专题4.2 简单幂函数的图象和性质（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题4.2简单幂函数的图象和性质教学目标1.熟练掌握幂函数的基本概念和性质。2.理解和掌握数学概念的能力。3.能够通过图象特征来理解和解释幂函数的性质。教学重难点1.重点：(1)理解幂函数的定义，即底数和指数都是正数的函数。(2)通过分析幂函数的图象特征，掌握幂函数的性质。难点:(1)让学生学会如何通过图象来理解幂函数的性质。(2)能够灵活运用幂函数的知识来解决实际问题。知识点01幂函数的概念（易错）一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．【即学即练】1.（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点3,3A．y=x-1C．y=x2【答案】B【解析】设幂函数解析式为y=xα，代入点3,3可得3所以该幂函数的解析式是y=知识点02幂函数的特征幂函数的三大特征：(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．【即学即练】1.(多选)（2024高一下·云南曲靖·阶段练习）下列关于幂函数fxA．幂函数的图象经过第一象限B．幂函数的图象都经过点1,1C．当a>0时，幂函数fx=D．幂函数fx=【答案】AB【解析】当x>0时，幂函数fx=xa对任意a因为1a=1，所以幂函数fx=xa的当a=122.（24-25高一上·上海·单元测试）函数y=m2+2m【答案】-3【解析】因为函数y=m2+2m解得：m=-3，或m知识点03常见幂函数的图象特征同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x1注意点：(1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．(2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高).【即学即练】1.（24-25高一·上海·课堂例题）函数y=x4A． B．C． D．【答案】A【解析】令fx=x所以函数y=由幂函数性质可知函数y=x43在0,+∞上单调递增，且当x>1时的图象知识点04常见幂函数的性质（重点）1.常见幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减在(－∞，0]上单调递减在(－∞，0)上单调递减2.幂函数的单调性特点(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．3.幂函数的奇偶性特点幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．【即学即练】1.（2024高二下·福建厦门·期末）函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解.【解析】因为，所以为奇函数，当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确.知识点05一般幂函数的图象与性质（拓展）1.一般幂函数的图象当时，y=x的图象是一条直线;当时，（）的图象是一条不包含点(0,1)的直线;当为其他值时，相应幂函数的图象如下表：2．幂函数的性质通过分析以上幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质:(1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．(4)任何幂函数图象与坐标轴或仅相交于原点，或都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；(5)任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．【即学即练】1.函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，所以函数是偶函数，故排除D，由幂函数性质可知函数在0,+∞上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、题型01幂函数的判断【典例1-1】下列函数中，属于幂函数的是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】形如（为常数且）为幂函数，要求底数为变量且系数为1，对比选项仅有B：符合要求.【典例1-2】．已知函数是幂函数.则（） A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】因为函数是幂函数，所以，所以，所以，所以.幂函数的判断方法1.系数为1;2.指数为常数;3.后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.【变式1-1】下列函数是幂函数且是奇函数的是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，易知不是幂函数，错误；对于B，易知其为偶函数，错误；对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为，又，奇函数，正确；对于D，易知其为偶函数，错误；【变式1-2】若函数是幂函数，则实数的值是（） A．1或 B． C．2 D．或2【答案】D【解析】由幂函数的定义知，解得或．题型02幂函数求值【典例2-1】已知幂函数的图象过点，则（） A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，设，则，可得，解得，故.故选：D.【典例2-2】（2024高一上·浙江温州·期中）已知定义在R上的幂函数fx，则fA．0 B．-1 C．1 D．不确定【答案】B【解析】由题意函数fx过点0,0，1,1所以f0幂函数求值根据幂函数定义，得出表达式，代入即可。【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则（） A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，设，则，可得，解得，故.【变式2-2】（2024高一上·天津·期末）已知函数fx=m2+【答案】4【解析】由题意得m2+m当m=-2时，f当m=1时，fx故f2故答案为：【变式2-3】已知函数且，则正数的值为______________.【答案】/=【解析】当时，函数单调递增，有，当时，函数单调递增，有，因为，所以有，故答案为：题型03幂函数图象过定点【典例3-1】（2025高一上·上海徐汇·阶段练习）已知f(x)=(2x-1)n+1，则函数【答案】(1,2)【解析】令2x-1=1，得故函数f(x)图象故答案为：(1,2)【典例3-2】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（） A． B． C． D．【答案】B【解析】因为幂函数的图象过定点，即有，所以，即的图象经过定点幂函数过定点判断方法1）x>0时过定点(1，1)2)x=0时过定点(0,0)3)x<0时过定点(-1，-1)【变式3-1】（2025高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（

