北师大版八年级下学期期末知识点归纳

第一章勾股定理

1、勾股定理：

c2=a2=b'J=

c=a=b=

作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边及另两边

的关系，求另两边：

2、勾股定理的逆定理

，则这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。如:

4、最短路径问题：一般做法是把长方体、圆柱体（或其他几何体）的侧面展开，

将立体图形问题转化为平面图形问题，再根据两点之间线段最短，构造直角三角形，

用勾股定理求解.

考点一勾股定理的应用----

1.如图，字母8所代表的正方形的面积为.

2、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的

高度是（）

A.12米B.13米C.14米D.15米

3、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面

积为（）A.65B.60C.120D.130

4、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则

斜边上的高是

5、如图（3）,某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点。偏离

欲到达点/00m,结果他在水中实际游了500m,求咳河流的宽―

6、小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片:/50所

（如图1）,沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形

［如图2）,再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得”（3）

到一个等腰直角三角形（如图3）,则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为

;同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠〃次后所得到的

等腰直角三角形（如图〃刊）的一条腰长为.

7、已知直角三角形的斜边长为10,两直角边的比为3：4,则较短直角边的长为

8、如图，一场大风后，一棵与地面垂直的树在离地面1m处的A点折断，树尖B

点触地，经测量BC=3m,则树高是（）

A.4mB.V10m

C.(VIO+I)mD.(V10+3)m

9、如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边

Z&SII.现将直角边AC沿直线AQ折叠，使它

落在斜边48上，且与AE重合，则CD等于（）

A、2cmB、3cmC、4cmD、

5cm

考点二：勾股定理的逆定理的应用

1、下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（)

A.G.8.10B.5.12.13C.12.18.22D.9.12.15

2、若一个三角形三边满足（〃+»2一°2=2",则这个三角形是（）

（A）直角三角形（B）等腰直角三角形

（C）等腰三角形（D）以上结论都不对

3、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为1:2:3B.三条边的平方之比为1:2:3

C.三条边之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:5

4、△/勿中，N4/昆NC的对边分别记为。，b9C,由下列条件不能判

定比为直角三角形的是（）

A./A+/B-/CB.N4：N6：：2：3

C.a2=c2-b2D.4：b：C=3：4：6

考点三：最短路径问题

1、如图，有一个底面半径为6cm,高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A

有一只蚂蚁.，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，

请问它需爬行的最短路程约是多少？（兀取整数3）

B

A

2、如图是一个长为8,宽为6,高为5的长方体仓库，在其内里的点A（长

的四等分点）处有一只壁虎，在其内壁的点B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁

虎爬到蚊子处的最短距离为多少？

第二章实数

1、实数的分类

「正有理数二

「有理丈零J

有限小

数和无限率环小数

实数I负有理数

「正无理数］

无理数tJ无限不循环小数

负无理数

2、无理数：叫做无理数。归纳起来有三类：

（1）开方开不尽的数进行开方后所得的结果，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率n,或化简后含有n的数，如三+8等;

3

（3）有特定结构的数，如等；

3、实数的倒数、相反数和绝对值

（2）倒数：当而0时，a与」互为倒数（0没有倒数）；

a

（3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝时值是它的相反数；0的绝对值是0；

a（a>0）

弧|a|=《0（a=0）

*-a（a<0）

2、有关性质：

（1）a与b互为相反数u>a+b=0（2）a与b互为倒数0ab

（3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|:|一相

（1）相反数:a的相反数是-a.

4、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即X?二a,则这个正数x

(4)JI=^(>0^>0)（*岛郎〉。）

a)

\b4b

运算结果若含有“A”形式，必须满足：（1）被开方数都不含；（2）被开方数

中不含的因数。

考点一：无理数的概念

1、定出一个大于2小于4的无理数：.

2、数券，5-8,我，每，0・3中的无理数是

IJ.

