专题2.1函数的概念（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题2.1函数的概念教学目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.教学重难点1.重点(1)理解函数的概念；(2)求函数的定义域和值域.难点：(1)对函数概念的理解;(2)求抽象函数的定义域.知识点01函数的概念（重难）1.初中教材中函数的定义（传统定义）在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的y值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.2.集合观点的函数定义(近代定义)给定实数集中的两个非空数集和,如果存在一个对应关系,使对于集合中的每一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就把对应关系称为定义在集合上的一个函数,记作.其中集合称为函数的定义域,称为自变量,与值对应的值称为函数值,集合称为函数的值域.3.函数的四个特征(1)非空性:,都是非空数集,因此定义域或值域为空集的函数不存在,如就不是函数;(2)任意性:定义域中的每一个数都有函数值与之对应:(3)单值性(唯一性):每一个自变量都在中有唯一的值与之对应;(4)方向性:函数是一个从定义域到值域的对应关系,如果改变这个对应方向,那么新的对应关系就不一定是函数关系.【知识剖析】两种定义的比较(1)相同点:传统定义和近代定义强调的都是两个变量之间的关系，即对于变量“的每一个值”以及“中的每一个数”都有唯一一个“的确定的值”及“确定的数”分别与之对应.(2)不同点:传统定义是从变量变化的角度来刻画两个变量之间的关系，而近代定义是从集合间的对应关系的角度来刻画两个变量之间的关系.【即学即练】1.下列对应是集合到集合的函数的是(

)A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.故选A．2.下面图象中，不能表示函数的是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.故选：C.知识点02函数的三要素（重难）函数的三要素包括定义域、对应关系、值域.1.定义域函数的定义域指的是函数中的集合,即自变量的取值集合.一般情况下,当没有指明函数的定义域时,就认为它的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,,如的定义域就是.2.对应关系对应关系f是函数的本质特征,它可以看作是对“”施加的某种运算或法则.例如,就是对自变量求平方，因此对应关系可简记为“求平方”.3.值域对于函数,集合称为函数的值域.函数的值域是函数值的集合,通常一个函数的定义域和对应关系确定了,那么它的值域也就随之确定了.【知识剖析】f(x)与f(a)的区别与联系f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．【即学即练】1.（24-25高一上·广东江门·阶段练习）函数的定义域为．【答案】且【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得．【解析】由题意得：，解得：且，所以函数的定义域为且．2.（24-25江西六校高一上期中联考）已知函数的值域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】根据题意，得到，即可求得函数的定义域.【解析】由函数的值域为，可得，解得，所以函数的定义域为.知识点03同一个函数(易错)一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【易错警示】(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.如与,它们的定义域和值域都是实数集,但不是同一个函数.(2)函数是两个非空数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.例如,与就是同一个函数.【即学即练】1．（24-25高一上·重庆·期中）下列选项中是同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】BD【分析】根据函数解析式和定义域结合函数相等逐项分析判断.【解析】对于选项A：因为的定义域为，的定义域为，两者定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误；对于选项B：因为，且两个函数的定义域均为，所以是同一个函数，故B正确；对于选项C：因为的定义域为，的定义域为，两者定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误；对于选项D：因为，且两个函数的定义域均为，所以是同一个函数，故D正确；故选：BD.知识点04分段函数（重点）1.分段函数的定义(1)在自变量的不同取值范围内,有不同的对应关系,需要用不同的解析式来表示的函数叫作分段函数.例如是一个函数，而不是几个函数.(2)生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税税率、电价的阶梯收费等.【即学即练】1．（24-25高一上·河南信阳·期中）设函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件分段逐次计算即可判断作答.【解析】因函数，则，所以.故选：A知识点05复合函数与抽象函数（拓展）1.复合函数的概念如果函数的定义域为,函数的定义域为,值域为,且,则称函数为函数与在上的复合函数,其中叫作中间变量,叫作内层函数,叫作外层函数.2.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数.【即学即练】1.已知函数，设则.【答案】【解析】由得所以.题型01判断函数关系【典例】下列各式中，y是x的函数的是（）①y=x−2；②xA.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【解析】①对任意x≥2，有唯一y对应；②当x=0时，函数关系的判断方法1．判断两个变量之间是否存在确定关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否是唯一的会随之变化．2．可以一对多，不可以多对一.【变式1-1】(多选)托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是(

