《你知道吗 九章算术》教案-2025-2026学年西南大学版小学数学五年级上册

《你知道吗九章算术》教案-2025-2026学年西南大学版小学数学五年级上册核心素养教学目标数学文化素养：了解《九章算术》的历史地位与主要内容，知晓其在多边形面积计算方面的早期成果（如方田章中的面积公式），感受中国古代数学的辉煌成就，增强民族文化自信与数学学习兴趣。空间观念：通过解读《九章算术》中关于长方形、三角形、梯形等图形的面积计算记载，对比古代与现代面积公式的表述差异，深化对图形面积本质的理解，提升图形转化与分析能力。推理能力：结合《九章算术》中的具体算例，尝试运用古代的计算思路推导图形面积，对比现代推导方法，归纳古今数学思想的共通性（如转化思想、归纳推理），提升逻辑推理与类比迁移能力。运算能力：依据《九章算术》中的面积算法，结合现代数学符号，准确进行图形面积计算，熟练掌握单位换算技巧，在古今算法的对比计算中，养成严谨审题、仔细验算的习惯。探究与表达能力：通过小组合作探究《九章算术》中的算理，能用自己的语言解释古代算法的含义，能清晰表达古今算法的异同，培养合作探究、语言表达与信息整合能力。教学重难点教学重点：了解《九章算术》的历史背景与“方田章”的核心内容，掌握其中关于长方形、三角形、梯形等基本图形的面积计算方法。能结合现代数学知识解读古代算理，准确运用《九章算术》中的算法计算图形面积，并能对比古今算法的异同点。感受中国古代数学的文化魅力，理解转化思想等数学思想在古今数学中的传承与应用。教学难点：解读《九章算术》中古文表述的算理，突破古今语言与符号差异的障碍，理解古代算法的本质内涵。结合具体算例，探究古代算法与现代公式的逻辑关联，能运用古代思路推导图形面积，体会古今数学思想的共通性。在探究过程中，能主动整合古代数学文化与现代数学知识，形成“文化认知—算理理解—实践应用”的完整认知链。教学准备教师准备：多媒体课件（包含《九章算术》古籍图片、作者与历史背景介绍、“方田章”古文节选及白话翻译、古今算法对比图表、典型算例、练习题等）、实物投影仪、白板、古代算具模型（如算筹）、“古今算法探究任务单”。学生准备：预习教材中《你知道吗九章算术》内容，尝试理解其中关于面积计算的表述；收集1-2个中国古代数学成就的小故事（如祖冲之、刘徽的贡献）；准备练习本、钢笔、直尺、三角板。教学过程情境导入，初识古算古算故事激趣：师：同学们，在我们中国古代，有许多杰出的数学家，他们用智慧创造了辉煌的数学成就，为世界数学发展做出了巨大贡献。谁能分享一下自己收集的中国古代数学小故事？生1：我知道祖冲之，他把圆周率精确到了小数点后七位，比外国早了很多年！生2：我了解到刘徽发明了“割圆术”，通过不断分割圆来计算圆周率，非常厉害！师：大家分享的故事非常精彩！今天我们要认识一部中国古代数学的“百科全书”，它成书于两千多年前的汉朝，里面记载了大量的数学知识，尤其是在图形面积计算方面，有着非常系统的方法。它就是——《九章算术》（板书课题：你知道吗九章算术）。古籍直观呈现：课件出示《九章算术》的古籍影印图、现代整理版封面图，教师介绍：《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的系统数学著作之一，它总结了战国、秦、汉时期的数学成就，全书分为九章，包含246个数学问题及其解法，对中国乃至世界数学的发展影响深远。我们第五单元学习的“多边形面积的计算”，在《九章算术》的“方田章”中就有详细记载。师：看到这部古老的数学著作，大家有什么疑问或想了解的内容吗？生3：“方田章”里到底记载了哪些面积计算的方法呀？生4：古代没有现代的字母公式，他们是怎么表示面积计算方法的呢？生5：古代的算法和我们现在学的公式一样吗？师：大家的问题都非常有价值！