北师大版必修第二册51直线与平面垂直作业

【精挑】5.1直线与平面垂直-3优选练习

一.填空题

1.如图所示，在三棱锥中，侧面SAC,底面A8C,底面A3c是边长为26的等边三角形,

且S4,SC,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.

2.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖牖.如图，在鳖麻夕一A3。中,

尸AJL平面ABC,ABJ.3C,且AP=AC=1,过点A分别作AEJ.P3于点E,4b_1_尸0于点尸，

连结即，当A4E/7的面积最大时，tanN5PC=.

3.已知正四棱锥P-A8CD的底面边长为4遍，高为6形,其内切球与面上钻切于点M,球面上与

Q距离最近的点记为N,若平面。过点M,N且与AN平行，则平面。截该正四棱锥所得截面的面

积为.

4.如图，已知正三棱柱ABC-44G的所有棱长均相等，D为AG的中点，则直线AD与平面与℃

所成角的正弦值为

5.已知△A"。为等腰直角三角形，AC=8C=3,在AC边上任取一点D,过D作BC的平行线交AB

于E.以DE为折痕，将△">£折起，使平面4无，平面4CD£,则四棱锥A-3CDE体积的最大值

为.

6.如图，四棱锥尸一A3CZ),底面为正方形，侧棱尸底面A3CO,^4=4,^=3,G,”分

41

PG=-PCPH=-PA

别在PC,F4上，且5,3,过直线G"作平面与侧棱PB.分别交于点

M.N,截面把四棱锥分为上.下两部分，则上部分与下部分体积比值的最小值为.

7.设2是60°的二面角a一/一/内一点，抬工。,户8,%儿8分别为垂足，以=2,/^=4,则/18

的长为.

8.在棱长为2的正方体A"。。-A4GR中，E是正方形"4G。的中心，M为GA的中点，过AM

的平面°与直线0七垂直，则平面仪截正方体ABCD_y4'B'C'D'所得的截面面积为.

PA±A

9.如图，在三棱锥P-ABC中，^PC±BCtAB±BCyAB=2BC=ZPC=>J59则PA与

平面ABC所成角的大小为；三棱锥P-ABC外接球的表面积是.

io.在正方体ABCD-A与GA中，直线AA与面3。马旦所成角的正弦为.

11.设/，〃?为两条不同的直线，名/为两个不同的平面，下列命题中正确的是.（填序

号）

①若I±a.mllP，a1B，贝/_L/〃；②若〃/也机，，△则。/R；

③若〃/a,m〃/7,a〃△则/〃叫④若a_L/7,an4=m,/u/,/_L，〃w“_La.

12.如图，在长方体A8S-44Gq中，AB=2fAD=\,认=叵,E为GR的中点，则直

线BE与平面所成角的大小是

13.在三棱锥尸一中，顶点尸在底面的射影为初灰7的垂心°,且P°中点为何，过AM作平

行于8c的截面白,记,「AM=4，记a与底面ABC所成的锐二面角为4,当4取到最大，tan02=

p

c

14.正四棱锥产一ABCD中，PA-3,AB=2t则24与平面PBC所成角的正弦值为.

15.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把AABD与4ACD折成互相垂直的两个平面

后，某学生得出下列四个结论：

①ACwO.

②NBAC=60°；

③三棱锥D-ABC是正三棱锥；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正确结论的序号是.（请把正确结论的序号都填上）

显

BCTV|

tanZBPC=—=

021PB回2旦

）广=­

所以当14时即338,此时3,故填2.

解法2.

EFEF

tann0=---=—r=

PF72

EF=—tan6>

设/BPC=6,则2,所以2

“PAABJ2cos2g一1

又3c=V^sin。，PB=41cos0y所以A3=JZcos?。一1,所以PBy/lcosO

」E「AE」gan"军叵」、口7运”

SMEF

222&cos〃4VCOS26*4>

所以

1/_cos2^-sin201/7T7；TZV1tan2/9+1-tan201

二一Jtair£------；------二一Jtan*l-tair£<-------------------=-

4Vcos*4丫'7428

t0五

i2ctanu=—

当且仅当tan-8=1Tarr夕即2时，取等号.

