专题4.2 简单幂函数的图象和性质（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

27/28专题4.2简单幂函数的图象和性质教学目标1.熟练掌握幂函数的基本概念和性质。2.理解和掌握数学概念的能力。3.能够通过图象特征来理解和解释幂函数的性质。教学重难点1.重点：(1)理解幂函数的定义，即底数和指数都是正数的函数。(2)通过分析幂函数的图象特征，掌握幂函数的性质。难点:(1)让学生学会如何通过图象来理解幂函数的性质。(2)能够灵活运用幂函数的知识来解决实际问题。知识点01幂函数的概念（易错）一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是、指数是的函数称为幂函数．【即学即练】1.（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点3,3A．y=x-1C．y=x2知识点02幂函数的特征幂函数的三大特征：(1).xα的系数是；(2)xα的底数x是；(3)xα的指数α为.只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．【即学即练】1.(多选)（2024高一下·云南曲靖·阶段练习）下列关于幂函数fxA．幂函数的图象经过第一象限B．幂函数的图象都经过点1,1C．当a>0时，幂函数fx=D．幂函数fx=2.（24-25高一上·上海·单元测试）函数y=m2+2m知识点03常见幂函数的图象特征同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x1【知识剖析】(1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．(2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高).【即学即练】1.（24-25高一·上海·课堂例题）函数y=x4A． B．C． D．知识点04常见幂函数的性质（重点）1.常见幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域______________________值域______________________奇偶性______________________单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减在(－∞，0]上单调递减在(－∞，0)上单调递减2.幂函数的单调性特点(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．3.幂函数的奇偶性特点幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．【即学即练】1.（2024高二下·福建厦门·期末）函数的图象大致是（

）A． B． C． D．知识点05一般幂函数的图象与性质（拓展）1.一般幂函数的图象当时，y=x的图象是一条直线;当时，（）的图象是一条不包含点(0,1)的直线;当为其他值时，相应幂函数的图象如下表：2．幂函数的性质通过分析以上幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质:(1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．(4)任何幂函数图象与坐标轴或仅相交于原点，或都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；(5)任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．【即学即练】1.函数的图象是（

）A． B．C． D．题型01幂函数的判断【典例1-1】下列函数中，属于幂函数的是（） A． B． C． D．【典例1-2】．已知函数是幂函数.则（） A． B．2 C． D．1幂函数的判断方法1.系数为1;2.指数为常数;3.后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.【变式1-1】下列函数是幂函数且是奇函数的是（） A． B． C． D．【变式1-2】若函数是幂函数，则实数的值是（） A．1或 B． C．2 D．或2题型02幂函数求值【典例2-1】已知幂函数的图象过点，则（） A． B． C． D．【典例2-2】（2024高一上·浙江温州·期中）已知定义在R上的幂函数fx，则fA．0 B．-1 C．1 D．不确定幂函数求值根据幂函数定义，得出表达式，代入即可。【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则（） A． B． C． D．【变式2-2】（2024高一上·天津·期末）已知函数fx=m2+【变式2-3】已知函数且，则正数的值为______________.题型03幂函数图象过定点【典例3-1】（2025高一上·上海徐汇·阶段练习）已知f(x)=(2x-1)n+1，则函数【典例3-2】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（） A． B． C． D．幂函数过定点判断方法(1)x>0时过定点(1，1)(2)x=0时过定点(0,0)(3)x<0时过定点(-1，-1)【变式3-1】（2025高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（