)A．B．C．D．【答案】BD【解析】由题意，，A项，在中，当时，对应函数值为，与集合不对应，A错误；B项，在中，当时，对应的函数值分别为，B正确；C项，在中，当时，定义域不合要求，C错误；D项，在中，当时，对应的函数值分别为，D正确；故选：BD.【变式1-2】（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据函数的定义，结合图象判断自变量对应函数值的个数，即可得.【解析】由函数的定义，对于任意自变量只能有唯一函数值与之对应，结合各图知，A、B、C不符合，D符合.故选：D题型02相等（同一个）函数的判断【典例】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列函数是同一函数的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】BC【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可.【解析】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错；对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对；对于C选项，函数、的定义域均为，且，这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对；对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为，对于函数，有，解得或，即函数的定义域为，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错.故选：BC.判断两个函数是不是同一个函数判断两个函数是不是同一个函数时,要遵循定义域优先的原则，即要先求定义域若定义域不同,则不是同一个函数,若定义域相同,再恒等化简函数的解析式,看对应关系是否相同.看定义域，定义域不同,则两函数不同;再看对应关系，对应关系不同，则两函数不同；只有定义域和对应关系都相同，两函数才是同一个函数.【变式2-1】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果.【解析】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误；对B，和的定义域均为，且，故B正确；对C，的定义域为，的定义域为，故C错误；对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误.故选：B.【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】根据相同函数概念，定义域相同且对应关系相同，逐个计算分析判断即可.【解析】对于A选项，对于，根据根式的性质，所以，其定义域为.而，其定义域为.但是与的对应关系不同，当时，，所以A选项错误.

对于B选项，对于，其定义域为.的定义域为.与定义域不同，所以B选项错误.

对于C选项，对于，因为，所以，，定义域为.，定义域为.与定义域相同，对应关系也相同，所以C选项正确.

对于D选项，对于，其定义域为，且.的定义域为.与定义域不同，所以D选项错误.故选：C.题型03求具体函数的函数值【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可.【解析】因为，令，可得；令，可得；两式相加可得，令，可得；则，即.故选：D.【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数(1)求的值．(2)求证：是定值．(3)求的值．【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解；（2）根据函数解析式列式运算可得证；（3）由（2）的结论，组合运算即可得解.【解析】（1）因为，所以；（2）证明：为定值；（3）由（2）可知，，，所以．函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由内向外的原则.【变式3-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函数，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】把自变量直接代入解析式即可求解.【解析】因为，所以.故选：C.【变式3-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，令，代入运算求解.【解析】因为，则，即，解得.故选：C.【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则．【答案】【分析】根据分段函数的解析式直接代入求解即可【解析】因为，所以．【变式3-4】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数满足，则.【答案】5【分析】根据题意，由条件可得函数的解析式，代入计算，即可得到结果.【解析】因为，所以，则.【变式3-5】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知，若对一切实数，均有，则.【答案】【分析】列方程组解得参数a、b，得到解析式后，即可求得的值.【解析】由对一切实数，均有可知，即解之得则，满足故.题型04求抽象函数的函数值【典例】（24-25高一上·福建福州·期末改编）函数的定义域为，，，且，则，.【答案】3，-1【解析】令，则，则，令，则

①．令，则，所以

②．联立①②可得，则.求抽象函数的函数值的方法求抽象函数的函数值的方法就是两个字——赋值，即恰当赋值，构造所求函数值的方程（组），利用方程思想求解.【变式4-1】（2025高一·全国·专题练习）函数不恒为零，且满足，若，则（

）A．0 B．-2 C．2 D．4【答案】A【分析】本题用赋值法求抽象函数的值，首先赋值，求出，再赋值，求出，再赋值求即可.【解析】令，则原式变为，即，所以或者，当时，令得到，所以，不满足题意舍去，所以，令，可得，所以令，可得，所以所以故选：A.【变式4-2】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意求出的值，进而可得，的值，以此类推即可得出结果。【解析】令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，，依次类推可得。故选：C题型05由函数值求参【典例1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可.【解析】令，解得，所以，因为，所以，故选B.【典例2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数．(1)求的值；(2)当时，求a的值．【分析】（1）根据函数解析式，先求，再求；（2）利用，建立a的方程求解.【解析】（1）因为，所以，所以；（2）因为，解得.由函数值求参已知函数值求参数范围常用转化法,即根据函数定义域的含义构建方程(组)或不等式(组)将问题转化为方程(组)或不等式(组)的解集问题.【变式5-1】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，且，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】令，解得，再根据求解.【解析】因为，且，令，解得，所以，解得，故选：A【变式5-2】（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若，则.【答案】【分析】令，解出，代入求即可．【解析】令，解得，则故答案为：【变式5-3】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数.(1)点在的图象上吗？(2)当时，求的值；(3)当时，求的值；【分析】（1）计算后可得；（2）代入计算；（3）方程即得．【解析】（1），所以点不在的图象上；（2）；（3），解得．题型06求具体函数的定义域【典例】（24-25高一上·河南商丘·期末）函数的定义域为.【答案】【分析】由函数定义域的定义列出不等式求得自变量的取值范围即可得到结果.【解析】由题意可知解得且，故函数的定义域为.求具体函数定义域的一般原则(1)分式中分母不能为零;(2)二次根式(偶次根式)中的被开方数不小于零;(3)若f(x)的解析式是由几个式子构成,则函数定义域是使几个式子都有意义的实数集合的交集；(4)f(x)=x0的定义城是x∈R，且x≠0；(5)求函数定义域一定要根据最原始的解析式来求解,不能先化简再求定义域.【变式6-1】（2025高二下·湖南娄底·学业考试）函数的定义域是（

