第四章图形的相似（复习讲义）（原卷版）数学北师大版九年级上册

第四章图形的相似（复习讲义）1.

了解成比例线段、比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形、位似等概念的意义，体会图形相似相关知识之间的整体联系。2.

能用比例的基本性质、和比性质等进行比例运算；能利用平行线分线段成比例定理及其推论解决线段比例问题；能运用相似三角形的判定和性质解决相关问题；能利用位似变换作图（放大或缩小图形）。3.

理解并利用相似三角形的性质测量河的宽度、计算不能直接测量的物体高度或深度等实际问题。【知识点01】成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。【知识点02】比例的性质1）比例的重要性质：eq\o\ac(○,2)把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB分割，C叫做线段AB的分割点。【知识点03】平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。三角形相似具有传递性。2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。4）相似三角形的判定判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。5）相似三角形的性质①对应角相等，对应边的比相等；②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。）【知识点05】利用相似三角形测高1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。【知识点06】位似及位似作图1、位似的概念及性质（1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。（2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。联系：位似图形是特殊的相似图形。（3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。2、利用位似变换作图（放大或缩小图形）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。3、图形的变换与坐标（1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。（2）轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。（3）以原点为位似中心的位似变换题型一判断是否是成比例线段【例1】下列各组数中，不成比例的是（

）【变式11】下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（

）【变式12】下列四条线段成比例的是（

）【变式13】下列四个数，不能组成比例的是（

）A．2，6，4，12 B．，2，3，C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，9题型二比例的性质题型三由平行判断成比例的线段A． B． C． D．题型四由平行截线求相关线段的长或比值题型五补充条件使两个三角形相似

题型六利用相似三角形的性质求解题型七求位似图形的坐标

题型八在平面直角坐标系中作位似图形

(3)写出点、的坐标．题型九相似三角形的判定和性质的综合问题(2)若正方形的边长为4，求的长．(2)如图（2），若E为中点．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．（2526九年级上·浙江杭州·开学考试）下列线段能成比例线段的