3、在（一行）°W,0,小,\,0.010010001.......,-0.333…，正，3.1415,

2.010101…（相邻两个1之间有140）中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、在实数会彳，0.1414,方，一|",0.1010010001…，一心，0,1-V2,

李，|4-”中，其中：无理数有

考点二：算术平方根

1、函数y=中自变量x的取值范围是（）

A.x22B.x>2C.x<2D.xW2

2、25的算术平方根是.12的算术平方根是向的算术平方根是

3、比较大小：-3叵-4（填或“>”符号）

4、下列说法错误的是（.）

A."（7）2=1B.2的平方根是土血

C.V（-l）3=-1D.7（-3）X（-2）=V^3XV^2

考点三：平方根

1、求9的平方根的值为。

2、已知一个数的两个平方根分别是A3与2a—15,这个数的值为（）。

A.4B.±7C.-7D.49

3、5的平方根是____,3?的算术平方根是_____,-8的立方根是_____,痴T的

算术平方根是—，石的算术平方根是.12的算术平方根是o

4、下列计算.结果正确的是（）

A.J（-3>=3B.V36=±6

C.V3+V2=V5D.3+2后

5、下列命题中：①有理数是有限小数；②有限小数是有理数；③无理数都是无

限小数；④无限小数都是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑥无理数

都可以用数轴上的点来表示；⑦一个数的算术平力根一定是正数；⑧一个数的立力根

一定比这个数小.其中正确的有（）

（A）3个（B）4个

（C）5个（D）6个

考点四：立方根

1、下列说法不正确的是（）

支的平方根是_9是81的一个平方根

A、QJ；D^;

C、0.2的算术平方根是0.02；D、昨力二一3

2、下列各式中计算正确的是（）

A.J（-9）2二-gB.V25=±5C--1）3=-1D.（-&）2=-2

3、64的算术平方根和一疯的立方根的和是（）

A.0B.6C.4D.-4

考点五：估算

1、若规定误差小于1,则阿的估算值为（）

A、6和7B、7C、8D、7或8

2、4争,同15三个数的大小关系是（）

A.4V14<'15<'A/226B.V226<'15<'4V14

C.4V14<'V226<15D.15<V226<4VU

考点六：实数的相反数、倒数、绝对值

1、下列各组数中互为相反数的是（）

（A）—2与J（-2）2（B）—2与V-8

（C）一2与一L（D）2与一2

2

2、血的倒数是；狙的相反数是；绝对值等于④的数是。

3、的相反数为.

4、2-6的相反数是，绝对值是

考点七：实数与数轴上的点一一对应关系

1、如下图，数轴上点P所表示的数是

2、与数轴上的点一一对应的是（）

A.整数B.有理数C.无理数D.实数

3、下列命题中：①有理数是有限小数；②有限小数是有理数；③无理数都是无

限小数；④无限小数都是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑥无理数

都可以用数轴上的点来表示；⑦一个数的算术平方根一定是正数；⑧一个数的立方根

一定比这个数小.其中正确的有（）

（A）3个（B）4个

（C）5个（D）6个

4、a、力在数轴上的位置如图所示，则化简厢的结果是（）

(A)2a-b(B)b

(C)—b(D)—2a+bb0a

5、在数轴上表示-G的点离原点的距离是.

6、若将三个数一石，V7,JTT表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆

盖的数是()

(A)-V3(B)V7(C)V1T(D)无法确定

考点八：二次根式的化简和运算

1、计算：V8-V2=-

2、化简：-/12r■

3、在算式-亚□-等的口中填入运算符号，使结果最大的运算符号是()

A.加号B.减号C.乘号D.除号

4、计算

(1)粕f-1

(2)3^20"V45

V2

(3)(V6-2V15)x仔6谒(4)加・6+JgxV12-V24

⑸V75+2^-37108-8.1(6)V16+^^27+3^/3-7(-3)2

(7)3g一26+a+(2折(8)(3+2A/2)(2A/2—3)2-^64-(V2—V3)2

考点九：非负数的应用

1、若，匚与+(b+2)2=0,则点M(a,b)关于y轴的对称点的坐标为.

2、若x,y为实数，且满足|x—3|+行巧=0,则件“2的值是.

