北师大版九年级下册数学综合复习试题含答案

北师大版九年级下册数学综合复习试题含答案

第一章

三、解答题（共66分）

19.（8分）（1）计算:

2cos230°—sin30°+tan60°—2sin45°

解：原式=2X偶2_1

由-2X乎

=1+5+.

’92a—3、1

(2)先化简，再求代数式(百一记二yj的值，其中a—2sin60°+lan

45°.

2(a-1)-2a+3

解：原式=~2—；・(a+l)

a—1

，

=2a—71(a+])=a^—17•

・・・a=2X#+1=巾+1.

・库式一]-----也

.•原武一方+1-1-3-

I、历

20.(8分)如图，AD是AABC的中线，tanB=g,cosC=为-,AC=y/2.

求：

(1)BC的长；

(2)sinNADC的值.

A

BDC

解：(1)过点A作AELBC于点E,

・・「啦

・cosC=2，

AZC=45°,

在RtAACE中,CE=AC*cosC=1,

.*.AE=CE=1,

在RtZiABE中，tanB=T,

AE1

即

"1S>T1SF=Ji,/.BE=3AE=3,

ABC=BE+CE=4.

(2)・；AD是aABC的口线，

ACD=|BC=2,・・・DE=CD-CE=1,

VAE1BC,DE=AE,

/.ZADC=45°,AsinZADC=^.

21.（8分）京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河

的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A,B和点C,D,先用

卷尺量出AB=180m,CD=60m,再用测角仪测得NCAB=30。，/DBA=

60°,求该段运河的河宽（即CH的长）.

解：过D作DEJLAB,可得四边形CHED为矩形,

/.HE=CD=60m»

设CH=DE=xm,

在RtABDELp，ZDBA=60°，

.•.BE=Txm,

在RtZ\ACH中，ZBAC=30°,

.\AH=V3xm,由AH+HE+EB=AB=180m,

得至|J/x+60+坐x=180,

解得X=3M,g|]CH=3（h/3m,

答：该段运河的河宽为36/5m.

22.（8分）如图，海中一小岛上有一个观测点A,某天上午9：（）（）观测到某渔

船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午9：

30观测到该渔船在观测点A的北偏西60。方向上的C处.若该渔船的速度为

每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观

测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）

解：过点A作ADJ_BC,交BC于点D,则点D距观测点A最近.

依题意有NBAD=45。，

ZACD=60°,

BC=30X0.5=15（海里）.

设AD=x海里.

AD(-

Vtan/ACD=^^=勺3,

・♦・上升的高度为2米.

(2)由(1)可知,DH=2,ZG=30°,

・・・AH=4,；・GH=2小，AG=4+2小，

设BC=x,VZBAC=45°,ZG=30°,

AAC=x,CG=4§x,

VCG-AC=AG,・・・V5x-x=4+25,

解得x=5+3小.

答：大树BC的高度为（5+35）米.

24.（12分）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3啦米长的梯子斜靠在右

侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45。，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重

合.因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得

梯子AD与地面的夹角为60。，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（结果保留

根号）?

l_iL

OC

解：在Rt^BCE中,

・・・BC=36，

ZBEC=90°,

ZBCE=45°,

ABE=CE

=BCcos45°

=3y/2X乎=3

在KtZXBDE中，DE=BEtan30°=小,

・・・CD=CE-DE=3-巾,

答：胡同左侧的通道拓宽了（3-小）米.

25.（12分）如图①，窗框和窗扇用“滑块钱链”连接，图③是图②中“滑块

钱链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，

交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B,C,D始终在一直线上，延

长DE交MN于点F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm.

□

(1)窗扇完全打开，张角NCAB=85。,求此时窗扇与窗框的夹角NDFB的度数;

(2)窗扇部分打开，张角NCAB=60。,求此时点A,B之间的距离(精确到0.1

cm).

(参考数据：A/3-1.732,^^2.449)

解：(l)・.・AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,

・・・四边形ACDE是平行四边形，

.-.AC//DE,.\ZDFB=ZCAB,

VZCAB=85°,・・・NDFB=85。.

(2)作CGLAB于点G,

VAC=20,ZCGA=90°,ZCAB=60°,

.*.CG=l(h/3，AG=10,

VBD=40,CD=1(),

/.CB=30,

ABG=A/302-(10V3)2=10V6,

・・・AB=AG+BG=10+u10+10X2.449=34.49%34.5cm,

答：A,B之间的距离为34.5cm.

第二章

三、解答题(共66分)

19.(8分)如图，二次函数y=(x+2>+m的图象与y轴交于点C,点B在抛

物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象

经过该二次函数图象上的点A(—l,0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的表达式；

(2)根据图象，写出满足(x+2)2+m2kx+b的x的取值范围.

