北京海淀区2024届高考数学考前最后一卷预测卷含解析

北京海淀区2024届高考数学考前最后一卷预测卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=cosxsin2x,下列结论不正确的是()

A.y=/(x)的图像关于点(乃,0)中心对称B.y=/(无)既是奇函数，又是周期函数

C.y=/(x)的图像关于直线x对称D.)，=/("的最大值是当

2.如图所示程序框图，若判断框内为则输出5=()

~「西”I

A.2B.10C.34D.98

『心sin(攵乃+a)cos(Z;r+a)/、以4人口,、

3.已知A=―-----+―--------则A的值构成的集合是()

sinacosa

A.{1,—1,2,—2)B.(—1,1}C.{2,-2}D.{1,—1,0,2,—2}

4.已知数列{4}为等差数列，S”为其前〃项和，4+%=4+4。，贝()

A.7B.14C.28D.84

x

5.已知集合A={x|xvl},B={x\3<\}t则

A.A'”={x|工<0}B.AJB=R

C.AJB={x|x>l}D.ACB=0

6.已知等边△A8c内接于圆「：x2+y2=l,且〃是圆r上一点，则PA•（-6+kC）的最大值是（）

A.V2B.1C.GD.2

7.设数列｛〃”｝是等差数列，％+%+%=6,%=6.则这个数列的前7项和等于（）

A.12B.21C.24D.36

8.已知复数2=旦（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

2-1

（3（31）（3（3

（55）（55）155）（55）

9.如图，用一边长为力的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为;的鸡蛋（视

为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）

6+\n6+1

----------------JLz•----------------

22

10.己知数列｛4｝是公比为2的正项等比数列，若%、为满足2。”<*<10244,贝1］（加一1）2+〃的最小值为（）

A.3B,5C.6D.10

八ln(2—x),x,1,।八,

11.已知函数/*)=<2I1若|/(幻|一磔+a.O恒成立，则实数。的取值范围是()

—X+l,x>1,

A.-;,1B.[0,1]c.[1,-KO)D.[0,2]

12.已知x与）'之间的一组数据:

X1234

ym3.24.87.5

若）'关于x的线性回归方程为），=2.比一0.25,则〃?的值为（）

A.1.5B.2.5C.3.5D.4.5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2/十」=］的展开式中，V项的系数是

14.有以下四个命题：①在AA6C1中，A>H的允要条件是sinA>sin6；②函数y=/(x)在区间(1,2)上存在零点

的充要条件是/⑴・〃2)<0；③对于函数y=/(x),若/(2)=/(-2),则充不)必不是奇函数;④函数y=/(l—x)

与)，=/(I+幻的图象关于直线x=1木称.其中正确命题的序号为.

15.数列｛〃〃｝满足q+2出+3/++〃a”=2"-l(〃eN"),贝ij,aH=.若存在产使得qW-----4成立，

n

则实数人的最小值为

16.关于函数/(x)=In(2+x)-山(4-另有下列四个命题：

①函数y=/(x)在(-2,4)上是增函数；

②函数y=的图象关于(1,0)中心对称；

2

③不存在斜率小于-且与函数y=/(J)的图象相切的直线；

④函数y=/(x)的导函数y=/'(X)不存在极小值.

其中正确的命题有•(写出所有正确命题的序号)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，四棱锥P-A8CO的底面为直角梯形AB〃OC,ZABC=9O°,A8=8C=1,C£>=2,PCI

底面ABC。，且PC=6,E为。。的中点.

(1)证明：BELAPi

(2)设点M是线段阱上的动点，当直线AM与直线。户所成的角最小时，求三棱锥P-CZW的体积.

18.(12分)已知函数/(x)=ln(ar)-a,(4>0).

(1)若函数〃(x)=//(x)在(0,+8)上单调递增，求实数。的值；

(2)定义：若直线/:)，=辰+。与曲线G:<*,)，)=()、。2：力。，)')=0都相切，我们称直线/为曲线G、G的公

切线，证明：曲线/(x)=ln(ar)-a,(a>0)与g3=ae、(a>0)总存在公切线.

19.(12分)设x,zeR,z(x+2y)=m.

(1)若F+2y?+3z?的最小值为4,求机的值；

(2)若d+4)P+gz221,证明：或加之/.

(=cos0

20.(12分)在平面直角坐标系中，曲线。的参数方程为‘一，.八(。为参数).以原点为极点，x轴的非负半轴

y=1+sin6/

为极轴，建立极坐标系.

