专题47数学归纳法（举一反三讲义）数学人教A版选择性

专题4.7数学归纳法（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【题型1数学归纳法的证明步骤】 2【题型2用数学归纳法证明恒等式】 3【题型3用数学归纳法证明不等式】 6【题型4用数学归纳法证明几何问题】 8【题型5用数学归纳法证明整除问题】 10【题型6用数学归纳法证明数列问题】 12【题型7用数学归纳法证明其他问题】 15知识点1数学归纳法1．归纳法由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法.归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.2．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法称为数学归纳法.3．数学归纳法的重要结论及适用范围数学归纳法的重要结论适用范围只适用于证明与正整数有关的数学命题【题型1数学归纳法的证明步骤】【例1】（2425高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12nA．2k−1项 B．2k项 C．k【答案】B【解题思路】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数.【解答过程】当n=k时，不等式左边为1+1当n=k+1时，不等式左边为1+1故增加的项数为：2k+1故选：B.【变式11】（2425高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：fn=1+12+13+⋯+12n≥n+2A．1项 B．2k−1项 C．2k+1项 【答案】D【解题思路】分别计算出fk+1和f【解答过程】因为fn所以fk=1+1则fk+1=1+1所以fk+1比fk共增加了故选：D.【变式12】（2425高二上·上海·期中）用数学归纳法证明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 B．C．12k+1+1【答案】D【解题思路】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答过程】当n=k时，左边的代数式为1k+1当n=k+1时，左边的代数式为1k+1+1故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：1故选：D．【变式13】（2425高二上·全国·课前预习）对于不等式n2+n<n+1n∈（1）当n=1时，左边=12+1（2）假设当n=k（k≥1且k∈N+）时，不等式成立，即那么当n=k+1时，k+12+k+1所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确 B．n=1验证不正确C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确【答案】D【解题思路】根据数学归纳法的概念进行判断即可.【解答过程】在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法.故选：D.【题型2用数学归纳法证明恒等式】【例2】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：(1)1+3+5+⋯+2n−1(2)1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+1【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解题思路】（1）记Sn=1+3+5+⋯+2n−1=n2，验证当（2）记Tn=1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+1=nn+12n∈【解答过程】（1）证明：记Sn当n=1时，则有S1假设当n=kk∈N*则Sk+1这说明当n=k+1k∈故对任意的n∈N*，（2）证明：设Tn当n=1时，T1假设当n=kk∈即Tk所以，T=k+1这说明当n=k+1k∈所以，对任意的n∈N*，【变式21】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数n,2+6+10+⋯+4n−2【答案】证明见解析【解题思路】应用数学归纳法证明即可.【解答过程】当n=1时，左边=2=2×1假设n=kk≥1,则n=k+1时，等式左边=2+6+10+⋯+4k−2+综上，∀n∈N*都有【变式22】（2425高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明12+2【答案】证明见解析【解题思路】根据数学归纳法的步骤证明即可.【解答过程】当n=1时，左侧=12，右侧假设n=k时，12当n=k+1时，1=2−2k+4−k−1即当n=k+1时，等式也成立，综上可得，12【变式23】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式n∈N∗(1)−1+3−5+⋯+−1(2)n+1n+2【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解题思路】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可；（2）按照数学归纳法的步骤证明即可；【解答过程】（1）①当n=1时，左边=−1，右边=−11×1=−1②假设当n=kk∈即−1+3−5+⋯+−1则当n=k+1时，左边=−1+3−5+⋯+=−1即当n=k+1时，等式也成立；综上所述，由①②可知，对于任意正整数，−1+3−5+⋯+−1（2）①当n=1时，左边=1+1=2，右边=21=2②假设当n=kk∈即k+1k+2则当n=k+1时，左边==右边，即当n=k+1时，等式也成立；综上所述，由①②可知，对于任意正整数，n+1n+2【题型3用数学归纳法证明不等式】【例3】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：1×2+2×3+⋯+n【答案】证明见解析【解题思路】根据题意，先证n=1时，命题成立，假设n=k时，命题也成立，当n=k+1时，由1×2+【解答过程】当n=1时，左边=2右边=1×假设n=k时，命题成立，即1×2+则当n=k+1时，1×2<k所以n=k+1时命题成立，综上，1×2+【变式31】（2425高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明：1n+1【答案】证明见解析【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可.