第三章位置与坐标

1、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

2、平面直角坐标系及有关概念

(1)、平面直角坐标系

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水

平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为

正方向；x轴和y轴统称义标轴。它们的公共原点0称为直角坐标系的原点；建立了

直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

(2)、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的

四个部分，分别也做第一象限、第二象限、第二象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点(坐标轴上的点)，不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念

对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x相、y轴对

应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a,b)叫做点P的坐标。

点的坐标用(a,b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有分

开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a,b)

和(b,a)是两个不同点的坐标。

平面内点的坐标与有序实数对是一一对应的。

4、不同位置的点的坐标的特征

(1)各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限<=>x>O,y>0点P(x,y；在第二象限=xv0,y>0

点P(x,y)在第三象限ox<(),yv()点P(x,y)在第四象限<=>x>(),yv()

(2)坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上<=>y=(),x为任意实数

点P(x,y)在y轴上ox=0,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上ox,y同时为零，即点P坐标为(0,0)即

原点

(3)和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位干平行干y轴的直线卜的各点的横坐标相同°

(4)关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p，关于x轴对称o横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P(x,y)

关于x轴的对称点为P'(x,-y)

点P与点p'关于y轴对称。纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P(x,y)

关于y轴的对称点为P'(-x,y)

(5)点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

①点P(x,y)到X轴的距离等于N

②点P(x,y)到y轴的距离等于W

③点P(x,y)到原点的距离等于

考点一：位置确定的方法

1、气象台为预测台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心

位置的是()

A.距台湾200海里B.位于台湾与海口之间

C.位于东经120.8度，北纬32.8度D.位于西太平洋

2、下列数据不能确定物体位置的是()。

A.4楼8号B.北偏东30。

C.希望路25号D.东经118°、北纬40°

考点二：确定点的坐标

1、2008年奥运火炬将在我省传递(传递路线为：昆

明一丽江一香格里拉)，某校学生小明在我省地图上设定

的临沧市位置点的坐标为(-1,0),火炬传递起点昆明

市位置点的坐标为(1,1).如图，请帮助小明确定出火

炬传递终点香格里拉位置点的坐标为.

2、在平面直角坐标系中，已知点A(2,3),在坐标

轴上找一点P,使得AAOP是等腰三角形，则这样的点P

(4)画出△ABC关于关于y轴对称的△ABX7,并写出A，、B\C三点的坐标。

4、AABC中，AB=AC=5,BC=6,建立适当的直角坐标系，并写出点A、B、C

的坐标;

考点三：象限内点的坐标的特点

1、如图中点P的坐标可能是()

A.(4,3)

C.(5,-3)

考点四：坐标轴上点的坐标的特点

1、如果点尸(m+3,m+1)在x轴上，则点户的坐标为.

2、点P(m+2,mT)在y轴上,则点P的坐标是.

考点五：轴对称与点的坐标的关系

1＞点A(2,-1)关于x轴的对称点A'的坐标是.

2、点A(-3,l)关于x轴对称的点的坐标为，关于y轴对称的点的坐标为。

考点六：点到坐标轴、原点的距离

1、已知点A(4,-3),则它到y轴的距离为()

A.-3B.-4C.3D.4

2、P(—5,4)到x轴的距离是________，到y轴的距离是________，到原点的距

离是o

3、已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,则P点坐标

为0

第四章一次函数

1、函数:

2、函数的三种表示法

(1)关系式(解析)法(2)列表法(3)图象法

3、由函数关系式画其图像的一般步骤

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线

连接起来。

4、正比例函数和一次函数

(1)正比例函数和一次函数的概念

数,二蹴%谟塞个勰y'是猬典番番题"鬻疆肃+为留嚏由常

称赞瑞清扇篦名中的b=0时(即y")(k为常数，kwO),

(2)一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线

一次函数尸kx+b(kWO)中k、b的意义:

K表示直线尸kx+b(kWO)的倾斜程度；

b表示直线y=kx+b(k#0)与y轴交点的纵坐标。

(3)一次函数、正比例函数图像的主要特征：

(4)正比例函数的性质

当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的噌大而减小。

(5)一次函数的性质

当k>0时:y随x的增大而增大

当k<0时，y随x的增大而减小

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

解这类问题的一般方法是待定系数法。待定系数法求函数表达式的一般步骤是:

