第五章圆（知识清单）（答案版）数学鲁教版九年级下册

第五章圆1.圆的定义圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.1）弦与直径弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB.直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC.2）弧、半圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.，以A、B为端点的弧记作AB，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.3）同圆、等圆、同心圆同圆：圆心相同，半径也相等的圆叫做同圆.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆4）圆心角与圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠BOC圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠BAC.3.圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性.4.垂径定理1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2）垂径定理的推论（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧.（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.5.弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.6.圆周角定理1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=122）圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.7.圆内接四边形的性质1）圆内接四边形对角互补.2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）.8.点与圆的位置关系9.直线与圆的位置关系10.切线的性质与判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.11.切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.12.三角形的内切圆和三角形的外接圆13.正多边形与圆的相关计算1）内角：正n边形的每个内角和为.2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为.4）面积：正n边形的面积.5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h（1）这个扇形的弧长为2πr；（2）r2（3）（4）（5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为序号错误易错题型注意1圆的相关概念混淆15理解圆的相关概念2遇到平行弦问题时未分类讨论67此类问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论.3正多边形与圆的相关计算问题814正多边形的半径、边心距、边长的一半是一个直角三角形的三边长，与正多边形有关的计算常转化为解这个直角三角形，若未给出，则需要主动构造该直角三角形.4圆中的相关计算问题（弧长、扇形面积、圆锥相关计算）1520求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2πr=nπR1801．（2425九年级上·山东德州·期中）以下命题正确的是（

）A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段【答案】B【分析】本题考查了圆的有关概念和性质，垂径定理等相关知识；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线．根据圆的有关概念和性质，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案．【详解】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意；B、周长相等的圆的半径也相等，故是等圆，故此选项说法正确，符合题意；C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意；D、通过圆心并且两端都在圆周上的线段叫做圆的直径，故此选项说法错误，不符合题意．故选：B．2．（2425九年级上·江苏盐城·阶段练习）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题主要查了圆周角定理，圆的基本性质等．根据圆周角定理，圆的基本性质，三角形的内心和外心，逐项判断，即可求解．【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确；（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；（3）不在同一条直线上的三点确定一个圆，故原说法错误；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等，故原说法错误．所以正确的命题的个数是1．故选：A3．（2324九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（

）A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦【答案】D【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可．【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误；B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误；C、弦不一定是直径，故选项错误；D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确；故选D．4．（2223九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【分析】根据圆周角定理对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据弦、直径的定义对④进行判断．【详解】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以①错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确；能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以③错误；直径是弦，弦不一定是直径，所以④错误．故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．5．（2223九年级上·山东德州·期中）下列说法中，正确的个数为（）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；故选：B．【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．6．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，∵AB∥∴OE⊥CD，∵AB=12，∴CE=8，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102−∴EF=OF−OE=2；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，同理EO=102−EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．7．（2223九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为．【答案】1或7/7或1【分析】如图，AB∥CD，AB=6，CD=8，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，根据垂径定理得AE=BE=12AB=3，由于AB【详解】解：如图，AB∥CD，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、∴AE=BE=1∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴CF=FD=1在Rt△OAE中，OE=O同理可得OF=3，当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE−OF=4−3=1．故答案为7或1．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．8．（2025·山东威海·一模）已知正六边形内切圆的半径为3，则正六边形的面积为（

）A．183 B．63 C．9【答案】B【分析】此题主要考查正多边形和圆，解直角三角形等有关知识．根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．【详解】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．∵AB是正六边形的一边，∴∠AOB=360°6=60°在Rt△AOG中，OG=3，∵OG=OA⋅cos∴AB=OA=OG∴这个正六边形的面积=6S故选：B．9．（2025·山东聊城·二模）如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在的圆的圆心C恰好是△ABO的内心．若AB=43，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（

A．16π B．18π C．20π D．24π【答案】A【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作CE⊥AB，根据正多边形的性质得出△AOB为等边三角形，再由内心的性质确定∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°，得出∠ACB=120°，利用余弦得出AC=AE【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵圆心C恰好是△ABO的内心，∴∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°，∴∠ACB=120°，∵AB=43∴AE=BE=23∴AC=AE∴AB的长为：120×4×π∴花窗的周长为：83故选：A．10．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S−S1的值为（

A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到⊙O的面积S=π，求得圆的内接正十二边形的面积S1【详解】解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S=π，∴圆的内接正十二边形的中心角为360°12过点A作AC⊥OB，如图所示：∴AC=12∴圆的内接正十二边形的面积S1∴S−S故选：A．11．（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，连接BD，交AF于点P，则∠DPF的度数是（

