一元一次方程的应用（问题解决策略直观分析）（导学案）数学北师大版2024七年级上册

5.3一元一次方程的应用（问题解决策略：直观分析）（导学案）（解析版）1.教学目标(1)进一步经历借助直观图形分析复杂数量关系、建立方程模型解决问题的过程，体会直观图表在分析问题中的价值，发展几何直观。(2)积累利用直观分析策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。(3)通过销售问题，体会解决问题的基本思路，进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功。重点：培养借助图表直观分析问题中数量关系的能力，提高利用一元一次方程解决实际问题的能力。难点：借助图表分析较复杂问题中的数量关系。第一环节自主学习温故知新：复习：在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰。实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略。新知自研：自研课本151152页的内容【学法指导】自研课本P151152页内容，思考：（一）借助图表直观分析问题问题：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？【理解问题】1.这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？每件服装的成本价、标价、售价、利润，利润是已知量，成本价、标价和售价是未知量。2.你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？服装的成本价提价后等于标价，标价再打折后等于售价，售价与成本价的差等于利润。3.采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？可以借助图表来表示它们之间的关系。【拟订计划】1.想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？鼓励学生根据自己对“打折销售”全过程的理解，画出个性化的示意图，然后组织学生进行分享、交流、完善。2.根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？成本价×（1+40%）=标价，标价×80%=售价，售价成本价=利润。3.设这种服装每件的成本为x元，你能用含x的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？设这种服装每件的成本为元，则提价=40%，标价=(1+40%），售价=（1+40%）x·80%，利润=（1+40%）·80%。根据不同的等量关系可列出不同的方程。【实施计划】在直观分析的基础上，选择一个量，用不同的代数式表示这个量，根据相应的等量关系列出方程，解方程就可以求得问题的解。设这种服装每件的成本为元。1.选择利润，根据等量关系“利润=售价一成本价”，可列出方程什么方程？2.选择成本价，根据等量关系“成本价=售价一利润”，可列出什么方程?3.选择标价，根据等量关系“标价=售价←折扣”，可列出什么方程?4.选择售价，根据等量关系“售价=成本价+利润”，可列出什么方程?【回顾反思】1.你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？与同伴交流不同示意图的优缺点。让学生自主回答。如：2.示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。【自研自探】自研课本156158页例题内容，回答问题：典例分析例1：请用直观分析策略解答下列问题。（1)某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置？【分析】解：画图分析如下：假设四幢宿舍楼分别为点A，B，C，D，超市为点E，四幢宿舍楼到超市的距离之和即为AE+BE+CE+DE。分三种情况讨论：①如图，当点E位于AB上时，AE+BE+CE+DE=AD+BC+2BE,，容易发现此时当BE，最小时，距离之和最短，即当点E位于点B时，距离之和最短为AD+BC。②如图，当点E位于BC上时，AE+BE+CE+DE=AD+BC。③如图，当点E位于CD上时，AE+BE+CE+DE=AD+BC+2CE，容易发现此时当CE最小时，距离之和最短，即当点E位于点C时，距离之和最短为AD+BC。综上，超市应建在线段BC上，即中间两幢宿舍楼连线所构成的线段上。(2)小明和爸爸周末骑自行车去郊外游玩，小明和爸爸分别以10km/h和12km/h的速度沿相同路线骑行，爸爸先骑行了11km，然后立即掉转车头，仍以12km/h速度往回骑（小明仍按原速度向前骑行）直到与小明会合。会合时他们骑行了多长时间？【分析】画图分析数量关系如下：数量关系：小明的路程+爸爸的路程=（2×11）km。设会合时他们骑行了th，可列方程：10t+12t=2×11。解这个方程，得t=1。因此，会合时他们骑行了1h。（3）一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人?【分析】画图分析数量关系如下：将所有同学分成A，B，C，D四部分，答对第一题的有32人，即A+C=32：答对第二题的有27人，即B+C=27：两题都答对的有20人，即C=20，因此A=12，B=7。所以D=4512207=6。因此，两题都答错的有6人。例2.学校新建了一栋大楼，其中用于教学共四层，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?（列一元一次方程解决）(2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率将降低15%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有49名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理先计算出紧急情况下这4道门5分钟可以通过学生数，再计算出全大楼的学生数，进一步比较即可确定答案．答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；（2）建造的这4道门符合安全规定，理由如下：紧急情况下全大楼的学生在5分钟内通过这4道门可以安全撤离，建造的这4道门符合安全规定．第二环节合作探究问题：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？【理解问题】讨论这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？怎样用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？【拟订计划】讨论想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？设这种服装每件的成本为x元，你能用含x的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？【实施计划】讨论设这种服装每件的成本为元，选择利润，根据等量关系“利润=售价成本价”“成本价=售价利润”“标价=售价折扣”“售价=成本价+利润”可列出方程什么方程？【回顾反思】讨论用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？讨论示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。拓展提升：1.某超市搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，购物超过200元而不足500元的，200元的部分不优惠，超过200元的部分按9折优惠，购物超过500元的，500元的部分按9折优惠，超过500元部分按8折优惠，某人第一次购物花了134元，第二次购物花了452元．问：(1)此人两次购物，若无促销活动，物品不打折，则第一次购物应花费______元，第二次购物应花费______元．(2)若此人将两次购物合为一次购物是否更省钱？为什么？（2）此人将两次购物合为一次购物更省钱，理由如下：所以此人将两次购物合为一次购物更省钱．1.五个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么五个人共握多少次手?2.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。(1）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？你是怎样思考的？（2）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，2，1，2，1呢?（3）如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11呢？你是如何解决的？答案：1.将五个人分别看作在一条直线上的五个点，五个人总共握手的次数即为每两点之间不同线段的条数。由图可知不同线段的条数为4+3+2+1=10，所以五个人共握10次手。2.（1）3层;（2）2层或3层；（3）2层。提示：本题可以看成第1题的变式，不同之处在于直线上有重合的点。将每个人分别抽象成直线上的一个点，同一层不同的参会人员表示为直线上重合的点。如果点的总数为（2n+1）个，会议地点就设在第（n+1）个点对应的层数；如果点的总数为2n个，会议地点就设在第n个点或第（n十1）个点对应的层数。1.（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：湖南境内路段广西境内特定路段广西境内其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示）（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．【详解】解：（1）此次行程高速费原价总共为：a+b+c元，实际支付高速费用：0.95a+0+0.5c＝（0.95a+0.5c）元，优惠了a+b+c﹣（0.95a+0.5c）＝（0.05a+b+0.5c）元；解得：x=45.9，故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元．2.（2025•湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是5，b是11；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是n+1，d是n+7；（注：用含n的代数式表示c和d．）活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是11，是3；（4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是n+8（用含n的代数式表示g）．【解答】解：（1）根据题意得：a＝4+1＝5，b＝4