2025~2026学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版）

2025~2026学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版）一、单选题(★★)1.椭圆的焦距为（）

A．B．C．6D．(★★)2.若，，三点共线，则实数a=（）

A．2B．3C．4D．5(★★)3.直线与之间的距离为（）

A．B．C．D．(★★)4.“”是“方程表示椭圆”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件又不必要条件(★★)5.圆与的公切线的条数是（）

A．1B．2C．3D．4(★★)6.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（）

A．B．4C．5D．(★★★)7.已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长为8，则实数的值为（）

A．B．C．0或D．0或(★★★)8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点．若，且，则C的离心率为（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.下列说法正确的是（）

A．若直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率的取值范围为B．经过点，且方向向量为的直线方程为C．若直线与平行，则a可以为1D．过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程为或(★★★)10.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．下列说法中正确的是（）

A．椭圆的特征三角形的面积为2B．椭圆的特征三角形是等边三角形C．两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是它们的离心率相等D．若对称中心为坐标原点，且焦点在y轴上的椭圆与相似，且与相似比为，则的方程为(★★★★)11.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（）

A．若为圆上任意一点，则的最小值为B．四边形的面积的最小值为4C．当点在原点处时，直线的方程为D．直线过定点三、填空题(★★)12.若椭圆的焦点在x轴上，且离心率为，则实数_____．(★★★)13.已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程______．(★★★★)14.如图，在底面半径为2、高为12的圆柱形筒中，放置两个半径均为2的小球，两个小球分别与两底面相切．现有一平面α与两个小球也分别相切，已知平面α被圆筒所截得到的截面轮廓为椭圆，且平面α与两个小球的切点为椭圆的焦点，则该椭圆的离心率为_____．四、解答题(★★)15.已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为．(1)求的方程；(2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长．(★★★)16.已知点，，．(1)证明：是直角三角形；(2)求的平分线所在直线的方程．(★★★★)17.已知圆的圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)已知斜率为1的直线与圆交于两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点，求的方程．(★★★)18.已知圆O经过，，三点．(1)求圆O的标准方程；(2)若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足，求点Q的轨迹的方程；(3)设，记M为在（2）的条件下得到的曲线上的动点，以线段为直径作圆，请判断圆与圆O的位置关系，并说明理由．(★★★)19.已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程，并判断C的形状．(2)已知过点O且不与坐标轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点．①过点O作与垂