⑴设一一设出函数表达式(如y=kx+b(kWO))；

(2)代一一把已知条件代入表达式中;

⑶求一一解方程求未知数k、b；

⑷写——写出函数的表达式。

正比例函数的表达式y二kx,只有一个待定系数k,所以只要知道自变量与函数的

一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式。

一次函数的表达式y=kx+b,含有两个待定系数k和b,根据两个己知条件列出方

程组，即可求出k和b的值，从而确定表达式。

6、用函数观点看方程

方程kx+b=0的解即为函数y=kx+b当y=0时x所对应的值，从图象上看，则为

函数图象与x轴的交点的横坐标。

考点一：一次函数和正比例函数的概念

1、函数的三种表示方式分别是、、。

2、若y=(〃z-2)x+加一4是关于剪的正比例函数，则〃?；若是关于x的一次函数,

则m.

3、若y=(m-2)x+(m2-4)是正比例函数，则m的取值是()

A.2B.-2C.±2D.任意实数

4、下列函数中是一次函数的是()

I1

A.片2f—IB.y=--C.y=—D.*3产2*—1

x3

5、己知函数y=(k+l)x+k-l,当k时，它是一次函数；当k二时，它是正比例函

数.

6、如果y=x—2a+l是正比例函数，则a的值是()

(A)-(B)0(0--(D)-2

22

考点二：一次函数的关系式

1、已知一次函数的图象经过点A(-1,3)和点B(2,-3),求这个一次函数

的解析式。

解：设一次函数表达式为，将A(-1,3),B(2,-3)代入得

k=

解得J

Lb二

所以一次函数表达式为

像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出

这个式子的方法，叫做待定系数法。

2、一次函数y=攵冗+匕的图象过点（1,3）,（-2,-3）,求这个一次函数表达

式。

3、已知变量y和x成正比例，且x=2时，y=-则y和x的函数关为。

2

4、己知y—3与.x成正比例，且x=2时，y=7o则。则y与x的函数关系式为（）

A.y=2x+3B,y=2x—3C.y—3=2x+3D.y=3x—3

5、写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k^O）的解析式（关系式）.

6、已知正比例函数y二kx的图像经过点A（—1,2）,则正比例函数的解析式为。

7、已知一次函数图象过（1,2）且y随x的增大则减小，请写出一个符合条件

的函数解析式.

8、一个矩形的周长为6,一条边长为x,另一条边长为y,则用x表示y的函数表达

式为.（0<x<3）

9、知某一次函数的图像与直线），=T+1平行，且过点（8,2）,则此一次函数为

)

A.y=-x-2B.y=-x+10C.y=-x-6D.y=-x-10

10、已知油箱中有油25升，每小时耗油5升,则剩油量尸（升）与耗油时间「（小

时）之间的函数关系式为（）

25

A.片25+5CB.户25—51C.D.月5£—25

5t

11、某种拖拉机的油箱可储油40L,加满油并开始工作后，油箱中的余油量y（L）

与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示.

（1）求y与x的函数解析式.

（2）一箱油可供拖位机工作儿小时？

12、已知正比例函数)，的图象与一次函数尸33的图象相交于点(2,

(1)求d的值.

y姓

6-

(2)求一次函数的表达式.

(3)在同一坐标系中，画出这两个函数

的图象.

456x

14、已知一个一次函数y=Ax+b的-3

图象经过点(-3,-2),(-1,6)两点，-4

(1)求此一次函数的表达式。_6-

(2)求此函数图象与坐标轴围成的三角

形的面积。

15、一次函数了=-2尢+4的图象与工轴交点坐标是，与y轴交点坐标是

16、如图3,直线/的函数表达式为AV

17、如图，直线《与4相交于点P，4白y=2x+3,点P的横坐标为-1,

且4交y轴于点A(0,1).求直线的函数

考点三：一次函数和正比例函数的图像图3

1、一次函数丫=1^+1)的图象是经过点和点的一条直线；正比例函数y=kx的图象是经过点和

点的一条直线。

2、下列各点，在一次函数y=2x+6的图象上的是()