V2

故答案为：2

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的

应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.

3.【答案】9G

【解析】取破8中点Q,R,连PQ,PR,QR取Q&中点S,连PS,则PS_L平面A8CQ,根据

已知可得△尸QR为正三角形，正棱锥P-A8C。内切球的球心为正△PQR的内心°,与面PA5切于

点、M为PQ中点,球面上与夕距离最近的点为°P与球面的交点，即在°夕之间且°N长为内切球的

半径，连MN并延长交程于/，平面a过M,N与A8平行，可得平面a分别与平面Q45.平面QCO

的交线为过M，/与4B平行的直线，即可得到截面为梯形，根据长度关系，即可求解.

详解:取破8中点0R,连PQ,PR,QR,取QR中点s,连PS,

则AQ_LAA,S为正方形人88的中心，四棱锥尸一ABCQ是正四棱锥，

所以PS,平面A3CQ,[PS=6叵，

在iQ中,PQ=M、（竽=氏讪=4娓,

同理PR=4",所以△PQR为正三角形，

所以正四棱锥P-ABCD内切球的球心为正的内心。，

内切球的半径是正△PQR的内切圆半径为2五，

内切球与平面PAB的切点M为正APQR内切圆与直线PQ的切点，

所以M为PQ中点，球面上与夕距离最近的点为连OP与球面的交点，

即在°。之间，目ON=2叵,因此N为°P中点，

连MN并延长交蹬于/,平面0过M,N,/与直线A8平行，

设平面a分别与平面外区.平面0CD交于

因为ABi平面Q43,所以E/〃AB,又因为A8〃CD,CDaa,

所以CD-a,同理可证G”〃CD,所以EF//GH,连GF,HE,

则梯形及G"为所求的截面，因为RQ_LA5,PS_LA8,

PSC\RQ=Sf所以44_L平面平面PQR,

所以AB工EF,所以

连OQ,贝1」°。为々QS的角平分线，所以NPQO=30。，

又因为MH分别为PR尸。的中点，所以MN//OQ,

所以NPA〃=NPQO=30。，而NM/7=60。，所以N/7W=90。，

MI=PMcos30°=3Hpi=PMsin300=A/6=—

所以4,

HG---4^

"/CD,所以4,

S=-M7(E，F+G//)=-X3X/2X3A/6=9X/3

所以截面梯形EFG”的面积22

故答案为：9石.

【点睛】

本题以多面体的内切球为背景，考查空间线.面位置关系，应用直线与平面性质确定截面是解题的关

键，要注意平面几何知识的应用，考查直观想象.逻辑推理能力，属于较难题.

4

4.【答案】y.

【解析】先证出BJ)_L平面AG,过A点作AG_LCD,证AGJ_平面BDC,可知NADG即为直线AD与平面

BJ)C所成角，求其正弦即可.

详解：如图，连接RD,因为三角形44G为正三角形，则又平面，平面AG,

交线为AG,BJ)U平面AqG,则&D_L平面AG,

过A点作AGJ_CD,

则由BJ)_L平面ACi,得AG_LB山,由线面垂直的判定定理得AG_L平面BiDC,

于是NADG即为直线AD与平面B,DC所成角，

由已知，不妨令棱长为2,则可得AD=J^=CD,

_ACxAA,_4>/5

由等面积法算得AG85

AG4

所以直线AD与面DCB,的正弦值为AD5.

4

故答案为5.

D

【点睛】

考查正棱柱的性质以及线面角的求法.考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的一般求解

方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解

5.【答案】&

22

-（9-x）V=-X1（9-X）X

【解析】设A。=壬求出底面积2'’，写出棱锥面积32、，利用导数求最值即

可.