）A．48° B．52° C．54° D．72°【答案】C【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和垂径定理得AF⊥CD，∠BDC=180°【详解】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴AF⊥CD，∠BCD=3×180°5=108°∴∠BDC=∠DBC=180°−∠DCB∴∠DPF=90°−∠BDC=54°，故选：C．12．（2025·山东济宁·二模）如图，正六边形ABCDEF的两条对角线AE和CF相交于点O，则AECF的值为【答案】32/【分析】此题考查了正多边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质等知识，理解题意是关键．求出AE=3a，【详解】解：连接BD交CF于点H，设正六边形ABCDEF的边长为a，∵正六边形ABCDEF的两条对角线AE和CF相交于点O，∴AB∥ED∥FC,AB=DE，CF⊥AE,CF⊥BD,∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，∴DE⊥AE，∴四边形ABDE是矩形，∴OH=AB=DE=a∵∠AFE=6−2×180°6∴∠AEF=∠FAE=1∴OF=∴AE=2OE=同理，CH=1∴CF=OF+OH+CH=2a,∴AE故答案为：313．（2025·河北保定·二模）光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若AM的延长线恰好过点C，圆的半径为2cm，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是cm【答案】4π−23/【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，如图，连接OA，OD，作OH⊥AM于【详解】解：如图，连接OA，OD，作OH⊥AM于由题意∠CMN=∠CNM=60°，∴△CMN是等边三角形，∴MN=DM=MC=AD，设AD=x,则DH=1在Rt△AOH中，则有2解得x=2∴OH=3∴S阴故答案为：4π−2314．（2025·山东青岛·二模）【探究建模】（1）如图①，△ABC是正三角形，边长为a，点O是△ABC的中心点，点P是△ABC内任意一点，点P到△ABC各边距离分别为h1、h2、h3．连接AP,BP,CP，由等面积法12a【类比应用】（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，边长为a，点O是△ABC的中心点，点P是正五边形ABCDE内任意一点，点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1,h2,（3）正n边形的边长为a，点P是正n边形内任意一点，点P到正n边形各边距离分别为h1,h2,h3【答案】（1）32a；（2）5a【分析】本题主要考查了代数式的规律、正多边形的性质、解直角三角形等知识点，发现相关规律成为解题的关键．（1）由题意可得∠OBA=12×360°3（2）如图：作OI⊥AB于I，连接OA,OB，则∠OBI=54°、IB=12a（3）类比（2）的方法求解即可．【详解】解：（1）∵△ABC是正三角形，边长为a，点O是△ABC的中心点，∴∠OBA=12×∴OM=tan∵S△ABC=3∴12ah（2）如图：作OI⊥AB于I，连接OA,OB，则∠OBI=12∠ABC=∴OI=tan∴SABCDE=5S∴5a24（3）由（2）可得正n边形的面积为nS△AOB=n×∴na2415．（2025·福建福州·模拟预测）物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为6cm，当滑轮上点A转过的度数为30°时，重物上升了（

A．π2cm B．πcm C．3π【答案】B【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升的高度就是点A旋转30°转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【详解】解：∵滑轮的半径为6cm∴滑轮上点A转过的度数为30°时，所对应的弧长为：30⋅π∴重物上升了πcm故选：B．16．（2425九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长OA=6cm，底面圆的半径为2cm，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（A．12cm B．4πcm C．62cm【答案】D【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短，弧长公式，先将圆锥的侧面展开，得∠AOH=12∠AOA'，OH⊥A【详解】解：圆锥的侧面展开图，如下所示：∴∠AOH=12∴AH=设∠AO∵圆锥的母线长OA=6cm，底面圆的半径为2∴A则4π=解得n=120°依题意，得∠AOH=1∵OH⊥A∴∠OHA=90°,∠OAH=30°∴OH=∴AH=∴A故选：D17．（2025·山东潍坊·三模）已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（

）A．9π B．12π C．15π【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积计算，先利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆半径再乘以圆周率计算即可．【详解】解：∵圆锥的高为4，底面圆的半径为3，∴圆锥的母线长为32∴该圆锥侧面展开图的面积是5π×3=15π，故选：C．18．（2025·山东东营·一模）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（

）A．12π B．15π C．20π D．30π【答案】B【分析】此题考查了三视图、圆锥的侧面积等知识．根据三视图判断几何体为圆锥，再进行计算即可得到答案．【详解】解：由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2π∴圆锥的侧面积=1故选：B．19．（2425九年级下·湖南永州·阶段练习）图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=BD=12cm，OC=OD=15OA【答案】27π【分析】本题考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键．本题可先求出圆心角度数，再根据已知条件得出OC的长度，和扇形的半径，最后根据扇形面积公式计算出摆盘的面积，摆盘的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可得出结果．【详解】解：观察图1可知，图1中有8个扇形，整个圆盘可看作是一个完整的圆，则每个扇形的圆心角n=360°∴∠O=45°∵OA=OC+AC，OC=OD=1∴AC=BD=4∵AC=BD=12∴OA=15cm∴OC=OD=3cm∴===27πcm故答案为：27π．20．（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为8cm的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是cm．【答案】2【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案．【详解】解：根据题意，得OA=34×2π×8根据勾股定理，得BO即BO=8所以圆锥的高为27故答案为：27重难点01利用垂径定理求解1．（2425九年级上·山东滨州·阶段练习）常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设小圆孔的宽口AB的长度是24mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为18mm，如图所示，则这个钢珠的直径为【答案】26【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等．根据题意过圆心作AB的垂线，交AB于H，连接OB，设半径为r，在OHB中应用勾股定理解出即可．【详解】解：过圆心作AB的垂线，交AB于H，连接OB，设半径为r，即OB=r∵小圆孔的宽口AB的长度是24mm∴AH=BH=12mm∵钢珠顶端离零件表面的距离为18mm∴OH=18−r，∴OH2+HB2∴这个钢珠的直径为：13×2=26，故答案为：26．2．（2425九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙A经过点B0,−1，C0,−7，则点A的坐标为【答案】4,−4【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，根据垂径定理得到CH=BH=12BC，由B0,−1，C0,−7，可得OB=1，OC=7，BC=6【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，∵B0,−1，C∴OB=1，OC=7，∴BC=OC−OB=7−1=6，∴CH=BH=3，∴OH=OB+BH=1+3=4，∵AC=5，∴AH=A∴A的坐标为4,−4，故答案为：4,−4．重难点02垂径定理的实际应用3．（2425九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm【答案】(1)OC的长7(2)此时水面截线减少了18【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键．（1）如图1：连接OM，由圆的性质可得OM=25cm，再利用垂径定理得出MC=24（2）如图2：过点O作OD⊥EF，垂足为点D，连接OE，利用勾股定理求出ED=15，再利用垂径定理得出EF=2ED=2×15=30，最后MN与EF相减即可解答．【详解】（1）解：如图1：连接OM，∵AB=50，∴OM=25cm∵OC⊥MN，∴∠OCM=90°，在Rt△OMC中，根据勾股定理得：O∴OC2+∴OC的长7cm（2）解：如图2：过点O作OD⊥EF，垂足为点D，连接OE，