）A．且B． C． D．且【答案】A【分析】根据函数有意义求解即可.【解析】由，解得且，所以函数的定义域是且.故选：A.【变式6-2】（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次根式被开方数大于等于零及分母不为零可得函数的定义域.【解析】由题意得，，解得或，∴函数的定义域为.故选：C.【变式6-3】（24-25高一上·河北承德·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数表达式有意义求函数的定义域.【解析】由题意可得，解得或或．所以函数的定义域为：.故选：A题型07求实际问题中函数的定义域【典例】（2025高三·全国·专题练习）已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为()A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．【答案】D【分析】根据三角形三边为正、两边之和大于第三边，列出关于的不等式组，解出即可.【解析】由题意知解得<x<5即定义域为求实际应用问题中函数的定义域对于实际应用问题中的函数定义域，一是要使函数式本身有意义，二是要使实际问题有意义，由上述两点列式求解即可.【变式7-1】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实际意义分析即可.【解析】由题意可知，炮弹发射后共飞行了，所以，即函数的定义域为.故选：C【变式7-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据矩形的周长的定义和边长的范围可得选项.【解析】边长为，另一条边长为，得，所以，故选：D.【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设矩形的一边长为x，该边的邻边长为，根据矩形的边长大于零即可求解.【解析】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为，由得，故这个函数的定义域是.题型08求抽象函数的定义域【典例1】（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域.【解析】因为函数的定义域为，由，解得，故函数的定义域为.故选：B【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为，函数的定义域为．【答案】【分析】先求得的范围，进而可得的定义域为，利用，进而求得函数的定义域.【解析】由，得，所以的定义域为．由，得，所以函数的定义域为．常见的三种类型抽象函数、复合函数定义域的求法(1)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围；(2)已知f(g(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B,求g(x)的取值范围(值域),此取值范围就是f(x)的定义域；(3)已知f(g(x))的定义域求f(h(x))的定义域，先求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(h(x))的定义域.【变式8-1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求解即可【解析】函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为.【变式8-2】（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；【解析】由题意：要使有意义，则解得，所以的定义域为．【变式8-3】（24-25高一上·湖北·期中）若函数f(x−1)的定义域是[−1,3]A．[1,5] B．[0,4] C．[1,25] D．[0,16]【答案】D【分析】由已知求得x−1的取值范围，此范围也即为f(x−2)中【解析】函数f(x−1)的定义域是[−1,3]，−1≤x≤3⇒−2≤故对于函数f(x−2)，有−2⩽从而函数f(x−2)故选：D.【变式8-4】（24-25高二下·山东滨州·期中）已知函数f2x−3的定义域为1,3，则f【答案】−【分析】由题意，可得−1≤2x−3<3，即fx的定义域为−1,3【解析】因为函数f2x−3的定义域为1,3所以−1≤2x−3<3，即fx所以−1≤1−3x<3，解得所以函数f1−3x的定义域为题型9常见（一次，二次，反比例）函数的值域【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是.【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【解析】因为的图象对称轴为直线，开口向下，所以，，故函数的值域是.故答案为：【典例2】（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域：(1)，；(2)，；【分析】（1）根据函数的解析式求得值域.（2）根据二次函数的性质求得值域.【解析】（1）由，分别代入求值，可得函数的值域为．（2），由，当时，；当时，；，再结合函数的图象，可得函数的值域为．