）A．幂函数的图象一定过原点B．α=1,3,12C．幂函数的图象会出现在第四象限D．y=2【答案】B【解析】解：幂函数图象不一定过原点，例如y=x-1当α=1,3,12时，幂函数y=x由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；函数y=2x2【变式3-2】（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数y=xα，∀α<0的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mxA．1 B．2 C．2 D．4【答案】D【解析】依题意，A(1,1)，则m+n当且仅当m=所以当m=n=题型04幂函数的定义域【典例4-1】（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①y=x75；②y=x56；③y=x47；④【答案】3【解析】解：①y=x7②y=x5③y=x4④y=x-⑤y=x-⑥y=x2故定义域为R的有①③⑥，共3个，故答案为：3．【典例4-2】（2025高一上·全国·期中）已知函数fx的定义域是-1,3，则函数gx=【答案】0,2【解析】因为函数fx的定义域是-1,3所以-1≤2x-1≤3，解得0≤x≤2，所以函数要使gx=f2x所以gx=f故答案为：0,2幂函数定义域求法1.已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；2.对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.【变式4-1】（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数f(A．f(-32)=116 B．C．fx是奇函数 D．不等式fx【答案】AD【解析】对A，由题知，m+95=1，得对B，函数f(x)的定义域是{对C，因为f(-x)=对D，当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递减，所以|x即不等式的解集为[-1,1)∪(1,3]，故D正确．【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件：①函数图象过点3,1②函数图象过点-2,4；③函数的定义域为-∞,0∪任选其中两个条件满足函数，同时求出x=4【答案】选①③，14【解析】设fx选①②：由题可得3a=1选①③：由函数图象过点3,13可得3a=1易知，函数fx=x所以x=4时，y选②③：由函数图象过点-2,4可得-2a=4，解得a=2因为fx=x综上，应选①③，此时fx=x-1，当【变式4-3】（24-25高一上·上海·假期作业）求函数y=【答案】0,2【解析】由题意，x≠0x-2≠0即函数y=x题型05幂函数的值域与最值【典例5-1】（2024高一下·辽宁·阶段练习）函数y=x2【答案】0,1【解析】由幂函数性质可知y=x2又易知y=所以当-1≤x≤0时，可知y=可得0≤y故答案为：0,1求幂函数值域方法1．首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值;2.画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值【变式5-1】（2024高一上·全国·课后作业）已知a∈-1,1,2,3，则使函数y=【答案】1，3【解析】当a=-1时，y=x当a=1时，y当a=2时，y=x当a=3时，y故答案为：1，3【变式5-2】（2025高一上·山东济南·期中）若函数fx=ax2021+bx2021【答案】1【解析】设gx=f又g-x=记fxmin为fx在0,+∞上的最小值，fxmax又gx在0,+∞上的最小值为fxmin-3=5-3=2，gx所以fxmin-3+故答案为：1.【变式5-3】（2025高一上·浙江·期中）函数fx=2x-【答案】1,20,1【解析】函数fx=2x-令u(x)=2x-x2，对称轴为x=1，开口向下，所以u(x)由u(x)=2x-x2所以fx题型06幂函数的单调性【典例6-1】已知幂函数在上是增函数，则（） A．或3 B． C．3 D．1【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，解得或，当时，在上是增函数，符合题意，当时，在上是减函数，不符合题意，舍去，所以，幂函数单调性1.在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；2.在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．【变式6-1】已知幂函数在上单调递增，则m的值为（） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3【答案】A【解析】由题意可得.【变式6-2】已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（） A．2 B． C．1 D．1或【答案】B【解析】由题意幂函数可得，解得，当时，在上单调递减，不合题意，故舍去；当时，在上单调递增，满足题意，故；【变式6-3】已知幂函数在定义域内单调递增，则（） A． B． C． D．