今天我们就一起走进《九章算术》的“方田章”，解开这些疑惑，感受古代数学的智慧。设计意图：以学生分享古代数学小故事导入，贴近学生认知，自然引出《九章算术》；通过古籍图片展示和背景介绍，营造浓厚的文化氛围，激发学生的探究兴趣；鼓励学生提出问题，明确本节课的探究方向，符合新课标“以问题为导向，激发学习主动性”的要求。探究新知，解读古算解读“方田章”，初识古代面积单位师：“方田”中的“方”指正方形、长方形，“田”就是田地，“方田章”主要讲的就是各种形状田地的面积计算方法。在学习具体算法前，我们先了解古代的面积单位。大家看课件上的古文记载：“方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。以顷法百亩除之，即顷数。”师：这里的“广”“从”是什么意思呢？请大家结合课本上的注释和白话翻译，在小组内讨论一下。小组讨论后，指名汇报：生1：“广”就是长方形的宽，“从”就是长方形的长，“积步”就是面积单位，指边长为1步的正方形的面积。生2：“亩法二百四十步”就是说240积步等于1亩，100亩等于1顷。师：非常准确！古代用“步”作为长度单位，“积步”就是面积单位，和我们现在用“平方米”作为面积单位的道理是一样的。大家看，古代的面积单位是和长度单位紧密关联的，这和现代数学中“面积是长度的平方”的思想是一致的。课件出示古今面积单位对比表：时期长度单位面积单位单位换算中国古代（汉）步、尺、丈积步、亩、顷1亩=240积步，1顷=100亩现代厘米、分米、米平方厘米、平方分米、平方米1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米师：大家对比表格，发现古今面积单位的规定有什么共同特点吗？生：都是以边长为某个长度单位的正方形作为面积单位，而且都有明确的单位换算关系！师：说得很好！这体现了古今数学在“度量本质”上的一致性，都是用“标准图形的面积”来度量未知图形的面积。设计意图：从古代面积单位入手，通过古文解读、小组讨论、古今对比，突破古今单位差异的障碍，让学生理解古代面积单位的本质，感受古今数学在度量思想上的共通性，为后续解读古代算法奠定基础。探究长方形算法，建立古今关联师：我们先从最简单的长方形入手，看看《九章算术》是怎么计算长方形面积的。课件出示“方田章”中的长方形算例：“今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。”同时出示白话翻译：“现有一块田地，宽15步，长16步。问这块田地的面积是多少？答案是：1亩。”师：请大家结合之前了解的古代面积单位，算一算15步×16步等于多少积步，再换算成亩，看看是否和答案一致。学生独立计算，指名汇报：生：15×16=240（积步），因为1亩=240积步，所以正好是1亩，和答案一样！师：非常准确！那《九章算术》中长方形的面积算法是什么呢？大家从算例中能总结出来吗？生：长方形面积=广×从，也就是我们现在说的长×宽！师：完全正确！课件出示古今长方形面积算法对比：古代算法：方田（长方形）面积=广×从（文字表述：宽×长）现代公式：长方形面积=长×宽（字母表示：S=ab）师：大家发现了吗？古代的“广”对应现代的“宽”，“从”对应现代的“长”，算法本质上是完全一样的，只是表述的文字不同。这说明早在两千多年前，我们的祖先就已经掌握了长方形面积的计算方法，而且和我们现在的方法高度一致，多么了不起啊！师：我们再练一个古代算例，巩固一下。课件出示：“今有田广十二步，从十四步。问为田几何？”请大家先算出积步，再换算成亩。生：12×14=168（积步），168÷240=0.7（亩），所以答案是0.7亩！师：计算正确！