专题04 轻松破解基本不等式求最值的十四大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

2/37专题04轻松破解基本不等式求最值的十四大题型题型一：对勾型题型二：添加常数构造“对勾”型题型三：和定求积型题型四：积定求和型题型五：分式型题型六：根式型题型七：常数代换型题型八：凑配加常数代换型题型九：有和有积无常数型题型十：有和有积有常数型题型十一：多元分式型题型十二：代入消元型题型十三：双换元型题型十四：不少于三个数的均值型【知识点综述】1.一个重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；2.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．3.基本不等式的变形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；4.基本不等式链：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)（其中；5.基本不等式的推广：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即（当且仅当时，等号成立）．题型一：对勾型对勾型：，，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号.1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（）A．－4 B．4 C．8 D．162．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（

）A．若，且，则 B．当时，C．当时，的最小值为2 D．当时，3.（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．24．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a，b都是正数，则的最小值为．6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是．题型二：添加常数构造对勾型对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值.7.（23-24高一上·福建莆田·期末）已知，则的最小值为.8.（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的最小值为9．（24-25高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值；（2）已知，求的最小值．题型三：和定求积型如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是(简记：和定积最大).10.（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．11.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，则的最大值为（

）A． B．4 C．6 D．812.（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（

）A．36 B．4 C．16 D．913．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为.14．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，，且，则的最大值为.15．（上海市杨浦区2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知，则的范围是．题型四：“积定求和”型如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2eq\r(p)(简记：积定和最小).16.（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．817．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．18.（2025·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．819.（2025河北沧州高三下联考）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型五：分式型求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值.对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数.20．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．221．（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．322．（24-25高一·广东·中山联考）若，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．423．（24-25高二下·山西·阶段练习）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围（）A． B． C． D．24.（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．425.（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）已知,则函数的最大值为26.（2025·江西九江高一联考）已知，函数的最大值是.题型六：根式型对于根式型的最值问题，主要策略有三：(1)换元法；（2）进根号；（3）平方法.27．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的最大值为28.（24-25高一上·北京四中月考）若,则的最大值为.29.函数(的最大值为.题型七：常数代换型1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1：已知正数满足，求的最小值。模型2：已知正数满足求的最小值.2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；（2）把确定的定值(常数)变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式求解最值．30．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．931．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．832．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．33.（2025·安徽省舒城中学高一阶段练习）若，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．134．（2025高一上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是．题型八凑配加常数代换型有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解。35.（2025·全国·高一单元测试）若，，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．36.（2025·江西·吉安高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．3237.（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．238．（2025·山西朔州·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为．题型九：有和有积无常数型这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值.39.（2025河南开封高一上联考）若正实数，满足，则的最小值为（

）A．16 B．8 C．4 D．240.（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．41.（2025浙江省A9协作体高二下期中）已知，，且，则的最小值为（

）A．12 B．9 C．8 D．642．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为.题型十：有和有积有常数型这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值．43．（24-25高三上·广东广州·月考）若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．44．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知，则的最小值为（

）A． B．9 C． D．1045．（23-24高三下·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（

）A．2 B．3 C． D．46．（24-25高三上·广东湛江·月考）已知正数满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型十一：多元分式型对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配构造47.（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（

）A．11 B．9 C．8 D．648.（2022·全国·高一课时练习）若，，则的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．2249.（2025·广东韶关实验中学高一阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（

）A．1 B．6 C．7 D．50.（2025·湖南长沙·高一期末）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3题型十二代入消元型对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值.51.（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．52．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（

）A．12 B． C．36 D．53．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型十三：双换元型双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况．具体操作如下：如分母为与，分子为，设∴，解得：另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简．54．（24-25高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．55．（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．156．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为57．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是.58．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是.题型十四：不少于三个数的均值型（拓展）基本不等式的推广：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即（当且仅当时，等号成立）．59．已知，且，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．260