\_J\

解：(1)由题易得二次函数表达式为y=x?+4x+3,

一次函数表达式为y=-x-1.

(2)由图象可知，满足(x+2)2+m2kx+b的x的取值范围为

xW—4或X、一1.

20.(8分)如图，抛物线的顶点为A(l,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x

轴交于C,D两点，点,P是x轴上的一个动点.

⑴求此抛物线的表达式；

(2)当PA+PB值最小时，求点P的坐标.

解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.

⑵作点B关于X轴的对称点E(0,-3),连接AE交X轴于点P.

此时PA+PB值最小，最小值为AE的长.

设AE的解析式为y=kx+b,

k+b=4,[k=7,

则k2解得k」，y=7x-3.

[b=-3,[b=-3,

3

•・•当y=0时，x=7,

・・・点p的坐标为俘，0

21.(8分)如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m,在长度为8m的两

支柱0C和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5m.

⑴建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；

(2)求支柱EF的长度；

⑶拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过(车顶与拱桥的距离

不小于().3m),行车道最宽可以铺设多少米？

解：(1)根据题意，易得抛物线的函数表达式为y=-京x.

⑵由题意得点F的坐标为"?

/.EF=8—T=5m=3.5m.

（3）当y=3+0.3=3.3时，有

-^7X2+TX=3.3,化简，得X2-20X+55=0,

解得xi=10—34,X2=10+34,

；・X2—X1=6#.

・・・行车道最宽可以铺设米.

22.（8分）如图，在矩形OABC中，OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点

k

（不与重合），过点的反比例函数（）的图象与边交于点

FA,BFy=X[k>0BC

E.当k为何值时，^EFA的面积最大，最大面积是多少？

解：由题意知E,F两点坐标分别为E住2）,F（3,1

ASAEFA=|AFBE=|x|k3-1k]

•・•在边AB上,不与A,B重合，0<|<2,

解得0vkv6,・♦.当k=3时，S有最大值.

3

s最大值—W•

3

故当k=3时，AEFA的面积最大，最大面积是w.

23.(1()分)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax2+bx十c与一次

函数y=(a+3)x2+(b-15)・x+c+18的图象与x轴的交点分别是A,B,C.

⑴判断图中经过点B,D,C的图象是哪一个二次函数的图象？试说明理由.

⑵设两个函数的图象都经过点B,D,求点B,D的横坐标.

解：(1)因为a+3>a,所以经过B,D,C的图象是

y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18的图象.

⑵解方程组

y=ax2+bx+c,

y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18,

解得xi=2,X2=3,

・••点B,D的横坐标分别为2,3.

⑶若点D是过点B,D,C的函数图象的顶点，纵坐标为一2,求这两个函数

的表达式.

解：设右边函数表达式为y=a(x-3)2-2,

把点B的坐标(2,0)代入,解得a=2,

即y=2x2-12x+16,

因此易得左边抛物线的表达式为y=-X2+3X-2.

24.(12分)越来越多的青少年在观看影片《征途》后，更加喜欢同名科幻小

说，该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若

干本，每本进价为2()元.根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销

售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少1()本.书店要求每

本书的利润不低于10元且不高于18元.

⑴直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间

的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0<aW6)元给困难职工，每天

扣除捐赠后可获得的最大利润为1960元，求a的值.

解：(l)y=250-10(x-25)=-10x+500(30^x^38).

⑵设每天扣除捐赠后可获得利润w元，

贝!Jw=(x-20-a)(—10x+500)

=-10x2+(10a+700)x-500a-10000(30^x^38).

易知，此二次函数图象的对称轴为直线

x=35+；a,且0vaW6,则35V35+；a<38,

・•・当x=35+；a时，w取得最大值.

111

+利+5叫=1960,

解得ai=2,a2=58(不合题意,舍去).

:.a=2.

25.(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax?+bx—8与x轴交

于A,B两点，与y轴交于点C,直线1经过坐标原点O,与抛物线的一个交

点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(一

2,0),(6,-8).

(1)求抛物线的表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

⑵试探究抛物线上是否存在点E使△FOE名AFCE.若存在，请直接写出点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

解：⑴抛物线的表达式为y=；X2-3X-8；

B（8,0）;E（3,-4）.

⑵抛物线上存在点F,使△FOEgZiFCE.

由题易得OE=CE=5,

VFO=FC,

・••点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4,

I;x2—3x—8=-4,解得x=3i\/17，

・・・点F的坐标为（3-亚，-4）或（3+后,-4）.

第三章

三、解答题（共66分）

19.（8分）如图，已知A,B,C,D是。0上的四点，延长DC,AB相交于

点E.连接BC,若BC=BE,求证：DA=DE.

证明：TA,B,C,D四点共圆,

/.ZA+ZBCD=180°.

又•・•NBCE+NBCD=180。，

AZA=ZBCE.