常见（一次、二次、反比例）函数值域的求法(1)一次函数、反比例函数的值域可通过观察直接求得;(2)二次函数的值域一般利用配方法并借助函数图象求得.【变式9-1】（24-25高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为.【答案】【分析】根据不等式性质运算求解即可.【解析】因为，则，可得，所以在的值域为.【变式9-2】（24-25高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为.【答案】【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域.【解析】因为二次函数的值域为，所以的定义域是，值域为.【变式9-3】（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域.【答案】【分析】先将函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定区间找出函数的最大值和最小值，从而确定值域.【解析】将函数化为顶点式：,抛物线的二次项系数为，所以开口向下.对称轴为.因为，所以当时，，取得最大值.当时，，取得最小值.函数的值域为.题型10根式函数的值域【典例1】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域.【解析】令，则，则，故当时，取得最大值，最大值为，所以的值域为.故选：D根式函数值域的求法对于根式函数的性质问题（包括值域问题），常将根式设为一个新的变量，通过换元，将原根式函数转化为非根式函数，再进一步研究其性质.【变式10-1】（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用配方法可求得该函数的值域.【解析】因为，所以，.因此，函数的值域为.故选：C.【变式10-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.【解析】令，则，，则，令，，则，所以函数的值域为.故选：B题型11分式型函数的值域【典例1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用分离常数法求解.【解析】因为函数的定义域为，，所以函数的值域为.故选：D.【典例2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为．【答案】【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域.【解析】由解析式知：函数的定义域为R，且，整理可得，即该方程在上有解，当时，，显然成立；当时，有，整理得，即，综上，有函数值域为.分式型函数值域的求法(1)对于分子、分母均为一次式的分式型函数，常用分离常数法求其值域；(2)对于分子次数高于分母次数的分式型函数，常用分离常数法求其值域；(3)对于分子次数低于分母次数的分式型函数，常分子、分母同时除以分子，即通过作商转化为研究新分母的值域问题;(4)对于部分分子、分母最高次数为2的分式型函数，也可考虑利用根的判别式法求其值域.【变式11-1】（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是.【答案】且【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域.【解析】函数中，，则且，于是，由，得；由，得，所以原函数的值域为且.故答案为：且【变式11-2】（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是．【答案】【分析】分离常数，即可求解.【解析】,由于，故，故值域为，故答案为：【变式11-3】（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为.【答案】【分析】先运用常数分离法化简分式函数，再利用双勾函数的单调性求函数的值域即得.【解析】，，设，因在上单调递增，则，故，故函数的值域为.题型12由函数值域求定义域【典例】（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数的值域为，则的定义域可以是【答案】（答案不唯一）【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可.【解析】令，解得或，则的定义域可以是.根据函数值域求定义域的方法根据函数值域求定义域，先将函数写成方程或不等式的形式，求解x的取值范围即可.【变式12-1】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数的值域为，则它的定义域可以是．（写出其中一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】，取，则，取，则，得到答案.【解析】，取，则；取，则；故定义域可以为：或或.故答案为：.【变式12-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果.【解析】令，解得；令，解得；由二次函数的图象与性质可得，若要使函数的值域是，则它的定义域是可能是．题型13由函数定义域求参【典例】（2025•陕西西安阎良区校级期末）若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【答案】A【分析】由题意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函数的性质，分类讨论，求出a的范围．【解析】∵函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为R，∴ax当a＝0时，显然满足ax2+ax+1≥0恒成立．当a＜0时，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，当a＞0时，应有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．综上可得，a∈[0，4]，故选：A．由函数定义域求参的策略明确定义域条件，转化为不等式（组），结合参数范围求解，注意端点值验证，优先考虑定义域限制.【变式13-1】（24-25高一下·河南濮阳·期末）“函数的定义域为R”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据函数定义域得到，结合与的关系得到答案.【解析】定义域为R，即恒成立，故，由于时一定满足，但时不能得到，所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件.故选：B【变式13-2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果.【解析】根据题意对于恒成立；当时，显然成立，可得符合题意；当时，若满足题意可得，解得；当时，若满足题意可得，此时无解；综上可得，的取值范围是.故选：C题型14由函数值域求参【典例】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的值域为，则实数的值为.【答案】13【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解.【解析】由题意可得，解得，令（），则，所以，开口方向向下，对称轴为，所以在单调递减，故当时，有最大值，最大值为，解得.由函数值域求参的策略先确定函数值域表达式，转化为方程有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性.【变式14-1】（2025•水富市校级期中）若函数f(x)=x−2+m在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数A．(14，4] B．[14，4]【答案】C【分析】由已知结合函数单调性及已知函数值域对问题进行转化得m＝a−a−2，m＝b−b−2，问题转化为m＝x【解析】因为f(x)=x−2+m在区间[a，b]上单调递增且函数的值域为[a，b]（b＞所以a−即m＝a−a−2，m＝b−问题转化为m＝x−x−2令t=x−2，x＝2+t2且t所以x−x−2=t2﹣t+2，令g（t）＝t2﹣t+2，t≥0，所以y＝m与g（t）＝t2﹣t+2＝（t−12）2+7因为g（12）=74结合二次函数的性质可知，74＜m≤2．故选：【变式14-2】（23-24高二下·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数．【答案】5【分析】由题意得，解方程组可得的值.【解析】函数的对称轴方程为，所以函数在上为减函数，又函数在上的值域也为，则，即，由①得：，代入②得：，解得：（舍），．把代入得：．练基础1．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题结合区间定义，二次不等式解法可得定义域.【解析】或，则定义域为.故选：C2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（