∴∠ODE=90°由题意可知：OD=7+13=20cm在Rt△OED中，根据勾股定理得：O∴202+ED∴EF=2ED=2×15=30，

∴48−30=18，∴此时水面截线减少了18cm4．（2425九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4(1)求桥拱的半径；(2)此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12【答案】(1)10(2)不需要采取紧急措施，理由见解析【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．（1）设桥拱的半径是rm，由垂径定理求出AN=AB=8m，而ON=(r−4)m，由勾股定理得到r（2）由垂径定理求出DM的长，由勾股定理求出OM的长，即可求出CM的长即可得解．【详解】（1）解：如图半径OC⊥AB，OC⊥DE，设桥拱的半径是rm∵OC⊥AB，∴AN=1∵拱高CN为4m∴ON=(r−4)m∵OA∴r∴r=10，∴桥拱的半径是10m（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：如图，连接OD，∵CO⊥DE，∴DM=1∴OM=O∵CM=OC−OM=10−8=2m∵2m∴不需要采取紧急措施．5．（2223九年级上·贵州黔南·阶段练习）高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病．(1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？(2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路AB的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号）【答案】(1)第四天共有1111只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染；(2)4【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索：（1）根据题意可得规律第n天新增10n−1（2）过点O作OE⊥AB于E，利用勾股定理求出AE=26km，【详解】（1）解：第一天新增1只病鸡，第二天新增10只病鸡，第三天新增100只病鸡，……，以此类推，可知，第n天新增10n−1∴第四天共有1+10+100+1000=1111只鸡得了禽流感；到第五天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111只到第六天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111>40000，∴到第六天所有鸡都会被感染；（2）解：如图所示，过点O作OE⊥AB于E，由题意得，OA=5km在Rt△AOE中，由勾股定理得AE=在Rt△COE中，由勾股定理得CE=由垂径定理可得AB=2AE，∴AC+BD=AB−CD=4∴这条公路在该免疫区内有466．（2425九年级下·山东济宁·期中）综合与实践探究主题：曲柄连杆与圆探究背景：在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．探究任务1：第一小组受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图②，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⊙O相切时，点(1)求证：∠PAO=2∠PBO；探究任务2：第二小组用电脑AI作图工具进行动态模拟，某种在同一平面进行传动的机械装置设计，得到如图4，图5是它的示意图．AI说明其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．解决问题：(2)如图6，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．【答案】(1)见解析(2)不对，理由见解析(3)3；②120°【分析】（1）如图：连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP=OB=OC，由切线的性质可得∠APO=90°，进而得到∠AOP+∠POC=90°、∠AOP+∠POC=90°，则∠PAO=∠POC；再根据等腰三角形的性质以及角的和差可得∠POC=2∠PBO，进而证明结论；（2）先说明当Q、H重合时，OQ=OH=4，然后根据勾股定理逆定理即可证明结论；（3）如图．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP．连接P'P，交OH于点D，易得PQ，P'Q'均与l垂直，且PQ=P'Q'=3，再证明四边形PQQ【详解】（1）证明：如图：连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP=OB=OC，∵AP与⊙O相切于点P，∴∠APO=90°，∴∠PAO+∠AOP=90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP+∠POC=90°，∴∠PAO=∠POC，∵OP=OB，∴∠OPB=∠PBO，∴∠POC=∠OPB+∠PBO=2∠PBO，∴∠PAO=2∠PBO；（2）解：不对，理由如下：∵OP=2，PQ=3，OH=4，∴当Q、H重合时，OQ=OH=4，∵42≠3∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．（3）解：①因为PQ的值永远是3，只有PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是3分米；②由①知，在⊙O上存在点P，P'到l的距离为3，此时，OP如图．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP．连接P'P，交∵PQ，P'Q'均与l∴四边形PQQ∴OH⊥PP'，由OP=2，OD=OH−HD=1，∴cos∠DOP=ODOP∴∠POP∴所求最大圆心角的度数为120°．【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质、三角函数、等角的余角相等、勾股定理逆定理、垂径定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．重难点03利用弧、弦、圆心角关系求解7．（2025·河南郑州·一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若AB=CD，则下列结论错误的是（