VBC=BE,

.*.ZBCE=ZE,.\ZA=ZE,

ADA=DE.

20.(8分)如图,A,B,C是。O上三点，其中方"=2BC，过点B画BD_LOC

于点D.

(1)求证：AB=2BD；

⑵若AB=25，CD=1,求图中阴影部分的面积.

(1)证明：延长BD交OO于点E,

VBD±OC,

・・・BE=2BD,而=2BC,

;而=2BC,••.而,

・・・AB=BE,AAB=2BD.

(2)解：连接OB,设。。的半径为r.

VAB=2^/3,CD=1.・・・BD=5,

在Rt^OBD中，r2=(r-l)2+(V3)2,解得r=2,

AZBOC=60°,

・•・阴影部分的面积"普丝-IX小xi=¥-乎.

21.(8分)如图，己知PA,PB分别切。O于点A,B,E为劣弧AB上一点,

过E点的切线交PA于点C,交PB于点D.

(1)若PA=6,求4PCD的周长；

(2)若/P=5()。，求NDOC的度数.

解：(1)连接OE.

VPA,PB与。O相切,

・・・PB=PA=6.

同理可得AC=CE,

BD=DE,

.-.△PCD的周长为

PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PC+PD+AC+BD=PA+PB=12.

(2)VPA,PB与。O相切，

AZOAP=ZOBP=90°.

又,.・NP=50。，

・・・ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

VCD与。O相切于点E,AOE±CD.

OA=OE,

在Rt^AOC和RtZXEOC中，八八八八

oc=oc,

:.RtAAOC^RtAEOC(HL),

.*.ZAOC=ZCOE.

同理可得NDOE=NBOD,

AZCOD=ZCOE+ZDOE=1ZAOE+|ZBOE

ZAOB=1X130°=65°.

22.（8分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作。O,点E在BC

边上，连接AE交。O于点F,连接BF并延长交CD于点G.

(1)求证：AABE^ABCG；

证明：•・•四边形ABCD是正方形，AB为。。的直径,

AZABE=ZBCG=ZAFB=90°,

AZBAE+ZABF=90°,ZABF+ZCBG=90°,

AZCBG=ZBAE.

(ZBAE=ZCBG,

在4ABE与4BCG中，＜AB=BC,

ZABE=ZBCG,

・・・AABE^ABCG(ASA).

(2)若NAEB=55。，OA=3,求证的长(结果保留n).

解：连接OF.

VZABE=90°,ZAEB=55°,

.•.ZBAE=90°-55°=35°,

AZBOF=2ZBAE=70°.

VOA=3,

70X7cX377c

・・・的长=

BF1806

23.（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的。O经过点D,

E是。。上一点，且NAED=45。.

⑴判断CD与。O的位置关系，并说明理由；

（2）若。。的半径为3,sinNADE=|,求AE的长.

解：（1）CD与。O相切.理由如下:

连接OD，则NAOD=2NAED=2X45°=90°.

•・,四边形ABCD是平行四边形,

AAB//DC,/.ZCDO=ZAOD=90°,

/.OD±CD,.;CD与。O相切.

(2)连接BE,贝！JNADE=NABE.

・・・AB是。。的直径，

/.ZAEB=90°,AB=2X3=6.

在RtAABE中，

AE5

VsinZ^ABE=sinNADE

AB6

AE=5.

24.（12分）已知A,B,C,D是。O上的四个点.

(1)如图①，若NADC=NBCD=90。，AD=CD,求证：AC±BD；

（2汝口图②，若AC_LBD,垂足为F,AB=2,DC=4,求。。的半径.

।_।

⑴证明:VZADC=ZBCD=90°,

AAC,BD是。O的直径,

.\ZDAB=ZABC=90°,

・・・四边形ABCD是矩形.

VAD=CD,

・・・四边形ABCD是正方形，

AAC±BD.

⑵解：如图②，作直径DE,连接CE,BE.

〈DE是直径，

/.ZDCE=ZDBE=90°.

AEB±DB.

又・.・ACJ_BD,

ABE//AC,ZBDC+ZACD=90°.

VZECA+ZACD=90°,

AZECA=ZBDC,

，而=~BC.

.•."CE=^B.

.\CE=AB.

在RtA^ECD中，由勾股定理有：CE2+DC2=DE2,

即CE2+DC2=AB2+DC2=DE2=20,

ADE=2^/5,可得OD=V^,

故（DO的半径为布.

25.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点D,

连接AD,过点D作DMLAC,垂足为M,AB,MD的延长线交于点N.

（1）求证：MN是。O的切线；

(2)求证：DN2=BN-(BN+AC)；

(3)若BC=6,cosC=1,求DN的长.

J

(1)证明：连接OD,

TAB为。。的直径，

/.ZADB=90°,

AAD±BC,

yVA