(1)求曲线。的极坐标方程；

X=1+/COS。

(2)直线/：《.八(，为参数)与曲线C交于A,6两点，求|4臼最大时，直线/的直角坐标方程.

y=fsin夕

21.(12分)设函数/(工)=5-卜+4—,一2|,

(1)当。=1时，求不等式/(%)2。的解集；

(2)若/(刈二1恒成立，求。的取值范围.

22.(10分)已知函数/7G-E'-RawR).

(I)求函数的单调区间；

(II)当〃>0时,求函数/(%)在［1,2］上最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果.

【详解】

解：A:f(27r-x)=cos(2^--x)sin2(24-x)=-cos.rsinlx=-f(x),正确；

B:/(-x)=cos(-x)sin2(-x)=-cos.vsinlx=-f(x),为奇函数，周期函数，正确；

C:于（兀-x）—cos（4—A）sin2（乃—x）—cosxsin2x—/（x）,正确；

D：y=2sinxcos2x=2sinx-2sin3x,令，=sinx,/£卜1,1]则g（，）=2f-2p,g,（t）=2-6r,/s[-l,1],则

-夫当时人）>。一"4如一争M，）<。，即鼠时等书上单调递增，在

故选：。.

【点睛】

本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题.

2、C

【解析】

由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.

【详解】

由题意运行程序可得：

z<4,j=lx2=2,s=0+lx2=2,z=l+l=2；

z<4,j=2x2=4,5=2+2x4=10,i=2+l=3；

z<4,j=4x2=8,5=10+3x8=34,i=3+l=4；

i<4不成立，此时输出s=34.

故选：C.

【点睛】

本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.

3、C

【解析】

对攵分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.

【详解】

A为偶数时，4=吧里+”4=2；%为奇数时，A=_吧4一型=-2,则A的值构成的集合为{2,-2}.

sinacosasinacosa

【点睛】

本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.

4、D

【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到4=4,利用求和公式和等差中项的性质，即得解

【详解】

・・・4+%="+40，

/.4+q1—6d=67]।—5d+q1—d

解得知=4.

.%=21（q；-）=21%=84.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

5、A

【解析】

・.・集合5=*|3"<1}

・・・B={R|X<0}

;集合4={x|xvl}

/.AnB={x|x<0},AuB=（x|x<1}

故选A

6、D

【解析】

如图所示建立直角坐标系，设P（cosO,sin。），贝i」PA・（PB+PC）=l-cosd,计算得到答案.

【详解】

（1（1

如图所示建立直角坐标系，则A。,。），B,C，设P（cos6,sin。），

贝!)PA•(P3+PC)=(1-cossin<9)(-1-2cos仇一2sin0)

=（1-cos，）（一1一2cos，）+2sin28=2COS?g-cose-l+2sin?9=1-cos<2.

当夕=TT,即P（-1,0）时等号成立.

故选：D.

y

【点睛】

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

7、B

【解析】

根据等差数列的性质可得小，由等差数列求和公式可得结果.

【详解】

因为数列｛4｝是等差数列，4+%+〃5=6,

所以3%=6,即%=2,

又%=6,

所以"=^?2_黑=1,4=4—2d=0,

故$=21

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.

8、A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得2的坐标得出答案.

【详解】

31-z(1-0(2+03I.

健・z=-----=----------------=-------1.

2-i(2-z)(2+z)55

在复平面内对应的点的坐标是.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

9、D

【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.

【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为0',球心为。，

47r4-4万

由题意，球的体积为丁，即彳万片二丁可得球。的半径为L

333

又由边长为血的正方形硬纸，可得圆0'的半径为g,

利用球的性质可得O'。？=小心2=与,

又由。'到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为g,

所以球心到底面的距离为立+'=巫堂.

222

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力,

属于基础题.

10、B

【解析】

利用等比数列的通项公式和指数嘉的运算法则、指数函数的单调性求得1<，〃-〃<10再根据此范围求+〃的

最小值.

【详解】

数列｛%｝是公比为2的正项等比数列，〃心。〃满足2%<册<1024%,

由等比数列的通项公式得2q-2"T<q•2^'<1024q•2"，即2〃<T~x<2,,+9>

:.2<Tl~>,<2,0>可得一〃<10,且"？、，都是正整数，

求的最小值即求在1<加一〃<10,且〃？、〃都是正整数范围下求机一1最小值和〃的最小值，讨论〃？、〃

取值.

当m=3且〃=1时，（初一1『+〃的最小值为（3-1『+1=5.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和指数箱的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思

想，是中等题.

11、D

【解析】

由|/（x）|—or+a.O恒成立，等价于y=|/*）|的图像在），=a（x-l）的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用

数形结合的方法求解答案.

【详解】

..Un（2-x）,£,1,..

