第十六章 整式的乘法-数学活动 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十六章整式的乘法数学活动月历积律探，数和最值研素养锚定·目标明确01数学抽象：从月历中抽象出数字规律02逻辑推理：推导和定两数积的最值关系03数学运算：运用规律解决实际问题04数学建模：建立月历数字与代数模型的联系05目标：提升观察、分析与归纳能力情境引入·民族月历1234星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六567891011121314151617181920212223242526272829303110个月，每月36天两种历法中都藏着数字规律，我们能用整式的乘法揭开吗？情景导入·规律猜想活动1月历中的奥秘(续)1234星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六5678910111213141516171819202122232425262728293031问题1选择其中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论?分组观察：公历月历，用“3×3方框”圈出9个数字，完成“观察数字特点→用整式表示→计算验证规律”.探究新知·合作发现活动1月历中的奥秘(续)67131416172324交叉相乘：6×14=______7×13=______16×24=______17×23=______8491384391再相减：91–84=______391–384=______77规律：运算后的结果都是7.探究新知·合作发现请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律.交叉相乘：10×18=______11×17=______180187再相减：187–180=____7交叉相乘：20×28=______21×27=______560567再相减：567–560=____712345678910111213141516171819202122232425262728293031符合规律探究新知·合作发现问题2换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？交叉相乘：3×11=______4×10=______3340再相减：40–33=____7交叉相乘：22×30=______23×29=______660667再相减：667–660=____712345678910111213141516171819202122232425262728293031符合规律代数证明·逻辑推理问题3

请利用整式的运算对以上的规律加以证明.设方框左上角的数字为x则剩下3个数字分别为：xx+1x+7x+8交叉相乘，再相减：(x+1)(x+7)–x(x+8)=x2+7x+x+7–(x2+8x)=x2+8x+7–x2–8x=7拓展探究·自主发现问题4你还能发现其他规律吗？小组讨论12345678910111213141516171819202122232425262728293031设方框中间的数字为

x：x2–(x+1)(x–1)=x2–(x2–1)=x2–x2+1=1计算观察·规律归纳活动2和为定值的两数积的规律问题1观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.①30×30，35×25，43×17，52×8②50×50，53×47，74×26，91×930＋30=6035＋25=6043＋17=6052＋8=6050＋50=10053＋47=10074＋26=10091＋9=100每组中两个数的和为定值.计算观察·规律归纳活动2和为定值的两数积的规律①30×30，35×25，43×17，52×8②50×50，53×47，74×26，91×9问题1观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.①30×30=900，35×25=(30+5)(30－5)=302－52=875，43×17=(30+13)(30－13)=302－132=731，52×8=(30+22)(30－22)=302－222=416；计算观察·规律归纳活动2和为定值的两数积的规律①30×30，35×25，43×17，52×8②50×50，53×47，74×26，91×9问题1观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.②50×50=2500，53×47=(50+3)(50－3)=502－32=2491，74×26=(50+24)(50－24)=502－242=1924，91×9=(50+41)(50－41)=502－412=819.当两个数的和为定值时，两数差值越小，积越大.当两数相等时，积最大.代数建模·规律解释问题2你能用本章所学的知识解释你发现的规律吗？设两数分别为a和b，且a＋b=2m(m为定值)，则b=2m－a.则两数乘积为：a×b=a×(2m－a)=－a2＋2ma=－(a2－2ma)=－(a2－2ma＋m2)＋m2=m2－(a－m)2当a=m时(即a=b=m)，(a－m)2=0，乘积取得最大值m2.

当两数的和为定值时，其乘积等于它们和的一半的平方减去差的一半的平方.实际应用·素养落地问题3利用你发现的规律解决下面的问题：

用10米长的绳子围一个长方形，如何使面积最大？此时长方形的两条邻边长有什么关系?你能得出更一般的结论吗?解：设长为

a

米，宽为

b

米，则

a+b=10÷2=5，长方形面积

S=a×b.当

a=b=2.5

米时，面积最大为

2.5×2.5=6.25

(m2)，此时长方形的两条邻边长度相等，即长方形变为正方形.结论：在周长固定的所有长方形中，正方形的面积最大.评练结合·迁移应用1.下图是某月份的日历；图中用一个生线方框和一个实线方框各圈出3×3个数.(1)在每个方框中，分别求出对角线上三个数积的差（即计算：13×19×25-11×19×21;12×18×24-10×18×26)；(2)试问在(1)中两算式结果的差是多少?如果两个方框所圈出数字是任意的，那么按(1)中要求列出的两算式，其结果的差会发生变化吗?证明你的结论，评练结合·迁移应用解：(1)13×19×25-11×19×27=532.12×18×24-10×18×26=504;(2)两算式结果的差为28.不会发生变化：证明如下：设实线方框，虚线方框中的中间教分别为a,b.则(a-6)(a+6)a-(a-8)(a+8)a=a3-36a-(a3-64a)=28a，(b-6)(b+6)b-(b-8)(b+8)b=b3-36b-(b3-64b)=28b，28a-28b=28(a-b)又∵a=6+1∴28(a-b)=28(b+1-b)=28.评练结合·迁移应用2.观察下列算式：①1×3-22=3-4=-1②2×4-32=8-9=-1③3×5-42=15-16=-1④

；……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由.4×6-52=24-25=-1n(n+2)-(n+1)2=-1(3)成立，理由如下：n(