【详解】

设A。=x,则0七=演0。=3-尤（0＜工＜3）所以梯形38七的面积为

V=-x—（9-x2）^

则四棱锥A_8CDE体积32',

V=1（9X-X3）,V=-（9-3X2）

令丫'=。，得x=6

所以y在（0,石）单调递增，在［百，3）单调递减，故“二百时，V取得最大值.

Ln%、二［96—（百）3卜6

所以当“一，3时，6L」

故答案为：陋

【点睛】

本版主要考查了棱锥的体积，利用导数求函数的最值，属于中档题.

32

6.【答案】—

【解析】设=川二）‘（"）'£［。5］）,根据题意要上部分与下部分的体积比值最小，即要匕-WGNH

匕-WG"吟-GN"

最小.根据相似比得到匕-覆。，Vp-CDA，从而得到V^-MGNH=VP-MGH+VP-NGH,同理

V»MGNH=Vp_MHN+Vp_MGN,两者建立X,y的关系，利用基本不等式求解/-移旭的最小值

详解：如图所示:

p.

B

设?M=x,PN=y(x,yw[O$]),

因为侧棱底面A8CD,尸A=4,48=3,

Vise=gx4x3x3=12

所以3^

V

要上部分与下部分的体积比值最小，即要VP"最小

—GJ'"""J-<4=4x

因为％.wePAPBPC35575,

V~GNH-PHPGPN=

VP_CDAPAPCPD35575

,,8/、

y'p-MGNH=Vp_MGH+Vp_NGH=TT(X+3J)

所以4J

Vp-MGNH=Vp_MHN+Vp*GN=M

同理125

8/、34个，11_17

—"+)')=-------+—=~

所以25,125,化简得x»'20,

8(x+y)8//12032(vxY12840

所以,2525晨y)1785(xy)85,当且仅当17时

32

取“二”，所以上部分与下部分体积比值的最小值为223.

32

故答案为：223

【点睛】

本题主要考查多面体的体积的求法以及基本不等式的应用，还考查了转化思想和运算求解的能力，属

于中档题.

7.【答案】2币

【解析】由题意，幺=2。=44P8=12。，

由余弦定理可知，AB1=4+16-2x2x4xcosl20=28,所以4区=2夕.

点精：本题考查空间几何体.由二面角的定义而知，过A8作公共边/的垂线，交于。点，则

就是二面角勺平面角6°。，由四边形内角和360，缗到PA=2,P3=4,4P3=120,利用

余弦定理解得答案.

8.【答案】2娓

【解析】确定平面AMCN即为平面a,四边形AMCN是菱形，计算面积得到答案.

【详解】

如图，在正方体ABCO—A8cA中，记入8的中点为N,连接MC.CN.NA,

则平面A"CN即为平面证明如下：

由正方体的性质可知，AM〃NC,则A,M,CN,N四点共面，

记CG的中点为尸，连接3尸，易证/邛J_MC.连接族，则所

所以MC_L平面。瓦"则。E_LMC.

同理可证，DEA.NC,NCr\MC=Cf则OEJ_平面4MCN,

所以平面A"''即平面口，且四边形A"0V即平面0截正方体A8C0—4B|GA所得的截面.

因为正方体的棱长为2,易知四边形A"。'是菱形，

其时角线4。-2。3,旭2=2力，所以其面积2

故答案为：2m

【点睛】

本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

9.【答案】45°6乃

【解析】关键要找平面A8C的垂线，根据题中的垂直关系，作平行四边形A8CO,连接PO,可证

尸D_L平面AAC”.从而可得直线以与平面ABC所成角，解之即可，而早就是三棱锥p—ABC外接

球的直径，这个易求.

【详解】

如图，作平行四边形4BCO,连接尸由ABJ.BC,则平行四边形A5CO是矩形.