因为|/（工）|=12।।由1）恒成立，分别作出），=|/"）|及y=a*-l）的图象，由图知，当。<。

时，不符合题意，只须考虑a.o的情形，当），=4（x7）与），=|/（刈（尤.】）图象相切于（1,。）时，由导数几何意义，此

时。=（父-1）'|尸产2,故成心2.

故选：I）

【点睛】

此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.

12、D

【解析】

利用表格中的数据，可求解得到工=2.5,代入回归方程，可得不=5,再结合表格数据，即得解.

【详解】

利用表格中数据，可得7=2.5,

又y=2.lx-0.25,/.y=5»

...〃z+3.2+4.8+7.5=20.

解得m=4.5

故选：D

【点睛】

本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、240

【解析】

利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3,计算展开式中含有V项的系数即可.

【详解】

由题意得：&|=C；(2x)6f(£)r,只需6一_|r=3,可得r=2,

代回原式可得7；=240/,

故答案：240.

【点睛】

本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.

14>①

【解析】

由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②；

由/(2)=/(-2)=0,结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④.

【详解】

解：①在AA3C中，A>B<^>a>bo27?sinA>2/?sinB<=>sinA>sinB,故①正确；

(3\3

②函数y=/(x)在区间(1,2)上存在零点，比如〃x)=x--在(1,2)存在零点5,

但是/(1)-/(2)>(),故②错误；

③对于函数y=/(%),若，(2)=/(-2)=0,满足/(一2)=-/(2),

但/。)可能为奇函数，故③错误；

④函数y=/(l-x)与y=/(l+x)的图象，可令1一%一人即x-l-r,

即有y=/«)和y=/(2—，)的图象关于直线，=1对称，即工=0对称，故④错误.

故答案为：①.

【点睛】

本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题.

1

15、a=——-

"n2

【解析】

利用“退一作差法”求得数列｛%｝的通项公式，将不等式见V——4分离常数42上一，利用商比较法求得J的

nn+in+\

最小值，由此求得力的取值范围，进而求得力的最小值.

【详解】

当〃22时

=

671+2a,+3%+•••+(〃-l)6?n_|+2”-1

4+2a2+3%++(九-=2,,1—1

nrt,

两式相减得nan=(2-l)-(2--l)=

所以％=组

n'7

当〃=1时，4=1满足上式

综上所述%=1

n

nI1

存在〃GN,使得见《——2成立的充要条件为存在〃N"使得42上一，

n72+1

设久二二，所以空=今孕=互誓＞1,即%叫,

〃+1

所以也｝单调递增，物〃｝的最小项即有九之々二；,/1的最小值为;.

乙，4

2"“1

故答案为：(1).a———(2).—

tln2

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求

解策略，属于中档题.

16、®@®

【解析】

由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断.

【详解】

函数/(x)=ln(2+x)-ln(4一"的定义域是(―2,4),

由于/(-V)=ln(2+x)-ln(4-x)=ln^+¥=ln(-l+,

〃=-1+£在(-2,4)上递增，・・・函数)，=/(另在(—2,4)上是递增，①正确；

fQ-x)=ln(4-x)-ln(2+x)=-f(x)，，函数y=/(x)的图象关于(1,0)中心对称，②正确；

/3=上++=高三=五二E4=|'z时取等号,.・.③正确；

八)=£+±=1?^'设g(x)=/M则g3=(一窜工尸显然x是丑)即八X)的

极小值点，④错误.

故答案为：①@③.

【点睛】

本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)述.

9

【解析】

(1)要证明只需证明Z?E_L平面P4C即可；

(2)以C为原点，分别以CDCB,C户的方向为x轴、)轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求

cos<AM,DP>,并求其最大值从而确定出8M8户使问题得到解决.

【详解】

(1)连结AC、AEt由已知，四边形ABCE为正方形，则AC_LBE①，因为PC_L底面

ABCD,则PC，的②，由①®知3E1平面PAC，所以

(2)以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1』,O),W,1,0),0(2,0,0),

P(0,0,y5),所以人3=(-1,0,0),BP=3,7,向,DP=(-2,0,72),设3M=23P，

(0<2<1),则AM=A8+8M=(—1,—九0外，所以cos<AM,/)尸>=

|AM||DP\

2+24\/64+14+1t

设2+l=m,2],则/,,二『---------

J1+3纪•J3J1+3储V1+3/1,3广一61+4

46'=J*3高3,所以当2即/=±时，cos<取最大值，

G+3归9+]i23

从而vAM,OP〉取最小值，即直线A”与直线。夕所成的角最小，此时幺=，-1=:,

则8M因为3C_LC。，BCLCP,则8C_L平面POC,从而M到平面POC的

3

距离6=|BC=|,所以匕_sw=h"Hx2x^x|=¥・

【点睛】

本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的

内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.

