第1章集合（举一反三讲义基础篇）数学苏教版2019

第1章集合（举一反三讲义·基础篇）【苏教版（2019）】题型1题型1集合的概念的理解1．（2425高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（

）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生【答案】A【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误；对于C：π的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；故选：A.2．（2425高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法：①所有接近于0的数构成一个集合；②2019年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④所有不大于3的自然数构成一个集合；⑤1，0.5，32，12组成的集合含有其中正确的是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④【答案】D【解题思路】根据集合的性质逐项分析判断即可.【解答过程】对于①：接近于0的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误；对于②：2019年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确；对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误；对于④：不大于3的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确；对于⑤：因为12故选：D.3．（2425高一上·上海·随堂练习）下列各组对象能组成一个有限集的有.（填序号）（1）小于100的自然数；（2）等腰直角三角形的全体；（3）平面内到坐标原点距离为1的所有点；（4）方程x2（5）高一（1）班喜欢数学的全体同学．【答案】（1）（4）【解题思路】根据有限集的定义逐一可以判断【解答过程】...1），小于100的自然数，可以一一列举，0，1，2，3，...，99，故（1）为有限集；对于（2），等腰直角三角形有无限多个，故（2）不是有限集；对于（3），在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1，所以到坐标原点距离为1的点有无穷多个，故（3）不是有限集；对于（4），x2−1=0的实数根为x=1或对于（5），到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故（5）不是集合；故答案为：（1）（4）.4．（2425高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．(1)所有大于0且小于25的偶数；(2)不等式x−1>0的解集；(3)两条平行直线的交点；(4)古今中外的所有伟大的人．【答案】(1)能组成集合，为有限集；(2)能组成集合，为无限集；(3)能组成集合，为∅；(4)不能组成集合，理由见解析.【解题思路】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型.【解答过程】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集.（2）所给对象确定，能组成集合，为无限集.（3）所给对象确定，能组成集合，为空集.（4）所给对象不确定，不能组成集合.5．（2425高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．(1)我国现在的直辖市；(2)比较小的自然数的全体；(3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体；(4)比2小的质数．【答案】(1)能组成集合，为有限集(2)不能组成集合，因为标准不明确(3)能组成集合，为有限集，其中有2个元素(4)能组成集合，为空集【解题思路】（1）根据集合的定义判断；（2）根据集合的定义判断；（3）根据集合的定义判断；（4）根据集合的定义判断．【解答过程】（1）我国现在的直辖市只有4个，能组成集合，是有限集；（2）“比较小的自然数”这个标准不明确，不能组成集合；（3）数轴上到坐标原点距离是2的点只有2和−2两个，能组成集合，是有限集；（4）没有比2小的质数，因此能组成集合，是空集．题型2题型2判断元素与集合的关系1．（2425高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N∗，④4∈N，⑤A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【解题思路】根据R，Z，N∗，N，Q【解答过程】对于①，因为22为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以2对于②，因为3是无理数，所以3∉Z对于③，因为0不是正整数，所以0∉N对于④，因为4=2∈N对于⑤，因为π是无理数，所以π∉Q对于⑥，因为−2=2∈Z故选：A．2．（2425高一上·四川自贡·开学考试）设集合A=xx>2，则（A．3∉A B．5∈A C．2∈A D．【答案】B【解题思路】利用元素与集合的关系判断得解.【解答过程】集合A=xx>2，则故选：B.3．（2425高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤【答案】2【解题思路】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可.【解答过程】依题意，22∈R，3∉Q，0∈N，因此①④正确，②③⑤⑥错误，所以正确命题的个数是2.故答案为：2.4．（2425高一上·全国·课后作业）设集合A=a,(1)若a=0，求集合A；(2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论．【答案】(1)A=0,1(2)不是，证明见解析.【解题思路】（1）根据题意代入a=0即可得结果；（2）假设成立，分a=4或3−a3+a【解答过程】（1）若a=0，则3−03+0=1∈Z，所以集合（2）4不是集合A中的元素，理由如下：若4∈A，则有a=4或3−a3+a当a=4时，3−43+4当3−a3+a=4时，解得综上所述，4不是集合A中的元素．5．（2425高一上·上海嘉定·阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x−y∈M；③若x∈M且x≠0，则1x(1)判断12(2)证明：若x，y∈M，则x+y∈M；(3)证明：若x∈M，则x2【答案】(1)12(2)证明见解析(3)证明见解析【解题思路】（1）根据集合M的条件，先根据①②得−1∈M，2∈M，进而有③可得；（2）先由①②得−y∈M，进而可得x−−y（3）先证x−1∈M，可得1x∈M，1x−1∈M，进而得【解答过程】（1）12由①知0∈M，1∈M，由②可得0−1=−1∈M，1−−1由③可得12（2）证明：由①知0∈M，由题意y∈M，所以由②可知0−y=−y∈M，又x∈M，所以x−−y（3）证明：x∈M，由②可知x−1∈M，由③可知1x∈M，所以1x−1x−1∈M由（2）结论可知xx−1+x∈M，即x题型3题型3集合的表示1．（2425高一上·全国·随堂练习）集合x∈N*|x−2≤1A．0,1,2,3 B．1,2,3 C．0,1,2,3,4 D．1,2,3,4【答案】B【解题思路】根据题意整理可得集合x∈N【解答过程】由题意可得：集合x∈N故选：B．2．（2425高一上·全国·随堂练习）对集合1,12,A．x|x=1n,n∈C．x|x=1n,n∈【答案】D【解题思路】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得.【解答过程】集合1,1对于AB，集合AB中的x有负数，AB不是；对于C，集合中没有15对于D，满足对集合1,1故选：D.3．（2425高一上·上海·阶段练习）能被3整除余2的自然数组成的集合可以用描述法表示为．【答案】{x|x=3k+2,k∈【解题思路】根据被3整除余2的自然数为3k+2,k∈N【解答过程】由题意，设x被3除的商为k(k∈N)，余数为x可表示为3k+2,k∈N所以被3除余2的自然数组成的集合为{x|x=3k+2,k∈N故答案为：{x|x=3k+2,k∈N4．（2425高一上·上海·随堂练习）用适当的方法表示下列集合：(1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A；(2)被3除余1的所有自然数组成的集合B；(3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合C；(4)不等式−3x+a≤0的解集组成的集合．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【解题思路】（1）利用列举法表示集合A.（2）（3）（4）利用描述法表示给定的集合.【解答过程】（1）用列举法：A=2,4,6（2）用描述法：B=x∣x=3k+1,k∈N（3）用描述法：C={x,y∣x<0且（4）用描述法：{x|x≥a5．（2425高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合：(1)方程xx(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；(3)不等式x−2>6的解构成的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；(5)方程组2x+y=3x−2y=4的解x,y【答案】(1)0,−1(2){x|x=2n+1且x<1000,n∈(3)x|x>8(4)1,2,3,4,5,6(5)2,−1或x,y【解题思路】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可.【解答过程】（1）由xx2+2x+1=0，解得所以方程xx2+2x+1（2）在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合可表示为{x|x=2n+1且x<1000,n∈N}（3）由x−2>6，解得x>8，则不等式x−2>6的解构成的集合可表示为x|x>8；（4）大于0.5且不大于6的自然数有1，2，3，4，5，6，所以大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合可表示为1,2,3,4,5,6；（5）由2x+y=3x−2y=4，解得x=2所以方程组2x+y=3x−2y=4的解x,y构成的集合可表示为2,−1或x,y题型4题型4集合相等问题1．（2425高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（