A.(-5,4)B.(-4,1)C.(4,20)D.(-3,0)

3、若点(m,m+3)在函数y二一1x+2的图象上，则m=___

4、如图所示图象中，函数)，=/nr+〃7的图象可能是下列图象中()

5、一次函数y=x-2的图像不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6、若点A(2,4)在函数y=2的图象上，则下列点在函数图象上的是()

A.,(1,1)B.(-1,1)C.(-2,-2)D.(2,-2)

7、一次函数y=3-9x与x轴的交点坐标是

8、有下歹I」函数）,二61-5=-^^^y=-4x+3

y=x+4

其中过原点的直线是：函数y随x的增大而增大的是：函数y随x的增大而减

小的是；图象在第一、二、三象限的是。

9、请写出一个图象不经过笫二象限的一次函数解析式.

10、若一次函数尸kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k、b的取值范围

是（）

A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b<0D.k<0,b>0

H>已知一次函数y=2x-4的图象经过点8）,则〃=

12、直线1是一次函数尸kx+b的图象,

(1)k=，b=o

（2）当x=30时,y=o

（3）当y=30时,x=o

13、一次函数y=x-2的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

14、一次函数y=kx+b图象如图，准确的是（）

（A）k>0,b>0（B）k>0,b<0/

（C）k<0,b>0（D）k<0,b<0『

15、已知如留，正比例函数、=旌（女士0）的函数值），而Xi大，则

一次函数y=x+Z的图象大致是（）

13、,新3年“中国@声首”全国巡演在奥体中心举行.童童从家出发前往观看,

先匀速哪至轻就车站，串/餐会儿，隔童睡轻轨至臂体中心观看演出,演出结束

后，童鲫乘邻居刘叔感降航利回到彖.箕市x表寇童丛家出发后所用时间，y

表示童童畲家的距离.*能反映y与x的函数关系的大批图象是（）

ABCD

考点四：一次函数和正比例函数的性质

1>一次函数yi=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论①kVO；②a>0；③当x

<3时，W<丫2中，正确的个数是（）

2、在直角坐标系中，既是正比例函数y=又是y的值随x值的增大而减小的图

像是（）

ABCD

3、点A（3j）和点B（-2,），2）都在直线），=-21+3上，则必和力的大小关系是（）

A.）\>y2B.y<12C.y）=y2D.不能确定

4、已知点（-4,yJ（2,%）都在直线y=上，则））、力大小关系是（）

A.y>为B.=y2C.y<必D.不能比较

5、已知如图1,正比例函数丁=履（人工0）的函数值y随x的增大而增大，则一

次函数>=x+Z的图象大致是（）

6、一次函数y=4x—3的图象经过第象限，y随工的增大而；一次函数

y=—2“+3版图象不经过第象限。"1

（1）y的值随x的增大而；

（2）图象与x轴的交点坐标是；__________________>

OX

与y轴的交点坐标是；E（3）当X时，y20；

（4）该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？

考点五：一次函数的应用

1、水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水时”（£）与滴水时间t（力）的关系

用可以显示水量的容.器做如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，

结合图象解答下列问题.

（1）容器内原有水多少

升？

（2）求”与Z之间的函

数关系式，并计算在这种滴水

状态下一天的滴水量是多少

升？

2、已知A、3两地相距图1

200千米，一辆汽车以每小时

60千米的速度从4地匀速驶往8地,到达8地后不再行驶.设汽车行驶的时间为x小

时，汽车与夕地的距离为/千米.

