指数函数的图象和性质教学设计-高一上学期数学人教A版

《指数函数的图象和性质》教学设计课题4.4.2指数函数的图象和性质课型新授课课时第1课时教材分析《指数函数的图象和性质》是人教A版（2019）必修第一册第四章的第二节。函数的思想贯穿于整个高中数学之中，指数函数是函数中的一个重要基本初等函数。学生在系统地学习了函数概念和性质，具体研究了幂函数，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上，展开对指数函数的研究，是对函数概念和性质的再一次应用，为研究其他函数提供了研究方法，为后续学习对数函数奠定基础。指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，是解决大量数学问题和实际问题的重要工具。因此，指数函数是学生进行数学建模和立德树人的重要素材。学情分析1.学生已初步理解函数的概念和基本性质，通过幂函数的学习掌握了函数研究的一般方法：背景概念图象和性质应用。会用描点法画出函数图象，通过函数图象直观感受函数的性质，积累了利用函数图象研究性质的经验，培养了一定的数形结合思想，这为研究指数函数的图象与性质提供了方法指引；2.学生掌握了简单的指数幂运算技能，理解指数函数概念，初步了解指数函数的实际意义及图象变化特点，为指数函数图象和性质的获得提供了认知基础；3.研究幂函数的性质仅对给定的五个具体函数进行了归纳，而指数函数需要学生自行选择具体函数，并借用信息技术大量作图，观察函数图象随a的取值变化而变化的特征，将图象分为两类，最后归纳概括出指数函数的性质。这对学生的直观想象、分类讨论、归纳整理等能力素养具有一定的要求。教学目标1.借助描点法、信息技术画出一些具体指数函数的图象，从特殊到一般了解指数函数图象的位置、公共点及变化趋势，提升直观想象素养；2.通过对指数函数的图象探索，理解函数性质并掌握指数函数的定义域、值域、单调性、定点，以及不同a值函数的分布特点；3.结合指数函数的概念、图象和性质的研究，进一步体会研究函数的一般思路和方法；4.通过例题、变式初步学会应用指数函数图象和性质解决一些简单的数学问题及实际问题，有助于数学运算素养、数学建模和逻辑推理能力的培养.教学重难点教学重点：指数函数的图象和性质.教学难点：指数函数图象和性质的探究概括及应用.教学过程时间教学环节教学活动2分钟问题1：上节课我们学习了一个新的函数—指数函数，你能复述一下指数函数的概念和指数函数解析式的特征吗？问题2：根据幂函数的学习经验，我们接下来要研究指数函数的什么内容？如何研究？师生活动：教师提出问题，引导学生复习指数函数的概念和解析式的特征，以及指数函数的定义域．学生类比幂函数的学习经验，引出本节课的主题：指数函数的图象和性质，以及研究指数函数的图象和性质的方法.类比已有的学习经验是一个好的方法，引导学生回忆幂函数的学习过程，可知对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象和性质—应用”的过程进行研究．前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质．我们先从具体的指数函数入手.设计意图：通过类比已有的研究函数图象和性质的内容和方法，提出研究指数函数的图象和性质的研究内容和方法．问题3：如图，某城市人口呈指数增长.(1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；(2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？师生活动：教师分析实例问题，询问学生如何解答？根据当前所学知识无法解决，因此引导学生若要解决该问题需要研究指数函数的图象与性质.如何去描绘指数函数的图象？观察图象有何特征？设计意图：通过实际应用问题为导向，引出本节课所要研究的内容.首先先画出指数函数的图象，再借助图象研究指数函数的性质.分钟活动1：我们先从简单的函数y=2x入手．请同学们画出指数函数师生活动：从简单的函数y=2x入手，教师引导学生分析函数的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性．由概念知定义域为R设计意图：教师示范引导学生作图，强化作图方法步骤，培养学生的动手能力，体会数形结合思想.y=2xy=()x定义域RR值域单调性增函数减函数师生活动：教师布置任务，学生可选择不同的方法画图，观察图象，探究函数的性质.设计意图：选取不同底数的具体指数函数画图，得到不同的函数图象，进一步观察函数的特征.问题4：你是如何画出函数y=师生活动：教师询问学生作图的方法，学生反馈自己用的是描点法,还是利用了函数之间的对称性.y=()x=2x,点(x，y)与点(x，y)关于y轴对称，所以函数y=2x图象上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P1(x,y)都在函数y=()x的图象上，反之亦然．根据这种对称性，可以利用函数y=2x的图象，画出y=()x的图象.并将此结论推广：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，所以利用这种对称性，可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象.设计意图：根据函数的解析式先初步分析函数的性质，再选择合适的点，利用描点法画出函数的图象，然后由图象概括出函数的性质.这是研究具体函数的过程,让学生观察两个具体的指数函数的图象，对指数函数的图象和性质有一个初步的认知．学生在作图的过程中得出结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．