）A．AB=CD B．AC=BD C．AD=BD 【答案】C【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键．根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解．【详解】解：A、∵AB=CD，∴ABB、∵AB=CD，∴AB−C、由已知条件无法判断AD=BD，故无法判断D、∵由B选项得AC=BD，∴∠ADC=∠BAD，该选项正确，但不符合题意．故选：C．8．（2425九年级上·北京·阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，C，D为⊙O上的点，BC=DC．若∠CBD=35°，则∠ABC的度数为（A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】本题主要考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，掌握圆心角、弧、弦的关系成为解题的关键．根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得∠BOC=∠COD=70°，从而求得∠AOD的度数，再利用圆周角定理和角的和差即可解答．【详解】解：如图，连接OC,OD，∴∠COD=2∠CBD=70°，∵BC=∴∠BOC=∠COD=70°，∴∠AOD=180°−∠BOC−∠COD=40°，∴∠ABD=1∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=55°．故选：C．9．（2425九年级上·山东滨州·期末）如图，CD是⊙O的直径，CD=8，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为（

）A．4 B．8 C．23 D．【答案】A【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出PA+PB能取得最小值的情形是解题的关键．作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，则根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，先求出∠BOD=∠ACD=20°，再求出∠QCD=∠ACD=20°，进而由圆周角定理得到∠QOD=40°，则∠BOQ=60°．证明【详解】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于连接OQ，∵点B为弧AD的中点，∴∠BOD=∠ACD=20°，∵A、Q关于CD对称，∴∠QCD=∠ACD=20°，∴∠QOD=2∠QCD=2×20°=40°，∴∠BOQ=20°+40°=60°．∵OB=OQ，∴△BOQ是等边三角形，∴BQ=OB=12CD=4故选：A．10．（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，D是AB的中点，CB=CE．若∠AOB=100°，∠OBC=55°，则∠DCE=°．【答案】85【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接OC、OD、OE，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得∠OBC=∠OCB=∠OCE=55°，由圆心角、弧、弦的关系求出∠BOD的度数，根据圆周角定理求出∠BCD的度数，从而求出∠DCE的度数即可．【详解】解：如图，连接OC、OD、OE．∵CB=CE，∴∠BOC=∠EOC，∵OB=OC=OE，∴∠OBC=∠OCB=12180°−∠BOC∴∠OBC=∠OCB=∠OCE=55°，∵D是AB的中点，∴DB=∵∠AOB=100°，∴∠BOD=1∴∠BCD=1∴∠OCD=∠OCB−∠BCD=55°−25°=30°，∴∠DCE=∠OCD+∠OCE=30°+55°=85°．故答案为：85．重难点04利用圆周角定理及其推论求解11．（2025·山东青岛·二模）如图，AB，DE是⊙O的直径，C是AE的中点，连接AC，CE，BE，BD，BC，若∠A=62°，则∠D的度数为（

）A．34° B．31° C．30° D．24°【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接OC，先利用圆周角定理可得∠BOC=124°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO=62°，从而可得∠AOC=56°，从而可得∠AOC=∠COE=56°，进而可得∠BOE=68°，最后根据圆周角定理进行计算即可解答．【详解】解：连接OC，∴∠BOC=2∠A=124°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=62°，∴∠AOC=180°−∠A−∠ACO=56°，∵C是AE⏜∴AC∴∠AOC=∠COE=56°，∴∠BOE=∠BOC−∠COE=68°，∴∠D=1故选：A．12．（2425九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠ADC=56°，则∠AGB的度数为（

）A．66° B．69° C．124° D．114°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAD=90°，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ADB=∠ABD=45°，进而求出∠BCD=11°，根据圆周角定理得出∠BDC=11°，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解∶∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=180°−∠BAD∵∠ADC=56°，∴∠BAC=∠BDC=∠ADC−∠ADB=11°，∴∠AGB=180°−∠GAB−∠ABG=124°，故选∶C．13．（2425九年级下·山东潍坊·期中）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，OD∥BC，∠A=24°，则∠D的度数为【答案】33°【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，即得∠B=90°−∠A=66°，由平行线的性质得∠BOD=∠B=66°，∠D=∠BCD，进而可得∠BCD=1【详解】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=24°，∴∠B=90°−∠A=90°−24°=66°，∵OD∥∴∠BOD=∠B=66°，∠D=∠BCD，∵∠BCD=1∴∠D=33°，故答案为：33°．14．（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且AE⊥BE，点F是边AD的中点，点G是边CD上的一动点，连接EG，FG，则EG+FG的最小值为．【答案】10−1/【分析】先判断出点E在以AB为直径的⊙O上，作点F关于直线CD的对称点F'，连接OF'，交⊙O于E，交CD于G，此时，OF'最短，因为EG+GF=GE+GF'【详解】解：∵AE⊥BE∴∠AEB=90°∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵点E在边长为2的正方形ABCD内，∴点E在以直径AB上方的半圆弧上，作点F关于直线CD的对称点F'，连接OF'，交⊙O于E，交CD此时，OF∵边长为2的正方形ABCD，∴AD=AB=2，∠BAD=∠ADC=90°，∴OA=OE=1由对称的性质知：GF'=GF∴EG+GF=GE+GF∴EG+GF最小，最小值为OF∵点F是边AD的中点，点F关于直线CD的对称点F'∴DF=DF∴AF由勾股定理，得OF∴EG+GF最小值=10故答案为：10−1【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出EG+GF最小值为OF重难点05利用圆内接四边形的性质求解15．（2425九年级上·天津静海·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=140°，则∠ABC的大小为（