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

（2）当汽车行驶了2小时时，求汽车距8地有多少千米？

考点六：一元一次方程与一次函数的关系

1、一元一次方程0.5x+l=0的解是一次函数y=0.5x+l的图象与轴交点的横坐标。

2、某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表：

月租费（元/部）通讯费（元/分钟）备注

A种收费标准500.4通话时间不足1

分钟按1分钟计

B种收费标准00.6

算

设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题：

（1）按A类收费标准，该用户应缴纳y产元；按B类收费标准，该用户应缴纳yB二

元；（用含x的代数式表示）

（2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？

（3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？

第五章二元一次方程组

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方

程。

2、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入法解二元一次方程组的步骤

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示

另一个未知数；

②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方

程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中。）；

③解这个一元一次方程，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；

⑤用联立两个未知数的值，就是方程组的解；

（2）加减法解二元一次方程组的步骤

①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的

形式；

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，

得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然

后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；

③解这个一元一次方程，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的

值；

⑤用“广联立两个未知数的值，就是方程组的解；

注意：

（1）当两个方程中某一个未知数的系数是相同或互为相反数时.，直接把两个方

程的两边相加或相减就可以消去一个未知数，达到消元的目的。

（2）当两个方程中某一个未知数的系数的绝对值成倍数时，需把其中一个方程

的两边同时乘以一个适当的整数，让这个未知数的系数的绝对值相等。

（3）若两个方程中两个未知数的系数不成倍数时，需要把两个方程都乘以适当

的数，以便某个未知数的系数的绝对值相等，这种情况需要先确定消哪一个未知数，

一般先消去系数简单的。

6、列二元一次方程组解应用题的一般步躲可概括为“审、找、歹h解、验、答”

六步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用

字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意的两个相等关系：

（3）歹IJ：根据这两个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）检验所得的解是不是方程组的解，并且要检验其是否符合题意，不符合的

耍舍去；

（6）答：写出答案，包括单位名称。

7、一次函数与二元一次方程（组）的关系：

（1）一次函数与二元一次方程的关系：

直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解

（2）•次函数与二元•次方程组的关系：

从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程

组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。

考点一：二元一次方程和二元一次方程组的概念

1、若3/+向+5严|=3是关于x和y的二元一次方程，则〃?二,〃二。

2、以尸=5为解的一个二元一次方程是________.

A.3x-2y=4zB.6xy+9=0C.-+4y=6D.4x=上?

x4

3、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

x+y=42a-3/?=11x2=9x+y=8

A.B.{CADA

2x+3)，=75b-4c=6y=2xx2-y=4

[2=◎的解是(

2.二元一次方程组《)

…(C),E，⑺).x=4,

(A)

)'=6;y=4;>=2.

考点二：解二元一次方程组

1、在二元一次方程3x+2y=4中，用含x的代数式表示y可得到，再用含y的代

数式表示x可得到.

2、已知2x—3y=l,用含x的代数式表示六则y=,

当x=()H寸，y

3、如果2a巧？与-4a2后R是同类项,则x=y=.

x=l

4、已知都是方程ax-y=b的解，则a=b=.

y=31行-2

"尸3与方程组,x—v^l

5、如果方程组4有相同的解,则m・n=

mx+ny=8inx-ny=4

6、解方程组

x+2y=9'2(x+1)-尸62x+3y=12

(1)(2)(3)

3x-2y=5x二y-13x+4y=17

2(x-y)x+y

3x+2y=8—3一十1F

(4)、

4x-5y=3

(5)3(x+y)-2(2x-y)=8

r=n5ar-3y=5.

13、、已知4一是方程组♦的斛，则。=，Z?=o

y=i2x+by=\

考点二：应用二元一次方程组解实际问题

1、某单位购买甲、乙两种纯净水共用180元，其中甲种水每桶8元，乙种水每

梢6元，甲乙两种纯净水共25桶，设买甲种水x桶，乙种水y桶，则可列方程组是

2、全球变暖，气候开始恶化，中国政府为了对全球气候变暖负责任，积极推进

节能减排，在全国范围内从2008年起，三年内每年推广.5000万只节能灯.居民购买节

能灯，国家补贴50%购灯费.某县今年推广财政补贴节能灯时，李阿姨买了4个8W和

3个24W的节能灯，一共用了29元，王叔叔买了2个8W和2个24W的节能灯，一共

用了17元.