【解答过程】①当n=1时，左边=12+②假设n=k时不等式成立，即1k+1则当n=k+1时，左边==>1+1即当n=k+1时，不等式也成立.由①②可知，原不等式成立.【变式32】（2025高三·全国·专题练习）当n>1且n∈N∗时，求证：【答案】证明见解析【解题思路】验证当n=2时，不等式成立，假设当n=k时，不等式成立，证明当n=k+1时，不等式成立，从而得出结论.【解答过程】①当n=2时，左边=13+②假设当n=k时，不等式成立，即1k+1则当n=k+1时，左边=1(k+1)+1=1k+1>=9由①②知对任意n>1且n∈N【变式33】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：1+1【答案】证明见解析【解题思路】（i）当n=1时，不等式成立；（ii）假设当n=kk∈N∗【解答过程】（i）当n=1时，左边=1，右边=2(1+1−1)=2(2（ii）假设当n=kk∈即1+1那么当n=k+1时，1+12+又2(k+1−1)+1所以1+12+即n=k+1时，不等式也成立．由（i）（ii）可知，对任意n∈N【题型4用数学归纳法证明几何问题】【例4】（2425高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸n边形的内角和fn=【答案】证明见解析【解题思路】验证当n=3时，结论成立；假设当n=kk∈N∗时，结论成立，分析可知凸k+1k≥3,k∈N∗边形A1A2⋯AkA【解答过程】证明：当n=3时，三角形的内角和为180∘，即f假设当n=kk∈N∗假设凸k+1k≥3,k∈N∗则凸k+1k≥3,k∈N∗边形A1A2⋯Ak所以，fk+1这说明当n=k+1时，结论成立，故凸n边形的内角和fn【变式41】（2025高三·全国·专题练习）已知平面上有n个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测n个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论．【答案】n2【解题思路】用不完全归纳法猜想出结论fn【解答过程】设这些圆将平面分成的区域数为fnf1=2=1×0+2，f2=4=2×1+2，f猜想fn数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，一个圆将平面分为内部和外部两部分，即f(1)=2，结论成立；（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即k个圆将平面分为的区域数为：fk考虑n=k+1个圆，添加第k+1个圆，该圆与已有的k个圆都相交，由于任意两圆相交于两点，且任意三圆不共点，第k+1个圆与每个已有圆相交于两点，且这些交点互异.因此，第k+1个圆上共有2k个交点，这2k个交点将第k+1个圆分为2k段弧（因为m个互异点将圆分为m段弧），每段弧穿过一个已有的区域，并将该区域分割成两个新区域，因此每段弧增加一个新区域，所以添加第k+1个圆增加的区域数为2k.于是区域总数：f(k+1)=f(k)+2k，代入归纳假设：fk+1故当n=k+1时，结论也成立.由（1）（2）知对任意正整数n，n个圆（任意两圆相交于两点，任意三圆不共点）将平面分为的区域数为：n2【变式42】（2425高二下·全国·课堂例题）平面内有nn≥2,n∈N+【答案】证明见解析.【解题思路】根据数学归纳法证明的一般步骤证明即可.【解答过程】(1)当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)=1所以当n=2时，命题成立.(2)假设当n=kk∈即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)=1当n=k+1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)=1l与其他k条直线交点个数为k，从而(k+1)条直线共有(f(k)+k)个交点，即f(k+1)=f(k)+k=1所以当n=k+1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n∈N【变式43】（2425高二·全国·课后作业）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析.【解题思路】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可【解答过程】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用数学归纳法给出证明：①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1时猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．【题型5用数学归纳法证明整除问题】【例5】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：32n+2【答案】证明见解析【解题思路】按照数学归纳法的步骤证明即可.【解答过程】（i）当n=1时，32×1+2−8×1−9=64，能被64整除，故（ii）假设当n=k(k≥1)时命题成立，即32k+2则当n=k+1时，32(k+1)+2故当n=k+1时命题成立．