解析，理由见解析【考点】直角三角形斜边上的中线尺规作图——作角平分线【解析】本题主要考查尺规作图以及等腰三角形性质、直角三角形性质，通过尺规作图转化出必要的条件，熟练掌握等腰三角形性质、直角三角形性质是本题的解题关键．根据题目要求尺规作图即可；根据等腰三角形性质得出，再根据直角三角形性质得出即可．【解答】（1）解：如下图即为所求作；解：，理由如下：在等腰直角三角形中，，由作图知：平分，，．27.【答案】（1），理由见解析（2）（答案不唯一）【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）证明四边形是平行四边形证明四边形是菱形【解析】（1）由，得，，又，可证，即得；（2）由可证四边形为平行四边形，若使之为菱形，添加一个与线段有关的条件，只需添加一组邻边相等或对角线互相垂直．【解答】（1）解：证明：，，，点是的中点，，在与中，，，；（2）解：添条件，则四边形是菱形，理由：，，四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形；添条件或或，同理可证平行四边形为菱形；添条件，四边形是菱形，理由：，，四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形．28.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【考点】全等三角形的性质与判定直角三角形全等的判定角平分线的性质线段垂直平分线的性质【解析】（1）由证明，再由全等三角形的对应边线段解答；（2）由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再根据证明，最后根据全等三角形的对应边线段解答；（3）由线段的和差解得，，结合全等三角形对应边相等的性质，代入，，解答即可．【解答】解：（1）证明：，，

，

平分，

，

，

；（2）连接，，

平分且垂直，

，

，

平分，且，，

，

，

；（3），，

，

在中，，，

．29.【答案】图见详解【考点】角平分线的性质尺规作图——作角平分线线段垂直平分线的性质【解析】本题主要考查线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可先作线段的垂直平分线，然后再作的角平分线，两线交于一点，则问题可求解【解答】解：所作点如图所示：30.【答案】见解析【考点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）等边三角形的性质与判定【解析】根据等边三角形，证明，得到，根据等边三角形的判定解答即可．本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质和判定，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【解答】证明：是等边三角形，，，，，，，，，是等边三角形．31.【答案】（1）见解析（2）四边形是矩形；理由见解析（3）【考点】勾股定理的应用根据正方形的性质证明翻折变换（折叠问题）解直角三角形的相关计算【解析】（1）设和相交于点，证明，即可得到；（2）根据折叠的性质证明，即可证明四边形是矩形；（3）连接交于点，求出，证明，得到，，由等积法求出，由，求出，即可求出，得到四边形的面积．【解答】解：（1）证明：如图，设和相交于点，四边形是正方形，，，，由折叠可知，垂直平分，，，，在和中，，，；（2）解：四边形是矩形；理由如下：四边形是正方形，，，，是边的中点，，由折叠的性质可知：，，，，由折叠的性质可知：，，，，，，，四边形是矩形；（3）解：连接交于点，如图，四边形是正方形，，是边的中点，，由得，，，，，，，由折叠可知：，，，在和中，，，同理可证，，，，，，，，，由折叠可知：，，，，，，解得，，四边形的面积为．32.【答案】①见解析，②；（2）【考点】全等三角形的应用等腰三角形的判定与性质相似三角形的性质与判定【解析】（1）①通过得出，进而得出，证明即可．②利用，推导出，得出即可得出最终结论．（2）证明可得即可求出的长，再用勾股定理求即可．【解答】（1）解：①，，，，，，．②由题得：，，，，即，，，，；综上，的值与是否等于无关，均为．（2），，，，，，，．33.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当点在轴的正半轴上时，；当点在线段上时，；当点在点下方轴上时，；理由见解析【考点】坐标与图形性质全等三角形的应用全等三角形的辅助线问题——垂线模型角平分线的性质【解析】（1）要证明已经有一边，一角相等，只要证明即可．（2）如下图②中，过分别作于点，作于点，由，推出．因为，，推出平分，由此即可证明．（3）分点在轴的正半轴上、点在线段上、点在点下方轴上时三种情况画出图形讨论即可．【解答】解：（1）证明：如图①中，，即，，．在与中:，，（2）解：过分别作于点，作于点，如图②．在四边形中，，．又由可知：，在与中：，，．，，平分，，，．（3）解：、、三条线段之间的数量关系如下：情况一：当点在轴的正半轴上时，；情况二：当点在线段上时，；情况三：当点在线段的延长线上时，；下面逐个证明：情况一：当点在轴的正半轴上时，连接，作，如图．，，为的中点，，，，，，．，即，，在与中：，，，，．情况二：当点在线段上时，连接，作，如图：，，，结合情况一中已经证明的，，，．．情况三：当点在点下方轴上时，连接，作，如图：，，，且，，，又，易证，．．34.【答案】见解析；正确；到角的两边距离相等的点在角的平分线上（3）见解析【考点】全等三角形的应用角平分线的判定定理尺规作图——作角平分线等腰三角形的判定与性质【解析】（1）连接、，根据作图痕迹可知，，，结合公共边，根据“”证明，得出，即可得解；（2）由作法可得，，结合公共边，，证明，得到，从而得证；由作法可得，，，从而得出，证明，得出，证明，得出，最后证明，得出，从而得证；根据角平分线的判定定理即可得解；（3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则过点，即为的平分线．【解答】（1）解：如图，连接、，根据作图痕迹可知，，，，，，平分；故选：；（2）解：证明：由作法可得，，，，，平分；由作法可得，，，，即，在和中，，，，在和中，，，，在和中，，，，即平分；故答案为：正确；根据作图可知：点到的距离等于直尺的宽度，点到的距离等于直尺的宽度，直尺的宽度不变，点到的距离等于点到的距离，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，平分，即丙同学的这种作角平分线的依据是到角的两边距离相等的点在角的平分线上；故答案为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；（3）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则过点，即为的平分线；根据作图可知：，垂直平分，到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上，此时的垂直平分线过点，，，根据等腰三角形三线合一可知，平分．35.【答案】见解析【考点】全等的性质和SSS综合（SSS）【解析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据证明，进而根据全等三角形的性质，即可得证．【解答】证明：是的中点，，在和中，，，．36.【答案】（1）见解析（2）见解析【考点】尺规作图——作角平分线角平分线的性质全等的性质和HL综合（HL）【解析】（1）利用基本作图作的平分线即可；（2）过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，再证明得到，接着证明，然后证明得到．【解答】（1）解：如图，即为所作；（2）证明：过点作于点，如图，平分，，在和中，，，，，即，，在和中，，，，是的平分线．37.【答案】（1）证明见解析；（2）的值为；（3）的值为．【考点】根据三角形中线求面积全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）相似三角形的性质与判定【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，中点定义，掌握知识点的应用是解题的关键．证明，然后通过相似三角形性质即可求证；连接，由，则，证明，又为的中点，所以，得，，，证明，可得，故有，则，从而求解；过作，所以，，所以，，证明，所以，得，，通过中点得，，从而可得，，，然后代入即可求解．【解答】解：（1）证明：，，，；（2）解：如图，连接，，，，，，，为的中点，，，，，，，，，，，；（3）解：如图，过作，，，，，，，，，，，为的中点，，，，，，，，，，的值为．38.【答案】（1）见解析（2）【考点】角平分线的性质勾股定理的应用证明某直线是圆的切线利用相似三角形的性质求解【解析】（1）连接，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明，即可解答；（2）先证明，求出的长，再利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）证明：连接，，，平分，，，，是的半径，是的切线；（2）是的直径，，，，，，，即，（负值舍去），，．39.【答案】（答案不唯一）（2）见解析【考点】添加条件使三角形全等灵活选用判定方法证全等【解析】（1）根据题意添加符合题意的条件即可；（2）根据全等三角形的判定定理进行证明即可．【解答】（1）解：根据题意，可添加，故答案为：（答案不唯一）．（2）证明：在和中，，．40.【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．【考点】等腰三角形的判定与性质平行线的判定与性质角平分线的性质【解析】（1）由角平分线的性质得到，平行线的性质得到，进而得到，即可得出结论；（2）由，，得到，进而得到，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可得出答案．【解答】解：（1）证明：平分，，，，，，为等腰三角形；（2）解：，理由如下：，，，，，，平分，．41.【答案】解：（1）如图①以为对角线，如图②以为对角线，如图③以为对角线；

