2025年下学期高二数学空间向量再探测试题

2025年下学期高二数学空间向量再探测试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA₁}=\boldsymbol{c}$，N为BC₁的中点，则$\overrightarrow{A₁N}=$（）A.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$B.$-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$C.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$D.$-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$已知两平面的法向量分别为$\boldsymbol{n₁}=(0,-1,0)$，$\boldsymbol{n₂}=(0,1,1)$，则两平面的夹角为（）A.45°B.135°C.45°或135°D.90°在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是线段A₁B，B₁D₁上的点，且$A₁M=\frac{1}{3}A₁B$，$B₁N=\frac{1}{3}B₁D₁$，若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{n}$，$\overrightarrow{AA₁}=\boldsymbol{p}$，则$\overrightarrow{MN}=$（）A.$\frac{1}{3}\boldsymbol{m}+\frac{1}{3}\boldsymbol{n}-\boldsymbol{p}$B.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{m}+\frac{1}{3}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{p}$C.$\frac{1}{3}\boldsymbol{m}-\frac{1}{3}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{p}$D.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{m}-\frac{1}{3}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{p}$在三棱锥O-ABC中，D为棱BC上一点，且满足DC=3BD，E为线段AD的中点，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，则$\overrightarrow{OE}=$（）A.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{3}{8}\boldsymbol{b}+\frac{1}{8}\boldsymbol{c}$B.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{8}\boldsymbol{b}+\frac{3}{8}\boldsymbol{c}$C.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{8}\boldsymbol{b}+\frac{1}{8}\boldsymbol{c}$D.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{8}\boldsymbol{b}+\frac{3}{8}\boldsymbol{c}$已知空间向量$\boldsymbol{a}=(1,2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(x,1,2)$，$\boldsymbol{c}=(2,y,-2)$，若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$且$\boldsymbol{b}\parallel\boldsymbol{c}$，则$x+y$的值为（）A.-5B.-3C.3D.5在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC₁=1，D为AC的中点，则$\overrightarrow{AB₁}\cdot\overrightarrow{CD}=$（）A.$-\frac{3}{2}$B.$\frac{3}{2}$C.$-\frac{5}{2}$D.$\frac{5}{2}$《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”。如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，PA=PB=BC=1，D为PC的中点，BE=2EA，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DE}=$（）A.$-\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{6}$C.$-\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{3}$在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，直线EF与BC所成角的余弦值为（）A.$\frac{\sqrt{2}}{4}$B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$C.$\frac{\sqrt{6}}{4}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$代表，用向量$\boldsymbol{d}$代表整条手臂，则$\boldsymbol{d}=$__________。在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA₁}=\boldsymbol{c}$，M为B₁C₁的中点，则$\overrightarrow{AM}=$__________（用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$表示）。已知空间三点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则点A到平面ABC的距离为__________。在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为1，P是正方形A₁B₁C₁D₁内部（含边界）的一个动点，若$\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{BD₁}$，则三棱锥P-ABD外接球的表面积为__________。三、解答题（本大题共6小题，共90分）（14分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C，C₁的一点，EA⊥EB₁。已知AB=$\sqrt{2}$，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=$\frac{\pi}{3}$。（1）建立适当的空间直角坐标系，并求各点的坐标；（2）求CE的长度。（14分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。（1）化简：$\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$；（2）求证：四边形EFGH是平行四边形；（3）设EG、FH交于点O，求证：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{0}$。（15分）如图，在空间四边形OABC中，OA=OB=4，OC=3，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，D为棱BC上一点，且DC=3BD，E为线段AD的中点。（1）试用向量$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$表示向量$\overrightarrow{OE}$；（2）求$\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{BC}$的值。（15分）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AC的中点，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC₁=1。（1）求证：AB₁⊥BC₁；（2）求直线AB₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值。（16分）如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为2，且∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°。（1）求AC₁的长度；（2）求异面直线AC₁与BD所成角的余弦值；（3）求平面ABCD与平面A₁BD所成锐二面角的余弦值。（16分）如图，在棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{n}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{p}$。（1）求$\overrightarrow{EF}$（用$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$，$\boldsymbol{p}$表示）；（2）求直线EF和CD夹角的正弦值；（3）若G为CD的中点，H为△BCD的重心，求证：AH⊥平面EFG。参考答案及评分标准（部分提示）一、选择题B提示：$\overrightarrow{A₁N}=\overrightarrow{A₁A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC₁})=-\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$A提示：$\cos\theta=|\frac{\boldsymbol{n₁}\cdot\boldsymbol{n₂}}{|\boldsymbol{n₁}||\boldsymbol{n₂}|}|=\frac{1}{\sqrt{2}}$，夹角为45°B提示：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA₁}+\overrightarrow{A₁B₁}+\overrightarrow{B₁N}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{m}+\boldsymbol{m}+\frac{1}{3}(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{m})=-\frac{1}{3}\boldsymbol{m}+\frac{1}{3}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{p}$B提示：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})=-\boldsymbol{a}+\frac{3}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{8}\boldsymbol{b}+\frac{3}{8}\boldsymbol{c}$A提示：由$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$得$x+2-2=0\Rightarrowx=0$；由$\boldsymbol{b}\parallel\boldsymbol{c}$得$\frac{0}{2}=\frac{1}{y}=\frac{2}{-2}\Rightarrowy=-1$，$x+y=-1$C提示：建立坐标系，$\overrightarrow{AB₁}=(2,-\frac{\sqrt{3}}{2},1)$，$\overrightarrow{CD}=(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，数量积为$-\frac{5}{2}$A提示：以P为原点建系，$\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{DE}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{6},-\frac{1}{2})$，数量积为$-\frac{1}{6}$C提示：设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$，夹角余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$二、填空题$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$提示：平面ABC的法向量$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$，距离$d=\frac{|\overrightarrow{OA}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{3\pi}{2}$提示：P的轨迹为线段B₁D₁，外接球直径为AB=√2，表面积$4\pi(\frac{\sqrt{2}}{2})²=2\pi$（注：原答案可能需修正，此处按正方体性质推导）三、解答题（部分步骤提示）（1）以B为原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴建系，$B(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$B₁(0,2,0)$，$A(0,0,\sqrt{2})$，$C₁(1,2,0)$，设$E(1,t,0)$；（2）由$\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EB₁}=0$得$t=1$，CE=1。（1）$\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}$；（2）$\overrightarrow{EH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{FG}$；（3）$\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$。（2）$\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{BC}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{8}\boldsymbol{b}+\frac{3}{8}\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\frac{1}{8}\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}-\frac{1}{8}|\boldsymbol{b}|²+\frac{3}{