2025~2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高二上学期期中考试数学试卷

2025~2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题(★★)1.已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（）

A．B．20C．D．6(★★)2.如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（）

A．平均数=中位数=众数B．众数<中位数<平均数C．平均数<众数<中位数D．平均数<中位数<众数(★★★)3.如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（）

A．B．C．D．(★★)4.若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为（）

A．B．C．D．(★★)5.已知，则“”是“为常数”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★)6.若，，，则在上的投影向量的模为（）

A．B．C．D．(★★★)7.过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（）

A．B．C．D．(★★★)8.已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△的内切圆半径为若P在第一象限，则=（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上为增函数D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象(★★★)10.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）

A．若向量与空间任意向量都不能构成基底，则；B．若非零向量满足，，则有；C．若是空间向量的一组基底，且，则四点共面；D．若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底.(★★★★)11.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（）

A．曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点）B．曲线夹在直线和直线之间C．曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍D．曲线上任意两点距离都不超过三、填空题(★★★)12.已知直线与直线平行，则平行线间的距离为______.(★★★)13.已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为________．(★★★★)14.已知为椭圆上一点，为圆：上一点，且的最大值为6，则该椭圆离心率的最大值为________.四、解答题(★★★)15.在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(★★★)16.已知圆，直线．(1)设与圆交于，两点，若，求的倾斜角；(2)设与圆交于，两点，求中点的轨迹方程．(★★★)17.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；(1)若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答对3道题目的概率．(2)若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率．(3)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．(★★★★)18.如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点.(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.(★★★★)19.已知椭圆过点，离心