由3C_LC£>,BC工PC,PC[CO=C,.・.AC_L平面PCD,而PDu平面PC。，.・.BC_LPD,

同理可得AB，PD,又A3cBe=3,.・.PD_L平面ABCDPD1CD,PD1AD/丛。是

与平面ABC所成角.

由CD=AB=2,PC=布彳导PD=1,乂AD=BC=1,AZM7）=45°.

・•・"与平面ABC所成角是45°.

由尸A_LAB,PCj.BC知PB的中点到AFC0的距离相等.依是三棱锥p—ABC外接球的直径.

由8C_L平面尸CO得BCJ.PC,PB=dPC?+BC2=J（后+『二限，

S=44（一^）2=64

故答案为：45°；61.

【点睛】

本嬴考查直线与平面所成的角，考查球的表面积.解题关键是找到平面的垂线，作出直线与平面所成

的角.

10.【答案】!

2

【解析】连接4cM交点为0,可证/明。就是直线AA与面8皿片所成角.

【详解】

连接AC,BD交点为O,连接D0,由阴_L平面A3CD,ACu平面488,得明_LAC,乂

4CJL80,・AC,平面BBRD.NA。。就是直线A%与面BDDS所成角

i八A01

sinZ.AD.0==—

在AAQO中，AD.2

故答案为：5.

【点睛】

本区考查求直线与平面所成角，解题时必须作出直线与平面所成角并证明，然后在三角形中解得这个

角.

□.【答案】②®

【解析】由空间线面.线线的位置关系，逐一判断即可得解.

详解：解:对于①，若,工见机〃⑸a1■/'则〃/机或/与〃?相交或/与机异面，即①错误；

对于②，若〃/〃?'m上”」上仇则夕〃夕，即②正确；

对于③，若四则/〃，〃或/与加相交或/与加异面，即③错误；

对于④，若°,回。口〃=九/u〃,/_L机由面面垂直的性质定理可得/j_°，即④正确，

即命题中正确的是②④，

故答案为：②④.

【点睛】

本题考查了空间线面.线线的位置关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.

12.【答案】3。。(喔)

【解析】取A4的中点卜，连接EF,BF,然后证明取人出的中点尸，连接即防,最后在所中

求出角的大小即可.

【详解】

取A片的中点F,连接EF，BF.

..EFiIBS.・.瓦」面例8乃

*

则NEBF为直线BE与平面ABB^所成的角.

由题意可得政r=4)=1，8尸="门=石，

,EF1G

tanZ.EBF=-----==——

则BFG3,故NE8F=30,

即直线比:与平面A,所成角的大小是30°,

故答案为：30°.

【点睛】

本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中构造出线面夹角的平面角是解答本题的关键，属于中

档题.

13.【答案】叵

2

试题分析：根据题意可得平面。与底面ABC所成的锐二面角为。2,即为NM4O,在肋NQ4中，

,、pnMO

tan(^,+ft)=—,在用AMOA中，tan，二二万，再利用基本不等式，进而化简即可得到结论.

ZlCzZlCz

【详解】

如图，BC1/a

BC平行于平面a和底面ABC的交线.

又顶点P在底面的射影为AABC的垂心。,

则3c_L4。，BC-LPO,

BC_L平面0。4,

・・・8C_LAM,

因此平面。与底面AAC所成的锐一面角为“，即为/MAO.

pnMO

在放APOA中，tan（^+ft）=—,在心AMOA中，tanft=--,

v7AO-AO

lana+tan仇八八

又点M为尸。的中点，所以tan（q+a）=2tana，即।\,八二2tanq,

I-tan0x-tan02

八tan1

tan"=---------=—：-----------

整理得l+2tan《，+2tan8，

tanft

所以当巧取到最大时lan。=—.（这个问题就是米勒最大用问题.）

2

即时，角最大，从而正切值最大，

不妨设O