大家已经能熟练运用古代算法计算长方形面积了，接下来我们探究更复杂的图形——三角形。设计意图：从长方形这种基础图形入手，通过具体算例的计算与推导，让学生自主发现古代算法与现代公式的一致性，突破古文表述的障碍；通过练习巩固古代算法的应用，增强学生的成就感，为探究三角形、梯形算法积累经验。探究三角形算法，解读转化思想师：《九章算术》中没有单独的“三角形”名称，而是把三角形田地称为“圭田”。课件出示“方田章”中圭田的算例及古文：“今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？答曰：一百二十六步。术曰：半广以乘正从。”白话翻译：“现有一块圭田（三角形田地），底12步，高21步。问这块田地的面积是多少？答案是：126积步。算法是：用底的一半乘高。”师：大家先根据现代三角形面积公式计算一下，看看结果是否和古代答案一致。生：12×21÷2=126（积步），和古代答案一样！师：那古代的“半广以乘正从”是什么意思呢？“广”“正从”分别对应现代三角形的什么条件？请大家在小组内讨论，结合现代公式解读古代算法。小组讨论后，指名汇报：生1：“广”应该是三角形的底，“正从”是三角形的高，“半广”就是底的一半，“半广以乘正从”就是底的一半乘高，也就是12÷2×21=126（积步），和我们现在的底×高÷2是一样的！师：非常精彩的解读！那大家思考一下，古代数学家为什么会想到用“半广以乘正从”来计算圭田面积呢？他们可能运用了什么数学思想？师：提示大家，我们之前推导三角形面积公式时，用了什么方法？（引导学生回忆拼摆法）生2：我们用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，所以三角形面积是平行四边形的一半。古代数学家可能也想到了这个方法，把两个圭田拼成一个长方形或平行四边形！师：很有道理！课件播放动画：两个完全相同的三角形（圭田）拼成一个长方形，长方形的长是三角形的高（正从），宽是三角形的底（广）。师：大家看，两个圭田拼成的长方形面积是“广×正从”，那一个圭田的面积就是“广×正从÷2”，也就是“半广以乘正从”，和古代算法完全一致！这说明古代数学家已经熟练运用了“转化思想”，把未知的三角形面积转化为已知的长方形面积来计算，和我们现代的推导思路不谋而合！师：我们再来验证一个圭田算例。课件出示：“今有圭田广八步，正从十五步。问为田几何？”请大家用古代算法和现代公式分别计算，看看结果是否一致。生：古代算法：8÷2×15=60（积步）；现代公式：8×15÷2=60（积步），结果一样！师：大家已经能精准解读并运用古代三角形算法了，接下来我们挑战更复杂的——梯形，古代称为“箕田”。设计意图：通过圭田算例的解读，引导学生对比现代公式，自主发现古代算法的本质；通过动画演示和转化思想的追问，让学生理解古代算法的推导思路，感受古今数学思想的共通性；通过算例验证，巩固古代算法的应用，提升学生的解读能力。探究梯形算法，深化古今对比师：“箕田”就是像簸箕一样的田地，也就是我们现在说的梯形。课件出示“方田章”中箕田的算例及古文：“今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？答曰：三百七十五步。术曰：并舌踵而半之，以乘正从。”白话翻译：“现有一块箕田（梯形田地），上底20步，下底5步，高30步。问这块田地的面积是多少？答案是：375积步。算法是：把上底和下底相加，取一半，再乘高。”师：大家先找出古代算法中的关键信息，“舌广”“踵广”“正从”分别对应现代梯形的什么条件？生1：“舌广”是梯形的上底，“踵广”是梯形的下底，“正从”是梯形的高！师：非常准确！那“并舌踵而半之，以乘正从”的意思是什么呢？