）A．40° B．80° C．110° D．140°【答案】C【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆周角定理求出∠ADC=1【详解】解：∵∠AOC=140°，∵∠ADC=1∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°−70°=110°，故选：C．16．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．【详解】解：∵∠BOD=130°，∴∠BAD=1∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°且∠BCD+∠ECD=180°，∴∠ECD=∠BAD=65°，故选：C．17．（2425九年级下·山东烟台·期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上，连接AD、BC、CD．若∠P=110°，则∠PAD+∠C的结果为．【答案】215°【分析】根据切线长的性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质解答即可．本题考查了切线长定理，圆的内接四边形，等腰三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．【详解】解：连接AB，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠P=110°，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=180°−∠P∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠BAD+∠C=215°，故答案为：215°．18．（2425九年级上·山东潍坊·期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，延长BC，AD交于点E，则AD=．【答案】4−3/【分析】本题主要考查了圆内接四边形，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质．先根据圆内接四边形性质得出∠CDA=90°，解直角三角形得出DE=CD【详解】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠B=90°，根据圆内接四边形对角互补，可得∠CDA=90°，∵∠A=60°，∠B=90°，∴∠E=30°，∵CD=1，∴DE=CDtan30°故AD=AE−DE=4−3故答案为：4−3重难点06点和圆的位置关系19．（2425九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过A0,3，B2,3，C3,2A．这条圆弧所在圆的半径为52 B．点MC．原点O0,0在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为【答案】D【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可．【详解】解：∵A0,3，B∴圆心在直线0+22设其圆心坐标为N1,n则NA=NC，即NA由勾股定理得12解得n=1，∴这条圆弧所在圆的圆心为1,1，半径为12∵MN=3−1∴点M3,0∵ON=0−1∴原点O0,0观察四个选项，选项D符合题意．故选：D．20．（2324九年级上·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切【答案】D【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=12BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC，∴BH=CH=1在Rt△ABH中，AH=∵AB=5＞∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；∵AC=5>3，∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意；∴AH=3，∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．故选：D．21．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，30度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点A，B，C，D的说法，正确的是（