）A．，对应关系B．，对应关系C．，对应关系D．，对应关系【答案】B【分析】根据函数的定义一一判断即可.【解析】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误；对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确；对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误；对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误.故选：B.3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值，所以的值域为.故选：D4.（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域.【解析】由已知函数定义域为，且，则，即，故选：C.5．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知函数，则（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】先确定函数的定义域，再对目标式进行化简，得到定值即可.【解析】易得函数的定义域为，且，，故B正确.故选：B．6.（24-25高一上·辽宁·期中）函数的最大值是（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】设，可得，然后配方后利用二次函数的性质求解即可.【解析】设，则，即，因为，所以当时，的最大值为，故选：B.7．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解.【解析】由函数的定义域为，有意义，则得，解得，有意义，需满足且，即且，所以函数的定义域为.故选：B.8．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果.【解析】根据题意对于恒成立；当时，显然成立，可得符合题意；当时，若满足题意可得，解得；当时，若满足题意可得，此时无解；综上可得，的取值范围是.故选：C9.（多选）（23-24高一上·四川成都·期中）下列四组函数中，表示不同函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【分析】根据同一函数的定义分别判断即可.【解析】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数，对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同；对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同；对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同；对于D，显然，即的定义域为，而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同；故选：ACD.10.（多选）（24-25高一上·江西抚州·期中）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（

）A． B．若，则C．函数的定义域是 D．函数的值域是【答案】AD【分析】根据图象逐项分析即可.【解析】对A，由图可知，，所以，A正确；对B，易知直线与的图象有两个交点，所以时，不一定为0，B错误；对CD，由图可知，函数的定义域为，值域为，C错误，D正确.故选：AD11．（23-24高一上·北京·期末）函数的值域为【答案】【分析】根据给定条件，利用二次函数性质求出值域.【解析】当时，，，当，即时，，当，即时，，所以所求值域为.12.（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为.【答案】【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可.【解析】由题意知.故答案为：.四、解答题13．（23-24高一上·天津和平·开学考试）求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分离常数法即可求解；（2）由复合函数值域、二次函数值域求法即可求解；（3）由复合函数值域、二次函数值域求法即可求解.【解析】（1），因为，所以的值域为；（2），因为，所以的值域为；（3），因为，所以的值域为.14．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.(1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围：(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据面积表达出，并根据和得到的取值范围；（2）表达出，利用基本不等式求出最大值及此时的值.【解析】（1）设矩形花园的一条边长为，面积为，则另一边为，，即，，，即，又，，；（2），当且仅当，即时，等号成立，当的值为20时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是.练提升15.（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可.【解析】，当时，.则.故选：B.16．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数定义域为的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数的定义域、一元二次函数以及恒成立问题求得充要条件，再根据充分不必要条件进行判断即可.【解析】因为函数的定义域为，所以对任意的恒成立，当时，不等式变形为，解得，不符合题意，当时，不等式的解集为，所以，解得，综上所述：函数的定义域为，则的取值范围；所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故A错误；所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故B错误；所以是函数的定义域为的一个充分不必要条件，故C正确；所以是函数的定义域为的一个充要条件，故D错误.故选：C.17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的值域为，即的值域包含这一子区间．故当时，，此时的值域为，符合题意；当时，是开口向下的二次函数，显然，值域不可能包含这一区间，故不符合题意；当时，需要与x轴有交点，才能完全包含这一区间，此时，即，解得．综上，．易错警示

一定要理解并区分定义域为与值域为的不同．18．（多选）（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（

）A．最小值是 B．最小值是C．最大值是 D．最大值是2【答案】AC【分析】根据新定义可得对任意实数恒成立，由二次函数的性质得出，从而得出，最后解一元二次不等式求出实数的取值