请大家用现代语言翻译一下，并结合现代梯形面积公式计算，看看是否和古代答案一致。学生独立翻译并计算，指名汇报：生2：“并舌踵而半之”就是上底加下底的和除以2，“以乘正从”就是再乘高。计算过程：（20+5）÷2×30=25÷2×30=375（积步），和古代答案一样！现代公式是（上底+下底）×高÷2，和古代算法完全相同！师：太出色了！那大家结合之前三角形、梯形的推导经验，猜想古代数学家是如何想到“并舌踵而半之，以乘正从”这个算法的？他们可能用了什么转化方法？小组讨论后，指名汇报：生3：可能用了两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形！拼成的平行四边形的底是梯形的上底加下底，高是梯形的高，所以平行四边形面积是（舌广+踵广）×正从，一个梯形的面积就是（舌广+踵广）×正从÷2，也就是“并舌踵而半之，以乘正从”。师：和古代数学家的思路不谋而合！课件播放动画：两个完全相同的梯形（箕田）拼成一个平行四边形，平行四边形的底是梯形上底加下底（舌广+踵广），高是梯形的高（正从）。师：大家看，动画完美印证了我们的猜想！古代数学家不仅掌握了梯形面积的计算方法，还能通过转化思想推导算法，这充分体现了他们的智慧。我们再对比一下古今梯形面积算法：古代算法：箕田（梯形）面积=（舌广+踵广）÷2×正从（文字表述：（上底+下底）÷2×高）现代公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2（字母表示：S=（a+b）h÷2）师：大家发现了吗？古今算法只是运算顺序不同，本质上是完全一致的，都是先求上底和下底的平均长度，再乘高，这体现了数学的规律性和传承性。师：请大家用古代算法计算这个算例：“今有箕田，舌广十八步，踵广六步，正从二十四步。问为田几何？”生：（18+6）÷2×24=12×24=288（积步）！师：计算正确！大家已经完全掌握了《九章算术》中基本图形的面积算法，接下来我们系统对比古今算法，总结其中的数学思想。设计意图：通过箕田算例的解读，让学生自主完成“古文翻译—算法对比—思路猜想”的探究过程；通过动画演示验证猜想，深化学生对古代转化思想的理解；通过古今算法对比，让学生感受数学知识的传承性，提升数学文化素养。归纳总结，提炼数学思想师：请大家拿出“古今算法探究任务单”，结合我们刚才的探究，完成表格中的内容，并小组讨论古今算法的异同点和共通的数学思想。课件出示探究表格，学生完成后小组讨论：图形古代名称古代算法（古文）现代公式（字母）核心转化方法长方形方田广从步数相乘得积步S=ab直接度量（基础图形）三角形圭田半广以乘正从S=ah÷2两个拼成一个长方形/平行四边形梯形箕田并舌踵而半之，以乘正从S=（a+b）h÷2两个拼成一个平行四边形小组代表汇报讨论结果：生1：相同点：①算法本质一致，都是根据图形的底（广、舌广、踵广）和高（正从）计算面积；②都运用了转化思想，把复杂图形转化为基础图形；③都体现了“度量本质”，用标准图形的面积度量未知图形。生2：不同点：①表述方式不同，古代用古文文字表述，现代用字母公式表述，更简洁；②单位不同，古代用积步、亩，现代用平方米等；③运算顺序略有不同，比如梯形算法古代是先加再除再乘，现代是先加再乘再除，但结果一样。生3：共通的数学思想：转化思想（未知→已知）、归纳推理思想（从算例中总结算法）、度量思想（用单位面积度量）。师：总结得非常全面、精准！古今数学虽然在表述、符号、单位上存在差异，但核心思想和算法本质是一脉相承的，转化思想等数学思想贯穿古今，成为数学发展的重要脉络。《九章算术》作为古代数学的瑰宝，不仅记载了具体的算法，更蕴含了深刻的数学思想，值得我们深入学习和传承。