由（i）（ii）可知对n∈N∗，【变式51】（2425高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：fn=2n+7【答案】证明见解析【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解.【解答过程】（1）n=1时，f1=2×1+7（2）假设n=kk≥1,k∈N∗当n=k+1时，fk+1=32k+7因为3k−1−1是偶数，所以183又因为fk能被36整除，所以fk+1能被由（1）（2）知，对一切n∈N∗，fn【变式52】（2425高二·全国·随堂练习）设n∈N∗，用数学归纳法证明：【答案】证明见解析【解题思路】利用数学归纳法来证明，当n=1时，命题成立，再假设当n=k时，f(k)=32k+2−8k−9能够被64【解答过程】（1）当n=1时，f1=3（2）假设当n=k时，f(k)=32k+2−8k−9当n=k+1时，f(k+1)=3∵f(k)=32k+2−8k−9∴f(k+1)=932k+2−8k−9即当n=k+1时，命题也成立．由（1）（2）可知，f(n)=32n+2−8n−9(n∈即f(n)=32n+2−8n−9【变式53】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=0，a2=1，an+2=an+1【答案】证明见解析【解题思路】利用数学归纳法，先验证m=1时，结论成立，再证明当m=k时，结论成立，可推出m=k+1时也成立，即可证明结论成立.【解答过程】用数学归纳法证明：①当m=1时，a4m+1②假设当m=k时，a4k+1当m=k+1时，a==3a由于假设了a4k+1能被3整除，又3a4k+2因此，当m=k+1时，a4综上可知：对一切m∈N∗，数列an【题型6用数学归纳法证明数列问题】【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列an中，a1=1，Sn是它的前n项和，当n≥2(1)求a2，a3，a4(2)用数学归纳法证明所得的结论．【答案】(1)a2=−23，a(2)证明见解析【解题思路】（1）由已知条件求出a2,a（2）用数学归纳法证明.【解答过程】（1）因为S2=a1+这时S2=13，S3这时S3=15，S4由a2=−21×3，a3=−2所以推测数列an的通项公式是a（2）用数学归纳法证明：（i）当n=1时结论成立；（ii）假设当n=k(k≥2)时结论成立，即ak这时S=1−1+1所以Sk+1当n=k+1时，由2Sk+12得2k+12k−1⋅ak+1=−由（i），（ii）可知对n∈N【变式61】（2425高二·全国·课堂例题）在数列an,bn中，a1=2,b1=4(1)求a2,a(2)根据计算结果，猜想an【答案】(1)a2=6,a(2)an【解题思路】（1）由条件得到2b（2）an【解答过程】（1）由已知条件得2b所以2b1=a12b2=a22b3=a3（2）由（1）的计算可以猜想an下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由已知a1②假设当n=kk≥2且k∈即ak则当n=k+1时，ak+1bk+1因此当n=k+1时，结论也成立．由①②知，对一切n∈N∗都有【变式62】（2425高二上·全国·课后作业）已知正项数列an的前n项和为Sn，满足(1)求出数列an(2)根据数列an【答案】(1)a1=3−1；(2)当n∈N*时，【解题思路】（1）分别将n=1,n=2,n=3代入求解即可；（2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及an【解答过程】（1）当n=1时，由已知条件可得a1+1=a解得a1当n=2时，由已知条件可得a1+a2+1=解得a2当n=3时，由已知条件可得a1+a（2）由（1）可以猜想an=2n+1假设当n=kk>3,k∈N*又因为ak+1将ak=2k+1所以n=k+1时命题成立．综合可得，当n∈N*时，【变式63】（2425高二·上海·随堂练习）设数列an的前n项和为Sn，S1=12，对任意(1)求S2，S3，(2)猜想Sn【答案】(1)34，45(2)Sn【解题思路】（1）根据Sn+1=1（2）利用数学归纳法的证明即可.【解答过程】（1）Sn+1=12−Sn，令n=2，S3令n=3，S4（2）猜想Sn①当n=1时，满足上式；②假设n=k时，上式成立，即Sn则当n=k+1时，Sk+1显然，猜想成立，所以Sn【题型7用数学归纳法证明其他问题】【例7】（2425高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式：1>11+11+11+1（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）1+1【解题思路】（1）猜想不等式左边最后一个数分母2n−1，对应各式右端为n（2）递推部分，利用n=k时结论，替换括号内部分1+12+【解答过程】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：1=21−1，3=22猜想不等式左边最后一个数分母2n−1，对应各式右端为n所以，不等式的一般结论为：1+1（2）证明：①当n=1时显然成立；

②假设n=k时结论成立，即：1+12当n=k+1时，1+>k>k即当n=k+1时结论也成立.由①②可知对任意n∈【变式71】（2425高二下·河南南阳·期末）设fn=nn+1，(1)当n=1,2,3,4时，试比较fn(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．【答案】(1)f1g1<1；f2(2)当n≥3，n∈N∗时，有【解题思路】（1）求出fn（2）利用数学归纳法证明即得.【解答过程】（1）∵f1=1∴f1<g1∵f2=2∴f2<g2∵f3=3∴f3>g3∵f4=4∴f4>g4（2）猜想：当n≥3，n∈N∗时，有证明：①当n=3时，猜想成立．②假设当n=k（k≥3，k∈N∗）时猜想成立，当n=k+1，fk+1∵k+12∴k+12kk+2即k+12k+2∴当n=k+1时，猜想成立.由①②知，当n≥3