实际问题与二次函数（第2课时）（导学案）数学人教版九年级上册

22.3实际问题与二次函数（第2课时）（导学案）（解析版）1.教学目标（2）使学生学会将实际问转化为数学问题；学会从现实生活中抽象出二次函数的关系，并会用二次函数的最值求最大利润问题。（3）通过自主探索和合作交流经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，发展合情推理，体会到数学来源于生活，又服务于生活。重点：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最大（小）值解决实际问题。难点：如何从实际问题中抽象出二次函数关系。第一环节自主学习温故知新：【学法指导】自研课本P50页内容问题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?1.本问题我们要分为哪些情况来考虑?分为涨价和降价两种情况。2.设每件商品涨价元，则每星期销量减少多少件?实际卖出多少件?销售额为多少元?买进商品需付多少元?（用含有的代数式表示）3.设每件商品涨价元，每星期售出商品的利润为元,与的函数关系是什么?的取值范围是什么?4.当取什么值时,值最大?也就是说，在涨价的情况下，涨价多少元，即定价多少元时,利润最大，最大利润是多少?5.在降价的情况下，设每件商品涨价元，每星期售出商品的利润为元,与的函数关系是什么?的取值范围是什么?6.当取什么值时,值最大?也就是说，在降价的情况下，降价多少元，即定价多少元时,利润最大，最大利润是多少?7.综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价多少元时，利润最大？最大利润是多少？65元;6250元.总结归纳：如何利用二次函数解决生活中的利润问题？一般步骤：（1)分析变量，列出关系式；（2）确定自变量取值范围；（3）确定所得的函数；（4)检验x的值是否在自变量取值范围内；(5）解决提出的实际问题.【自研自探】例1.某服装店的销售中发现：进货价为每件50元．销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降低1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？(2)求降价多少元利润最大？最大利润是多少？【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系正确列出一元二次方程即可求解．（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润乘以销售量等于总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；（2）根据题意列出一元二次方程，然后化成顶点式即可求解．依题意得：∵要顾客得到较多的实惠，则每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又使顾客得到较多的实惠．故每件降价15元时，取的最大利润1250元．(2)已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点ABA和B门票价格元/人元/人元/人（2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元，，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可．本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解最大值是解题的关键．（2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元，由题意，得第二环节合作探究1.讨论本问题我们要分为哪些情况来考虑?设每件商品涨价元，则每星期销量减少多少件?实际卖出多少件?销售额为多少元?买进商品需付多少元?（用含有的代数式表示）2.讨论设每件商品涨价元，每星期售出商品的利润为元,与的函数关系是什么?的取值范围是什么?当取什么值时,值最大?也就是说，在涨价的情况下，涨价多少元，即定价多少元时,利润最大，最大利润是多少?3.讨论在降价的情况下，设每件商品涨价元，每星期售出商品的利润为元,与的函数关系是什么?的取值范围是什么?当取什么值时,值最大?也就是说，在降价的情况下，降价多少元，即定价多少元时,利润最大，最大利润是多少?4.讨论综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价多少元时，利润最大？最大利润是多少？。(1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？(2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元．(3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）设蛋黄月饼的进价是元袋，甜蜜月饼的进价是元袋，根据“第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄月饼40袋和甜安月饼80袋，总费用为3600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）根据：利润（每台实际售价每台进价）销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；．【详解】（1）解：设蛋黄月饼的进价是元袋，甜蜜月饼的进价是元袋，答：蛋黄月饼的进价是50元袋，甜蜜月饼的进价是20元袋；答：当蛋黄月饼每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为220元．（3）设蛋黄月饼每袋的降价为元时，每天售出所获得的利润最大，利润为元，当销售价降低8元时，每天售出所获得的利润最大，最大利润是480元，即售价62元时，每天售出所获得的利润最大，最大利润是480元．1.某土特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利8元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克．(1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式；(2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？【分析】本题考查了二次函数的应用和解一元二次方程，（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”，即可得出y关于x的函数关系式；要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价2元．(1)求日销售量p（个）与时间x（天）之间的函数关系式，(2)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（2）解：设日销售利润为元，在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元．2.（2025.四川）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是(60＋10x)件，故答案为：(60＋10x)； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意可得：(40－30－x)(60＋10x)＝630，整理可得：x2－4x＋3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，由于要让利于游客，x＝1舍去，∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则W＝(40－30－x)(60＋10x)＝(10－x)(60＋10x)＝－10x2＋40x＋600＝－10(x－2)2＋640，∵－10＜0，∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元，答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．3．(2025•内江)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400－m)个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为(a－40)元，销售量为[200－5(a－60)]个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，由题意得200x+解得x＝40y＝20答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400－m)个，由题意得，40(400－m)＋20m≤12000，解得m≥200，∴m的最小值为200，答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝(a－40)[200