设计意图：通过填写探究表格和小组讨论，让学生系统梳理古今算法的异同，自主提炼共通的数学思想，实现从“知识理解”到“思想升华”的跨越；教师的总结提升帮助学生构建“文化—知识—思想”的完整认知体系，提升数学核心素养。巩固应用，传承创新基础应用：古今算法对照算师：我们先来进行“古今对照计算”练习，用古代算法和现代公式分别计算，感受两种算法的一致性。请大家独立完成，完成后同桌互相检查。课件出示3道练习题：方田：广十步，从十八步。问为田几何？（用积步和亩表示）圭田：广十六步，正从二十步。问为田几何？箕田：舌广二十步，踵广十二步，正从十六步。问为田几何？学生独立计算，同桌互查，教师巡视指导，抽取学生作业通过实物投影仪展示。重点点评：古代算法：10×18=180（积步），180÷240=0.75（亩）；现代公式：10×18=180（平方米，此处假设1积步=1平方米便于对比），结果一致。注意古代单位换算的准确性。古代算法：16÷2×20=160（积步）；现代公式：16×20÷2=160（积步），算法本质一致，“半广”的解读准确。古代算法：（20+12）÷2×16=16×16=256（积步）；现代公式：（20+12）×16÷2=256（积步），运算顺序不同但结果相同。师：大家通过对照计算，再次验证了古今算法的一致性，也能熟练运用古代算法解决问题，非常棒！变式应用：古算思路解新题师：接下来我们挑战“古算思路解新题”，用古代数学家的转化思想来解决现代的实际问题，看看古代智慧在今天的应用价值。课件出示变式题：一块三角形的广告牌，底是8米，高是6米。如果用古代“圭田”的转化思路，把它转化为长方形来计算面积，应该怎么转化？面积是多少？一块梯形的草坪，上底是10米，下底是14米，高是5米。用古代“箕田”的转化思路，把它转化为平行四边形来计算面积，转化后的平行四边形的底和高分别是多少？草坪面积是多少？师：请大家先在练习本上画出转化示意图，再计算面积，小组内交流转化思路。学生解题交流后，指名汇报：生1：第（1）题，找两个完全相同的三角形广告牌，拼成一个长方形。长方形的长是三角形的高6米，宽是三角形的底8米，长方形面积是8×6=48平方米，所以一个三角形的面积是48÷2=24平方米，和现代公式计算的一样！生2：第（2）题，用两个完全相同的梯形草坪拼成一个平行四边形。平行四边形的底是梯形上底加下底10+14=24米，高是梯形的高5米，平行四边形面积是24×5=120平方米，所以一个梯形的面积是120÷2=60平方米，和现代公式结果一致！师：大家能灵活运用古代的转化思想解决现代问题，说明已经真正理解了古算的本质，而不是单纯记忆算法。古代数学思想在今天依然具有强大的生命力，这就是文化传承的价值！拓展应用：古今结合创新题师：最后我们进行“古今结合创新题”练习，结合古今数学的优势，解决综合性问题，培养创新思维。课件出示拓展题：一块由圭田（三角形）和箕田（梯形）组成的组合图形田地，已知三角形的底是6米，高是4米；梯形的上底是6米，下底是10米，高是5米。请用“古代算法计算面积+现代单位换算”的方式，算出这块田地的面积是多少平方米，合多少平方分米？师：这道题需要先分别用古代算法计算两个图形的面积，再相加得到组合图形面积，最后用现代单位换算方法换算单位。请大家独立完成，完成后小组内互相讲解解题思路。学生独立解题，小组讲解，教师巡视指导，指名汇报：生：三角形（圭田）面积：6÷2×4=12（平方米）；梯形（箕田）面积：（6+10）÷2×5=8×5=40（平方米）；组合图形面积：12+40=52（平方米）；单位换算：52平方米=52×100=5200（平方分米）。师：解题步骤完整，古代算法应用准确，单位换算正确！大家能将古代算法与现代单位换算结合起来解决综合问题，实现了古今知识的融合创新，非常出色！设计意图：通过基础、变式、