活动3：画出指数函数y=3x和y=4x的图象，分析它们的性质．师生活动：学生动手操作，观察分析，师生共同参与，教师指导学生先研究底数a>1的情况，可追问学生在底数a>1的范围内是否还需要进一步分类，为什么？引导学生还是要从具体的指数函数进行研究，画出y=3x和y=4x的图象，观察图象，分析它们的性质，并与函数y=2x的图象进行比对，寻找它们的共同特征.y=ax(a>1)的值域与性质.活动4：画出指数函数y=()x和y=()x的图象，并分析它们的性质.根据对称性，学生在画出指数函数y=3x和y=4x的图象的基础上，画出指数函数y=3x和y=4x的图象，寻找它们的共性，概括y=ax(0<a<1)的值域和性质.设计意图：再研究了y=2x和y=2x这一对函数之后，再研究具有类似对称关系的其他几对函数，概括它们的共同特征．通过选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，寻找它们的共性，概括出指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)的性质.活动5：观察以上这些图象的位置、公共点和变化趋势，你能寻找它们的共性？师生活动：教师将以上函数的图象放置于同一直角坐标系内，引导学生小组讨论，合作交流，观察图象，探究性质，归纳指数函数的性质，并请小组代表发言，师生互动总结.（1）这些函数的图象都过点(0，1).（2）函数的定义域都是R，值域都是(0,+∞).（3）当0<a<1时，函数图象均呈下降趋势，即函数为减函数；当a>1时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数.8分钟（4）在第一象限内，图象越接近y轴，底数越大；在第二象限内，图象越接近x轴.设计意图：根据学生画出的几个具体函数图象，让学生观察图象，以小组为单位讨论合作，找出它们的共性，培养学生的发散思维，以及小组合作能力.学生归纳出函数图象的共性，符合学生的认知规律，更易于理解指数函数的性质.问题5：你能画出指数函数y=ax的图象的吗？观察取特殊值的指数函数图象以及对称性，我们将指数函数y=ax的图象按底数a的取值，分作a>1和0<a<1两种类型进行研究，为了得到指数函数的性质，我们还需要画出更多具体的指数函数图象进行观察.师生活动：根据这种对称性，我们将指数函数y=ax的图象按底数a的取值，分作a>1和0<a<1两种类型进行研究．让学生学会用联系的观点看待问题.设计意图：引导学生多角度思考问题，体会从特殊到一般的研究方法，培养学生的分类讨论思想.问题6：这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？师生活动：借助信息技术，教师利用几何画板作出指数函数图象，并对指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)中的底数a进行任意取值，追踪函数图象的变化．学生通过观察大量指数函数的图象，归纳的函数的性质.设计意图：画出几个特殊函数的图象，观察这几个函数的图象来讨论函数的性质．这会带来一系列问题：为什么这几个函数的图象就可以代表一般的指数函数的图象？由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数a分为a>1和活动6：请同学们归纳概括指数函数的性质，并完成下表.师生活动：学生从几何和代数两个角度描述函数的性质，将函数的图像特征转化为函数性质，展示其发现的指数函数的性质，师生共同归纳整理函数的性质，完成下表.设计意图：教师指导学生根据图象归纳概括函数的性质．学生根据函数的图象，归纳其范围、公共点、增减性等共性，概括指数函数的定义域、值域、定点和单调性．在这个过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”.15分钟答案：(1)<师生活动：教师示范(1)问的解答过程，(2)、(3)问学生自己动手做，(3)问学生做起来会有些困难，因此引导学生回忆比较大小的方法，其中的找中间量方法，教师示范(3)的解题过程.设计意图：前两道可以利用指数函数的单调性比较大小，最后一个需借助中间量比较大小，教师先示范，学生再自己动手做，对指数函数的性质应用有初步的认知.结论：①底数相同，指数不同时利用指数函数的单调性判断；②底数不同，指数不同时常通过中间量“1”比较大小关系变式11：比较下列各题中两个值的大小：答案：(1)>变式12：答案：D师生活动：学生自己动手做，并请同学分享答案，借用多媒体将学生答案投影，结合学生做的情况进行评价，做得好的同学给予肯定表扬，同时指出解题中存在问题.设计意图：变式练习让学生进一步加深对指数函数性质的应用，也可以反映出学生对指数函数性质应用的初步掌握情况，同时规范学生的解答过程，体会数形结合的思想.例2：如图，某城市人口呈指数增长.(1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；(2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？解：(1)观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.师生活动：初步认识指数函数的图象与性质后，应用于实际问题中，与开篇提出的问题首尾呼应.教师引导学生完成该题，让学生观察图象，学会从图象中提取数据，利用函数性质回答问题.1分钟设计意图：指数函数的图象与性质再进一步的巩固应用，利用指数函数的图象、性质来解决实际应用问题，培养学生的数形结合思想，与开篇提出的问题首尾呼应.课堂小结：教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题.（1）在本节课，你学习了哪