2【答案】C【解析】因为为幂函数，且在定义域内单调递增，所以，解得.题型07幂函数的奇偶性【典例7-1】（2025·全国·课后作业）函数y=x5A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数【答案】A【解析】因为y=x5因为x∈所以f-所以y=x59是奇函数，又因为59【典例7-2】（2025上海·随堂练习）已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3，若幂函数y=x【答案】-1【解析】因为α∈幂函数fx=xα的所以α是奇数，且α<0，所以α故答案为：-1.幂函数奇偶性判断方法1.先看幂函数指数结构2.再看定义域是否关于原点对称，不对称则非奇非偶；对称时，若f(-x)=f(x)为偶，f(-x)=-f(x)为奇。【变式7-1】（2025上海虹口·期末）设α∈-2,-12,23,3，若幂函数y=xα【答案】2【解析】∵α若幂函数y=xα的图象关于y轴对称，则又幂函数y=xα在区间(0,+∞)上是严格增函数，则故答案为：23【变式7-2】（2025四川·阶段练习）已知α∈-1,12,2,3.若幂函数fx=【答案】3【解析】因为α∈所以当幂函数fx=xα为奇函数时，而幂函数fx=xα又在故答案为：3【变式7-3】（多选）（2025高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数fxA．fx的图象经过原点 B．fC．fx的值域为0,+∞ D．fx在区间【答案】BC【解析】由题意，m-1=1，所以m=2对于A，f(x)=故fx的图象对于B，因为f(x)=f(-x)=对于C，由于f(x)=对于D，由于-2<0，故f(x)=题型08利用幂函数性质比较大小【典例8-1】已知，则a，b，c的大小关系为（） A． B． C． D．【答案】D【解析】,幂函数在上单调递增，因为,所以,即,所以,【典例8-2】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（） A． B． C． D．【答案】B【解析】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减，所以，即．利用幂函数性质比较大小同底数看指数增减，同指数看底数正负；不同底指用中间值过渡【变式8-1】下列比较大小中正确的是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】对A：因为幂函数在上单调递增，且，所以，故A错误；对B：因为幂函数为奇函数，在单调递减，，所以，即，故B错误；对C：因为幂函数为奇函数，在单调递增，，所以，即，故C正确；对D：因为幂函数为偶函数，在单调递增，，所以，即，故D错误.【变式8-2】已知实数满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】在同一坐标系中画出函数和的图象如图所示：由图可知在处；在处；在处；在处；在两曲线的三个交点处均满足，所以①②⑤正确.【变式8-3】幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0【答案】D【解析】由，解得或.当时，；当时，.因为函数的图象与坐标轴有交点，故.又，所以，因为为在R上单调递增的奇函数，所以，即.题型09利用幂函数性质解不等式【典例9-1】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，解得，则，由可得，可得，解得或，因此，实数的取值范围是.利用幂函数性质解不等式先确定幂函数单调性，转化不等式；注意定义域，结合奇偶性简化，最后求解集。【变式9-1】已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（） A． B． C． D．【答案】D【解析】设幂函数，因为幂函数的图象过点，则，解得，即，因为，即，整理可得，解得或，所以不等式的解集为.【变式9-2】已知函数，且，则m的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为R，，函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增，不等式，则，即，解得或，所以m的取值范围是.故选：A【变式9-3】已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是______________.【答案】【解析】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，所以且为奇数，又，所以，则，即为，因为函数的定义域为且为减函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.题型10幂函数图象的应用【典例10-1】（2025云南昆明·阶段练习）已知函数fx=x,x≥02x,x<0，A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】作出函数fx=x