）A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆【答案】C【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取AC中点M，连接DM，BM，得出DM=AM=CM，得点D、A、C是以点M为圆心，AM为半径的圆上，再判断点B在圆M外即可；乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，得DN=AN=CN=BN，即可判断．【详解】解：如甲图中，取AC中点M，连接DM，BM，∵∠ADC=90°，∴DM=AM=CM，∴点D、A、C是以点M为圆心，AM为半径的圆上，∵△BCM为直角三角形，∴BM>CM，∴点B在圆M外，∴甲图四点不共圆；如乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴DN=AN=CN=BN，∴点D、A、C、B是以点N为圆心，AN为半径的圆上，∴乙图四点共圆，综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆，故选：C．22．（2223九年级上·江苏淮安·期末）P是⊙O内一点，Q是⊙O上任意一点，若3≤PQ≤9，则⊙O的半径为．【答案】6【分析】根据点到圆上的距离分析即可求解．【详解】解：如图所示，∵P是⊙O内一点，Q是⊙O上任意一点，3≤PQ≤9，∴⊙O的直径为3+9=∴⊙O的半径为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了点到圆上的距离，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．23．（2425九年级下·上海普陀·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,⊙B与直线AD相切．如果⊙D与⊙B相交．且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长r的取值范围为．【答案】13<r<18．【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在⊙B上，得到此半径为5，再根据⊙B和⊙D相交，得到⊙D的半径长r的范围即可；【详解】解：在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,∴AC=BD=13,∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径r满足8<r<18，∵点B在⊙D内，∴R＞∴13<r<18【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是读懂题意．重难点07点与圆的最值问题24．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线y=−x2−3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若点D为抛物线上一点且横坐标为−3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF【答案】65−2/【分析】先求出点A−4,0，点D−3,4，作点D关于y轴对称的点T，则点T3,4，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长，然后可在Rt△ATH中由勾股定理求出TA【详解】解：对于y=−x2−3x+4，当y=0解得：x1=−4，∴点A的坐标为−4,0，对于y=−x2−3x+4，当x=−3∴点D的坐标为−3,4，作点D关于y轴对称的点T，则点T3,4连接AE交与y轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长．理由如下：当点E与点M不重合，点F与点N不重合时，根据轴对称的性质可知：DE=TE，∴DE+EF=TE+EF，根据“两点之间线段最短”可知：TE+EF+AF>AT，即：TE+EF+AF>TN+AN，∵AF=AN=2，∴TE+EF>TN，即：DE+EF>TN，∴当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小．∵点T3,4，A∴OH=3，TH=4，OA=4，∴AH=OA+OH=7，在Rt△ATH中，AH=7，TH=4由勾股定理得：TA=A∴TN=TA−AN=65即DE+EF为最小值为65−2故答案为：65−2【点睛】此题主要考查了二次函数与x轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与x轴的交点坐标，难点是确定当DE+EF为最小时，点E，F的位置．25．（2425九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，现有一点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC=2，则线段PB的最小值为【答案】29【分析】如图所示，取CD中点E，AB中点F，连接EF，在线段EF上取点O使OE=12，连接OD，OC，OB，以点O为圆心，OD为半径画弧，首先求出tan∠DOE=DEOE=112=2，得到∠DOC=2∠DPC，然后得到点P在以OD为半径的圆上运动，如图所示，连接BP，OP，得到BP≤BO−OP，当点【详解】如图所示，取CD中点E，AB中点F，连接EF，在线段EF上取点O使OE=12，连接OD，OC，OB，以点O为圆心，∵在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，点E是CD中点∴AF=BFDE=CE=12CD=1，∵OE=12∴tan∵OD=OC，OE⊥CD∴∠DOE=∠COE，即∠DOC=2∠DOE∵tan∴∠DPC=∠DOE∴∠DOC=2∠DPC∴点P在以OD为半径的圆上运动，如图所示，连接BP，OP，∴BP≤BO−OP∴如图所示，当点B，P，O三点共线时，BP有最大值，即BO−OP的长度根据题意得，四边形EF⊥CD是矩形∴AD=EF=3∴FO=FE−OE=3−∴BO=∵OD=∴OP=OD=∴BP=BO−PO=∴线段PB的最小值为29−故答案为：29−【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，求圆外一点到圆上一点最值问题，解题的关键是掌握以上知识点．26．（2324九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是矩形ABCD内一动点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为【答案】213−4【分析】由PA⊥PD可得点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，连接CO交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案．【详解】解：∵PA⊥PD，∴点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，如图所示，∴连接CO交圆于点P，如图所示，此时PC的值最小∵矩形ABCD中，AB=6，∴AD=BC=8，CD=AB=6，∴OD=OP=1根据勾股定理可得，OC=6∴CP=213故答案为：213【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．重难点08直线和圆的位置关系27．（2425九年级上·重庆·期中）已知圆心A到直线m的距离为d，⊙A的半径为r，若d、r是方程x2−7x+12=0的两个根，则直线m和⊙A的位置关系是（A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交【答案】D【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到d,r的值，再根据圆半径r与圆心到直线的距离d的关系“d>r，相离；d=r，相切；d<r，相交”进行判定即可求解．【详解】解：若d、r是方程x2∴x−3x−4解得，x1当d=3,r=4时，直线m和⊙A的位置关系是相交；当d=4,r=3时，直线m和⊙A的位置关系是相离；故选：D．28．（2324九年级上·河南商丘·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，点D为ABA．点A在圆外 B．点C在圆上C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交【答案】B【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接CD，由直角三角形的斜边上的中线定理得AD=BD=CD，进而得AE=CE，CF=BF，根据三角形中位线定理即可解决问题．【详解】解：∵∠ACB=90°，∴AB=A∵D是AB的中点，∴BD=AD=CD=2.5．2.5>2，故点A在圆外，点C在圆外，故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意，连接CD，作DE⊥AC于点E，∴∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=BD=AD，∵DE⊥AC，∴AE=CE，∴DE∥BC，DE=12BC=2，故⊙D故选项C正确，不符合题意，过D作DF⊥BC于F，∴CF=BF，∴DF∥AC，∴DF<2，故⊙D与直线BC相交；故选项D正确，不符合题意，故选：B．29．（2324九年级下·上海崇明·期中）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（

A．5≤r≤12或r=6013 C．6013<r<12 【答案】D【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求AB=13，利用三角形的面积公式可求CD=6013，当圆C的半径为r=6013时，开始与AB边有交点，当r=12时，圆C与AB边有交点，当r>12时，圆C与【详解】解：如下图所示，过点C作CD⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5∴AB=A∵S∴1解得：CD=60当以点C为圆心的圆的半径r=12时，圆经过点A，当r>12时，圆C与边AB没有交点，∴60