18、(1)a=\；(2)见解析.

【解析】

(1)求出导数，问题转化为"(x)..O在(0,+8)上恒成立，利用导数求出0。)=皿办)+!-。的最小值即可求解;

X

(2)分别设切点横坐标为用,8，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足

•%有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.

xXz

ln(aV])—。-1=ae--ax2e

【详解】

(1)h(x)=ex[ln(ar)-d],x>0,

h'(x)=ev[ln(ar)4---a]

x

函数h(x)在(0,+8)上单调递增等价于h(幻..0在(0,+8)上恒成立.

令0(x)=ln(at)+』一。，得p(x)=L--!r=J1,

xxx"x~

所以奴工)在(0,1)单调递减，在(L+⑼单调递增,则火口出=9⑴.

因为《>0，则方.0在(。,+8)上恒成立等价于.0在(0,+oo)上恒成立；

又.•以3=0,

a

)=^(0=0,

a

所以，=1,即。=1.

a

(2)设/*)=皿(奴)一〃,(々>0)的切点横坐标为工=不，则/'(为)=，

%

切线方程为y-In(平)+«=—U-^)...①

X2

设g(x)=ae\(a>0)的切点横坐标为x=x2,则g\x1)=ae,

XlX2

切线方程为y-ae=ae{x-x2)..②

aex-=—

若存在小七，使①②成为同一条直线，则曲线f(x)与g(x)存在公切线，由①②得为消

xx

)—4_1=ae--ax2e-

x

去&得一/_a-［二a/-ax2e-

即一=—」---=*---------

ax2+1x2+1

令/⑴人一生4则4)=立*>。

工+1U+I)2

所以，函数y=，(x)在区间(0,+8)上单调递增，

•.•/(l)-r(2)<0/.3X0G(1,2),使得心。)=()

•••X£(%,+8)时总有t(x)>(%)=0

又「.X—>+CC时，t(x)—>+CO

在(0,y)上总有解

ax+1

综上，函数f{x}=ln(at)-4,(〃>0)与g(x)=ae\(a>0)总存在公切线.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.

19、(1)2；(2)见解析

【解析】

(1)将N+2V+3Z2化简为(f+Z2)+2(V+Z2),再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出〃?的值；

(2)根据/+从之2|蜀，即2(/十82)之(。+32,得出£+4),2+2_222_!_(冗+2)，)2+122,利用基本不等式求

出最值，便可得出〃?的取值范围.

【详解】

解：(1)由题可知，解解zwR,z(x+2y)=m

x2+2y2+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)>2xz+4yz=2m=4,

:.m=2.

(2)Va2+Z?2>2\ab\,

A2(«24-/?2)>(67+Z?)2,

+4y2+*,(x+2»+gz242Kx+2),)启1,

/.|w]>1,即：〃2«—1或〃22/.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.

20、(1)p-2sin^=0；(2)x+y-1=0.

【解析】

(D利用cos2g+cos2，=l消去参数。，得到曲线C的普通方程，再将X=pcos8,y=psin。代入普通方程，即

可求出结论；

(2)由(1)得曲线。表示圆，直线曲线C交于A,5两点，|431最大值为圆的直径，直线/过圆心，即可求出直线

/的方程.

【详解】

(1)由曲线C的参数方程=(0为参数)，

[y=l+Sin〃

可得曲线C的普通方程为/+(),-1)2=1,

因为x=0cos8,y=psin3f

所以曲线C的极坐标方程为(pcosO)?+(psin6>-1)2=1,

即P一2sin8=0.

x=l+rcos(9-

(2)因为直线/：1.八a为参数)表示的是过点(i,o)的直线，

Jy=/sin^

曲线C的普通方程为x2+(y-l)2=l,

所以当I431最大时，直线，经过圆心(0,1).

..•直线/的斜率为一1,方程为y=-x+l,

所以直线I的直角坐标方程为x+^-1=0.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想,

属于中档题.

21、⑴[-2,3]；⑵(f,-6]u[2,+a>).

【解析】

分析：(D先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先化简不等式为

|X+6T|+|X-2|>4,再根据绝对值二角不等式得Ix+41+|x-21最小值，最后解不等式|。+2|24得。的取值范围.

详解：(1)当。=1时，

2x+4,x<-1,

/(x)=2,-1<x<2,

一2x+6,x>2.

可得的解集为{x|-2KxV3}.

(2)/(X)W1等价于卜+4+上一2|24.

而上+4+,一2日〃+2|,且当x=2时等号成立.故/(x)Wl等价于|a+2|N4.

由|。+2隹4可得或