因为gx=-fx，则将函数fx的图象关于x轴对称，可得出函数

【典例10-2】（2025广东肇庆·开学考试）把抛物线y=3A．y=3x+1C．y=3x-6【答案】B【解析】将抛物线y=3x-2再向左平移4个单位长度，所得到的抛物线为y=3幂函数图象的应用1.确定定义域与奇偶性，画关键点连线；借单调性、定点解不等式，比较大小；2.依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x3)来判断。【变式10-1】（2025·山东济南·期末）已知函数fx=x-2,A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】结合题意可得：当x<0时，易知fx=当x≥0时，易知fx=故函数fx=x要得到y=-fx，只需将y=fx的图象沿【变式10-2】（2025全国·专题练习）如图所示是函数y=xmn（m、A．m，n是奇数且mn<1 C．m是偶数，n是奇数，且mn>1 【答案】B【解析】由图象可看出y=xm故mn∈0,1且m【变式10-3】（2025陕西西安·期中）直线y=2与函数y=x2【答案】4【解析】令x2-6x>0，xx将x=3代入y=x2-6x

由图可知，直线y=2与函数y=x2故答案为：4.【变式10-4】已知函数其中．那么=0的实根为___________；若的值域是，则c的取值范围是____________________．【答案】0,-1.【解析】依题意作下图：令，得x=0，令，得x=0或x=-1，∴=0的实根为0，1；由于当时，，所以当时，是增函数，所以其值域为，由题意可知：；练基础一、单选题1．下列函数是幂函数的是（

）A．y=x2xB．y=【答案】C【解析】对于A，y=x2对于B，y=对于C，y=对于D，y=32．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（

）A．f(x)=3C．f(x)=【答案】C【解析】解:幂函数的图象都经过点(1,1)，排除A；f(x)=3．幂函数在第一象限的图象如图所示，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以由图象得：，4．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以．5．已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由，可得，则，因此，.6．已知函数是幂函数，且在单调递增，则m的值为（

）A．－2 B．3 C．－2或3 D．2或3【答案】B【解析】由幂函数定义得：，解得：或3，又在单调递增，所以，解得：，综上：m的值为3.二、多选题7．下列结论中正确的是（）A．幂函数的图象都经过点1,1B．幂函数的图象不经过第四象限C．当指数α取1，3，12时，幂函数yD．当α=-1时，幂函数y【答案】ABC【解析】A选项，根据幂函数性质可知，A正确；B选项，所有的幂函数在区间0,+∞上都有定义且y=xα>0α∈R，所以幂函数的图象D选项，当α=-1时，y=x-1在区间8．下列可能是函数f（x）＝（其中a，b，c∈）的图象的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A选项中的图象关于y轴对称，B选项中的图象关于原点对称，两个选项均可得函数的定义域为，可得c＝0，又函数f（x）的零点只能由ax＋b产生，所以函数f（x）可能没有零点，也可能零点是x＝，所以AB选项可能符合条件；而D选项中的图象知函数f（x）的零点在（0，1）内，但此种情况不可能存在，所以D选项不符合条件；观察C选项中的图象，由定义域猜想c＝1，由图象过原点得b＝0，猜想a＝1，可能符合条件；三、填空题9．若幂函数fx过2,2点，则此函数的解析式为【答案】fx=【解析】设幂函数fx=xα，则f210．若幂函数的图象关于y轴对称，则实数______．【答案】【解析】由幂函数可得，解得或，又因为函数图象关于y轴对称，则a为偶数，所以．四、解答题11．已知幂函数为偶函数(1)求幂函数的解析式；(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【解析】(1)依题意有：，解得或；又函数为偶函数，则，所以.(2)；由题知：或，所以或.12．已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．【答案】（1）的解析式为；（2）实数的值为2.【解析】（1）由幂函数可知，解得或当时，，函数为偶函数，符合题意；当时，，不符合题意；故求的解析式为（2）由（1）得：函数的对称轴为：，开口朝上，由题意得在区间上，解得所以实数的值为2.练提升13．已知幂函数的图象经过点P8,4，则该幂函数的大致图象是（

A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】设幂函数为fx=xα，则8α=4，所以fx=x因为f-14．函数fx=x13A．

B．

C．D．

【答案】B【解析】由f1=0，排除A，D，当x>1时，x二、多选