故选：D．30．（2425九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在【答案】2或3【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB【详解】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB∵开始时O点到AB的距离为5，∴当圆向右移动5−1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB∴t=(5−1)÷2=2(s)或即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切．故答案为：2或3．31．（2324九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为22,0，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为y=x+tt>0，若直线l与半圆只有一个公共点，则t【答案】2−2/【分析】本题考查圆的切线，一次函数的图象和性质，直线l与x轴的夹角为45°，与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，画出示意图，求出直线l与x轴的交点坐标，即可求解．【详解】解：如图，当直线l：y=x+tt>0与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，设圆心为B，切点为C，直线l与x轴的交点为D，连接BC∴点B的坐标为2,0∴BC=OB=2∵直线l与半圆相切，∴∠DCB=90°，∵直线l：y=x+tt>0与x轴的夹角为45°∴△DCB是等腰直角三角形，∴DB=2∴OD=DB−OB=2−2∵点D在x轴的负半轴，∴点D的坐标为2−2,0将2−2,0代入y=x+t，得2解得t=2−2故答案为：2−2重难点09切线的判定与性质综合32．（2425九年级上·陕西西安·期末）如图，AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，点D是⊙O上一点，连接ED并延长交BA的延长线于点P．连接BD、EO相交于点G，延长EO交⊙O于点F．若EO平分∠DEB，且EG⊥BD．(1)求证：EP是⊙O的切线；(2)若AP=3，PD=6，求OA及EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)OA的长为92，EF的长为【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．（1）连接OD，先证出△DGE≌△BGE，根据全等三角形的性质可得∠EDG=∠EBG，再根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠OBD，从而可得∠ODE=∠OBE=90°，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接OD，设OA=OD=OB=OF=xx>0，则OP=3+x，在Rt△DOP中，利用勾股定理可求出x的值，由此即可得OA的长；根据全等三角形的性质可得DE=BE，设DE=BE=yy>0，则EP=6+y，在Rt△BEP中，利用勾股定理可求出y的值，从而可得BE的长，再在Rt△OBE【详解】（1）证明：如图，连接OD，∵BE与⊙O相切于点B，∴AB⊥BE，即∠OBE=90°，∵EO平分∠DEB，∴∠DEG=∠BEG，∵EG⊥BD，∴∠DGE=∠BGE=90°，在△DGE和△BGE中，∠DEG=∠BEGEG=EG∴△DGE≌△BGEASA∴∠EDG=∠EBG，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠ODE=∠ODB+∠EDG=∠OBD+∠EBG=∠OBE=90°，∴OD⊥ED，又∵OD是⊙O的半径，∴EP是⊙O的切线．（2）解：如图，连接OD，设OA=OD=OB=OF=xx>0∵AP=3，∴OP=AP+OA=3+x，由（1）已证：OD⊥ED，∴在Rt△DOP中，OD2解得x=9∴OA=OD=OB=OF=9∴BP=AP+OA+OB=12，由（1）已证：△DGE≌△BGE，∴DE=BE，设DE=BE=yy>0，则EP=PD+DE=6+y在Rt△BEP中，BP2解得y=9，∴BE=9，∴在Rt△OBE中，OE=∴EF=OF+OE=9综上，OA的长为92，EF的长为9+933．（2425九年级下·山东菏泽·期中）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC=AD．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若tan∠CAO=13【答案】(1)证明见解析；(2)43【分析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）连接OD，证明△AOC≌△AOD，得到∠OCA=∠ODA=90°，即可得出结论；（2）设☉O与BC的另一交点为F，连接CD交AO于点E，连接DF，证明△AEC≌△AED，得到∠AEC=∠AED=90°，进一步得到∠OCE=∠CAO，设OC=OD=1，则AD=AC=3，根据勾股定理得到AO=10，设OE=x，则CE=3x，根据勾股定理得到x2+3x2=12，解得OE=1010，再求出DF=105，证明【详解】（1）证明：连接OD，如图：∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ODA=90°，在△AOC和△AOD中，AC=ADOC=OD∴△AOC≌△AODSSS∴∠OCA=∠ODA=90°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设☉O与BC的另一交点为F，连接CD交AO于点E，连接DF，如图：∵△AOC≌△AOD，∴∠OAC=∠OAD，在△AEC和△AED，AC=AD∠OAC=∠OAD∴△AEC≌△AEDSAS∴∠AEC=∠AED=90°，∴∠OEC=90°，∵∠AOC+∠CAO=90°，∠AOC+∠OCE=90°，∴∠OCE=∠CAO，在Rt△ACO中，tan设OC=OD=1，则AD=AC=3，∴AO=A∵∠OCE=∠CAO，∴tan∠OCE=设OE=x，则CE=3x，在Rt△OEC中，OE2解得：x=10∴OE=10∵CF是☉O的直径，∴∠CDF=90°，∴∠CDF=∠OEC，∴OE∥DF，∵OC=OF，∴DF=2OE=2×10∵OE∥DF，即DF∥OA，∴△BDF∽△BAO，∴BDBA设BD=y，则BA=BD+AD=y+3，∴yy+3解得：y=3∴BD=3在Rt△ODB中，tan34．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．(1)求证：AB与半圆O相切；(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，根据等腰三角形三线合一可知，AO⊥BC，AO平分∠BAC，结合AC与半圆O相切于点D，可推出ON=OD，得证；（2）由题意可得出∠OAC=∠COD，根据OF=OD，在Rt△ODC中利用勾股定理可求得OD的长度，从而得到OC的长度，最后根据sin【详解】（1）证明：连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，如图∴AO⊥BC，AO平分∠BAC∵AC与半圆O相切于点D∴OD⊥AC由∵ON⊥AB∴ON=OD∴AC是半圆O的切线（2）解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC∴∠AOC=90°，∠ODC=90°∴∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°−∠ODC=90°∴∠OAC=∠COD∴又∵OF=OD，CF=2∴在Rt△ODC中，CD=4，∵OC∴(OD+2)解得：OD=3∴35．（2122九年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E为AB上一点，AD是∠BAC的角平分线，DE=DC，DB长为半径作⊙D(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求证：AB+BE=AC；(3)若BE=8，且BD:DC=3:5，求AD的长．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)6【分析】本题考查了切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，切线长定理等；（1）过点D作DF⊥AC于F，由切线的性质得AB⊥BC，由角平分线的性质定理得BD=DF，即可求证；（2）由HL可判定Rt△BDE≌Rt△FDC（3）由（2）可知，BD=DF，等量代换得DF:DC=3:5，设DF=3x，DC=5x，由勾股定理得DC2−DF2=FC，求出x的值后，可求出DC、BD，进而求出BC的值，由相似三角形的判定方法得△CDF∽掌握切线的判定方法∶“作垂直，证半径”，并能熟练利用全等三角形的判定方法及性质、相似三角形的判定方法及性质，用勾股定理求解是解题的关键．【详解】（1）证明：如图，过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B=90°，∴AB⊥BC，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD=DF，∴AC与⊙D相切；（2）证明：在Rt△BDE和RtBD=DFDE=DC∴Rt△BDE≌Rt∴BE=FC，∵AB为⊙D的切线，AC与⊙D相切，∴AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC；（3）解：由（2）可知，BD=DF，FC=BE=8，∵BD:DC=3:5，∴DF:DC=3:5，设DF=3x，DC=5x，∴D∴5x解得：x=2，∴DC=10，BD=DF=6，∴DF:CF=6:8=3:4，BC=BD+CD=16，∵∠CFD=∠ABC=90°，∠DCF=∠ACB，∴△CDF∽∴DF:CF=AB:CB，∴AB:16=3:4，∴AB=12，∴AD===65重难点10利用切线长定理求解36．（2025·山东淄博·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，⊙O的半径r=5，则四边形ABCD的面积为（