求：（1）该县财政补贴50%后，8W、24W节能灯的价格各是多少元？

（2）2009年我省已推广通过财政补贴节能灯850万只，预计我省一年可节约电

费2.3亿元左右，减排二氧化碳43.5万吨左右，请你估算一下全国一年大约可节约电费

多少亿元？大约减排二氧化碳多少万吨？.（结果精确到（）.1）

3、某商场.投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价

和销售价如表所不：

（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？

4、某制衣厂某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件，该车间的

加工能力是：每天能单独加工童装45件或成人装30件。

（1）该车间应安排儿天加工童装，几天加工成人装，才能如期完成任务？

（2）若加工童装一件可获利80元，加工成人装一件可获利120元，则该车间加

工完这批服装后，共可获利多少元？

5、某校运动会需购买A、B两种奖品。若购买A种奖品3件和B种奖品2件,

共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元。求A、B两种奖品单

价各是多少元？

6、为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，

每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.已知九年级一班在8场

比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场.数分别是多少？

7、我市为加快美丽乡村建设，建设秀美幸福昆明，对A、B两类村庄进行了全面

改建.根据预算，建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元；甲

镇建设了2个A类村庄1和5个B类村庄共投入资金1140万元.

（1）建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元？

（2）乙镇3个A类美丽村庄和4个B类村庄改建共需资金多少万元？

8、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅,经过测试，同时开放1个大餐厅,2个小

餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅，1个小餐厅，可供2280名学生就餐。

(1)求1个大餐厅，1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校5300名学生就餐请说明理由。

9、用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆

B型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a

辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

(2)请你帮该物流公司设计租车方案；

(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请选出最省

钱的租车方案，并求出最少租车费.

考点四：二元一次方程与一次函数的关系

13

1、如图，直线y=与x轴交于点4与直线y=2x交于点B.求点8的坐标;

2、己知函数尸ax+b和y二kx的图象交于点P,则根据图象卜，可知，关于x,y

的二元一次方程组［尸ax+b的解是•丸

3、右图中两直线乙，的交点坐标可以看作方程组

的廨，~/

4、已知，直线尸2田3与直线产-2x1.

(1)求两直线与y轴交点A,B的坐标;

(2)求两直线交点C的坐标;

(3)求△求C的面积.

第六章数据的分析

1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量：平均

数、中位数

2、平均数

(1)平均数：一般地，对于n个数$,七,…,/我们把工区+/+…+人)叫做这

n个数的算术平均数，简称平均数，记为X。

（2）加权平均数：

3、众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

4、中位数

一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两

个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

5、极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫极差。极差是用来刻画数据

离散程度的统计量，极差越小，越稳定。

7、对方差的认识

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

考点一：算术平均数和加权平均数的计算

1、某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按40乐20%.

40%的比例计入学期总评成绩。小亮的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次

为90分、92分、85分，小亮这学期的数学总评成绩是分.

2、若4个数据，1,3,x,4的平均数为2,则x二o

3、水是生命之源，水是希望之源，珍惜每一滴水，科学用水，有效节水，就能

播种希望.某居民小区开展节约用水活动，3月份各户用水量均比2月份有所下降，其

中的20户、120户、60户节水量统计如下表:

户数2012060

节水量（.立方米/每户）22.53

（1）节水量众数是多少立方米？

（2）该小区3月份比2月份共节约用水多少立方米？

（3）该小区3月份平均每户节约用水多少立方米？

4、已知数据为，尢2，工3，的平均数是2,则数据2x2-1,2X3-1,2x4-1

的平均数是

A.-IB.IC.2D.3

5、八年级一班有学生50人，八年级二班有学生40人，一次考试中，一班的平

均分是81,二班的平均分是90,则这两个班的90位学生的平均分是（）

A.85B.85.5C.86D.87

6、超市招聘收银员一名，对二名应聘者进行了二项素质测试.下面是二名应聘

者的素质测试成绩：

测试成绩

素质测试

小李小张小赵

计算机709065

商品知识507555

语言803580

公司根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试成绩分别赋予权重4、

3、2,则这三人中将被录用.

考点二：中位数和众数

1、某校10位同学一学年参加公益活动的次数分别为：2,1,3,3,4,5,3,6,

5,3.这组数据的平均数和众数分别为（）

A.3,3B.3.5,3C.3,2.5D.4,3

2、学校为了丰富学生课余生活开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏比赛,

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