）A．幂函数的图象一定过原点B．α=1,3,12C．幂函数的图象会出现在第四象限D．y=2【变式3-2】（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数y=xα，∀α<0的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mxA．1 B．2 C．2 D．4题型04幂函数的定义域【典例4-1】（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①y=x75；②y=x56；③y=x47；④【典例4-2】（2025高一上·全国·期中）已知函数fx的定义域是-1,3，则函数gx=幂函数定义域求法1.已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；2.对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.【变式4-1】（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数f(A．f(-32)=116 B．C．fx是奇函数 D．不等式fx【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件：①函数图象过点3,1②函数图象过点-2,4；③函数的定义域为-∞,0∪任选其中两个条件满足函数，同时求出x=4【变式4-3】（24-25高一上·上海·假期作业）求函数y=题型05幂函数的值域与最值【典例5-1】（2024高一下·辽宁·阶段练习）函数y=x2求幂函数值域方法1．首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值;2.画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值【变式5-1】（2024高一上·全国·课后作业）已知a∈-1,1,2,3，则使函数y=【变式5-2】（2025高一上·山东济南·期中）若函数fx=ax2021+bx2021【变式5-3】（2025高一上·浙江·期中）函数fx=2x-题型06幂函数的单调性【典例6-1】已知幂函数在上是增函数，则（） A．或3 B． C．3 D．1幂函数单调性1.在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；2.在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．【变式6-1】已知幂函数在上单调递增，则m的值为（） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3【变式6-2】已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（） A．2 B． C．1 D．1或【变式6-3】已知幂函数在定义域内单调递增，则（） A． B． C． D．2题型07幂函数的奇偶性【典例7-1】（2025·全国·课后作业）函数y=x5A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数【典例7-2】（2025上海·随堂练习）已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3，若幂函数y=幂函数奇偶性判断方法1.先看幂函数指数结构2.再看定义域是否关于原点对称，不对称则非奇非偶；对称时，若f(-x)=f(x)为偶，f(-x)=-f(x)为奇。【变式7-1】（2025上海虹口·期末）设α∈-2,-12,23,3，若幂函数y=xα【变式7-2】（2025四川·阶段练习）已知α∈-1,12,2,3.若幂函数fx【变式7-3】（多选）（2025高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数fxA．fx的图象经过原点 B．fC．fx的值域为0,+∞ D．fx在区间题型08利用幂函数性质比较大小【典例8-1】已知，则a，b，c的大小关系为（） A． B． C． D．【典例8-2】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（） A． B． C． D．利用幂函数性质比较大小同底数看指数增减，同指数看底数正负；不同底指用中间值过渡【变式8-1】下列比较大小中正确的是（） A． B． C． D．【变式8-2】已知实数满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式8-3】幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0题型09利用幂函数性质解不等式【典例9-1】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．利用幂函数性质解不等式先确定幂函数单调性，转化不等式；注意定义域，结合奇偶性简化，最后求解集。【变式9-1】已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（） A． B． C． D．【变式9-2】已知函数，且，则m的取值范围是（） A． B． C． D．【变式9-3】已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是______________.题型10幂函数图象的应用【典例10-1】（2025云南昆明·阶段练习）已知函数fx=x,x≥02x,x<0，A．

B．

C．

D．

【典例10-2】（2025广东肇庆·开学考试）把抛物线y=3A．y=3x+1C．y=3x-6幂函数图象的应用1.确定定义域与奇偶性，画关键点连线；借单调性、定点解不等式，比较大小；2.依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x3)来判断。【变式10-1】（2025·山东济南·期末）已知函数fx=x-2,A．

B．

C．

D．

【变式10-2】（2025全国·专题练习）如图所示是函数y=xmn（m、A．m，n是奇数且mn<1 C．m是偶数，n是奇数，且mn>1 【变式10-3】（2025陕西西安·期中）直线y=2与函数y=x2【变式10-4】已知函数其中．那么=0的实根为___________；若的值域是，则c的取值范围是____________________．练基础一、单选题1．下列函数是幂函数的是（

）A．y=x2xB．y=2．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（

）A．f(x)=3C．f(x)=3．幂函数在第一象限的图象如图所示，则的大小关系是（

）A． B． C． D．4．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（

）A． B．C． D．5．已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知函数是幂函数，且在单调递增，则m的值为（

）A．－2 B．3 C．－2或3 D．2或3二、多选题7．下列结论中正确的是（）A．幂函数的图象都经过点1,1B．幂函数的图象不经过第四象限C．当指数α取1，3，12时，幂函数yD．当α=-1时，幂函数y8．下列可能是函数f（x）＝（其中a，b，c∈）的图象的是（）A． B．C． D．三、填空题9．若幂函数fx过2,2点，则此函数的解析式为10．若幂函数的图象关于y轴对称，则实数______．四、解答题11．已知幂函数为偶函数(1)求幂函数的解析式；(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.12．已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．练提升13．已知幂函数的图象经过点P8,4，则该幂函数的大致图象是（

A．

B．

C．

D．

14．函数fx=x13A．

B．

C．D．

二、多选题15．设，，则下列不等式中正确的是（

）．A． B．C． D．三、填空题16．若函数是幂函数，满足，则_________．17．定义，例如：min(－1，－2)＝－2，min(2，2)＝2，若f(x)＝x2，g(x)＝－x2－4x＋6，则函数F(x)＝min(f(x)，g(x))的最大值为______