苏科版数学九年级下册提优专题-用光的全反射原理解“胡不归”模型问题 讲义

用光的全反射原理解“胡不归”模型问题一、折射定律和光线的“时间最短原则”几何证明物理课程中对光的反射定律和折射定律是这样描述的：光从一种介质（例如空气）射向第二种介质（例如水）平滑界面时，一部分光被界面反射，另一部分光透过界面在另一种介质中折射.反射光线服从反射定律，而折光服从折射定律：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角∠i的正弦与折射角∠j的正弦比是一个常量，即sinisinj=n光的折射定律是荷兰物理学家斯涅尔发现的，随后法国数学家费尔马指出：如果光线改走线段AB，反而比走弯路A−O−设A和B分别是介质M1和M2内的两点，光线有A−O−B达B.设光在介质M1和M2中的速度分别为V1，V2，并设V1>V2.光线走完如图2，过H作HF⊥OB，HE∥OA，过A作AE⊥HE，过O作OG⊥光的折射定律是荷兰物理学家斯涅尔发现的，随后法国数学家费尔马指出：如果光线由折射定律知sinisinj∴GHOH=∴==∵AH>EH∴T∴T∴T2二、光的全反射现象光的全反射现象作为光的折射定律的特殊情况，满足“时间最短原则”。当光从高折射率介质射向低折射率介质（示意图以从水射向空气为例）时，此时随着入射角∠j的增大，折射角∠i也增大，当∠j增大到某个值（临界角，设为∠θ），折射角∠i变为90°时，就称为光的全反射现象。此时sinθ=n低n三、用光的全反射现象公式解决“PB+如图4，A为直线L上一定点，B为直线L外一点，P为直线L上的一个动点，PB+数学上常规的解法是：当0<k<1时，以A为顶点在∠BAP外作∠θ，满足sinθ=k，这样k·PA=PM，PB+k·下面我们换个角度看，如图6，过B作BE⊥直线L，垂足为E，根据三角形内角和定理，∠PBE=∠PAM=∠θ因而我们可以看作光线从点B入射到界面上点P，再沿PA折射90°的全反射情景。先作高BE，作∠EBP=∠θ满足sinθ=k，再过点A作AM⊥直线BP，垂足为四、用光的全反射公式来解“胡不归”问题“胡不归”讲述是这样一个故事：如图7，小伙从A点出发，B是目的地，直线AC是一条驿道，驿道靠目的地一侧是砂石地（图中已知信息是小伙在驿道行走速度V1，在砂石路行走速度为V2，满足V1>V2；点B到驿道AC的距离也是已知的）。小伙可选择路线AB，也可以先走一段驿道，再折向B，走路线“胡不归”问题实质是当AD等于多少时，t=ADV1+BDV2的值最小。把t=解决.这个问题由很多种解法，但用光线的全反射公式来解决问题十分简单.驿道AD与砂石路DB的速度之比，可看成光线在两种不同介质中的速度之比，即折射率之比.这样原问题可转化为光从光疏介质到光密介质的折射问题，进而转化为光从光密介质到光疏介质的全反射问题，其中sinθ=具体的过程是：如图8，过B作高线BE（图中已知长度的线段有BE，AE），作∠EBD=∠θ，sinθ=v例1如图9，由A地运货到B地，先走一段水路AD，再走公路DB，已知每吨货物每千米水路运费与公路的运费之比为3:5，且B地与水路垂直距离BC=20

km，水路长解答过程：把公路BD与水路上的每吨货物每千米运费之比，看成光线在两种不同介质中的速度之比即折射率.本题就逆向转化为光从光密介质到光疏介质的全反射问题.根据光学原理遵循折射定律的光的路程最短，由光的全反射现象公式得sinθ=35（∠θ为入射角，∠B=∠θ例2如图10(1)，在直角坐标系中，A(0,22)，C(0,1)，如图10（2），以C为顶点，CO为边作∠θ，交OA于D满足sinθ=13