（2），，

，

，

如图①所示：四边形是矩形，则其对角线的长为；

如图②所示：，连接，过点作于点，

则，，

；

如图③所示：过点作，交延长线于，连接，

，

由题意可得：，，

，【考点】图形的剪拼作图—复杂作图等边三角形的性质【解析】（1）由平行四边形的判定可得；（2）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）如图①以为对角线，如图②以为对角线，如图③以为对角线；

（2），，

，

，

如图①所示：四边形是矩形，则其对角线的长为；

如图②所示：，连接，过点作于点，

则，，

；

如图③所示：过点作，交延长线于，连接，

，

由题意可得：，，

，42.【答案】证明见解析【考点】全等的性质和HL综合（HL）利用矩形的性质证明【解析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，先根据矩形的性质得，再根据“斜边直角边”证明，可得，则此题可证.【解答】证明：四边形是矩形，，在和中，，，，是边中点．43.【答案】（1）见解析（2）①见解析；②．【考点】半圆（直径）所对的圆周角是直角证明某直线是圆的切线全等三角形的应用勾股定理的应用【解析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，易得，进而得到即可证明结论；（2）①如图：连接，作于，于．证明，，得到，证明，则，进一步证明，即可得到结论；②设，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连接，是的直径，，，，，，，是的半径，与相切．（2）解：①如图：连接，作于，于．于点，是直径，，，，，，，，，，，，，，，，，．②设，，，，，，，，在中，，，，，，即，，半径的长为．44.【答案】（1）见解析（2）【考点】三角形内角和定理尺规作图——作角平分线【解析】（1）点到、两点的距离相等，则点在线段的垂直平分线上，点到两边的距离相等，则点在的角平分线上，据此作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点位置；（2）由题意得，，则，求出，由题意可得点在的角平分线上，则；由三角形内角和定理可得，据此求解即可．【解答】（1）解：如图所示，点即为所求；；（2）解：如图所示，连接，点到、两点的距离相等，，，，，点到两边的距离相等，点在的角平分线上，；，，，．故答案为：．45.【答案】（1）∵，

∴，

∵是的中点，

∴，

故答案为：，；

（2）证明：如图，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）①如图，

，理由如下：

作交的延长线于，

同理（）可得，

，

∵，

∵，

∴