）A．44 B．88 C．100 D．110【答案】D【分析】本题考查的是切线长定理的应用，如图，连接OA，OB，OC，OD，作出过切点的半径OE，OF，OG，OH，证明AB+CD=AD+BC=22，再利用割补法求解面积即可.【详解】解：如图，连接OA，OB，OC，OD，作出过切点的半径OE，OF，OG，OH，∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AH=AE，DH=DG，CF=CG，BE=BF，∴AB+CD=AD+BC，∵AB=10，CD=12，∴AB+CD=AD+BC=22，∴四边形ABCD的面积为：S===110；故选：D37．（2425九年级上·广东广州·期中）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB=8cm，OC=6cm，则⊙O的半径等于（A．3cm B．4cm C．245【答案】C【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，进而根据等面积法，即可求解．【详解】解：连接OF，根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；

∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°，∵OB=6cm，OC=8∴BC=O∵OF⊥BC，∴OF=故选：C．38．（2425九年级上·广西钦州·期末）如图，⊙O的直径AB=9，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，设AD=x，BC=y，则y关于x的图象大致为（

）【答案】A【分析】过D作DF⊥BN交BC于F，由切线的性质可证四边形ABFD是矩形，BF=AD=x，根据切线长定理得到CE=CB=y，DE=DA=x，则DC=DE+CE=x+y，在Rt△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x【详解】解：过D作DF⊥BN交BC于F，∴AB⊥AM,AB⊥BN，又∵DF⊥BN，∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=x，DF=AB=9，∵BC=y，∴FC=BC−BF=y−x，∵DE切⊙O于E，AM、BN与⊙O切于点A、B，∴DE=DA=x，CE=CB=y，则在Rt△DFC中，由勾股定理得：(x+y)整理为y=81∴y与x的函数关系式是y=81∴y是x的反比例函数，故选：A．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识．39．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°【答案】C【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．根据圆的内接四边形的性质得∠BAD+∠BCD=180°，由∠BAE+∠BCD=236°得∠EAD=56°，由切线长定理得EA=ED，即可求得结果．【详解】解：如图，连接AD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAE+∠BCD=236°，∴∠BAE+∠BCD−∠BAD+∠BCD即∠BAE−∠BAD=56°，∴∠EAD=56°，∵EA，ED是⊙O的切线，根据切线长定理得，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=56°，∴∠E=180°−∠EAD−∠EDA=180°−56°−56°=68°．故选：C．40．（2425九年级上·江西赣州·期末）如图，AM，BN是⊙O的切线，切点为A、B，AM∥BN，点D，C分别是AM，BN上的点，(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求y关于x的函数解析式；(3)梯形ABCD的面积为78cm2，求【答案】(1)见解析(2)y=(3)4cm或【分析】（1）过点O作OE⊥CD于点E，则∠OED=90°．依据切线的性质可知∠OAD=90°，接下来证明△OAD≌△OED（AAS）（2）过点D作DF⊥BC于点F，则DF=AB=2r=12．由切线长定理可得：AD=DE，CB=CE，则CF=BC−BF=y−x,CD=x+y，在Rt△DCF中依据勾股定理可得到y（3）设AD=x，由（2）可知BC=36x，由梯形面积公式可得【详解】（1）证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E，则∠OED=90°．∵⊙O与AM相切于点A，∴∠OAD=90°，∵OD平分∠ADC，∴∠ADO=∠EDO，在△OAD和△OED中，∠DAO=∠DEO∠ADO=∠EDO∴△OAD≌△OED（∴OA=OE，∵OA是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN，∴∠MAO=∠NBO=90°，∴四边形ABFD是矩形，∴DF=AB=2r=12，由切线长定理得：AD=DE，∵AD=x，∴CF=BC−BF=y−x,CD=x+y，在Rt△DCF中，CD2化简得y=36（3）解：∵梯形ABCD是直角梯形，则S梯形设AD=x，由（2）可知BC=36∴x+36化简得x2解得x=4或x=9，∴AD长为4cm或9【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．重难点11三角形内切圆与外接圆的综合41．（2425九年级上·天津河北·期中）如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