）A．A=x∈Nx≤2，B=x∈C．A=x|y=x，B=xy=x2x【答案】D【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可.【解答过程】对于A，A=x∈Nx≤2=对于B，A=x,y|y=x为点集，B=x|y=x对于C，A=x|y=x=R，B=对于D，数集A=x|x>0和数集B=y|y>0元素一样，故故选：D.2．（2425高一上·贵州贵阳·期中）已知集合A=1,a,b，B=a2,a,ab，若A=B，则A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解题思路】由集合相等可得元素完全相等，得到a2=1ab=b【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到a2=1ab=b又根据集合互异性，可知a≠1，解得a=1舍去，所以解得a=−1b=0，所以a故选：A.3．（2425高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合A=a,b，B=2a,2a2，且A=B，则集合A=【答案】1【解题思路】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可.【解答过程】因为A=B，当a=2ab=2a2当a=2a2b=2a时，解得a=12所以A=1故答案为：124．（2425高一·全国·课后作业）已知集合A=xx=1+a【答案】A=B【解题思路】由x=1+a2，a∈R，得到x⩾1，然后由y=a2−4a+5=【解答过程】因为x=1+a2，a∈R，所以因为y=a2−4a+5=a−22故A=xx≥1，所以A=B.5．（2425高一上·上海嘉定·阶段练习）已知A=x+1,x2(1)求实数x的取值范围；(2)当A=B时，求实数x的值.【答案】(1)x∈R|x≠2(2)x=3【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果；（2）由集合相等构造方程组即可求得x=3.【解答过程】（1）由A=x+1,x2即x2−x−2≠0，解得x≠2且所以实数x的取值范围为x∈R|x≠2且（2）当A=B时，可得x+1=4x2−1=8当x+1=4x2−1=8时，解得x=3所以x=3.题型5题型5集合间关系的判断1．（2526高一上·全国·课后作业）已知集合P={1,2,3,4},Q=yy=x+1,x∈P，那么集合M={3,4,5}与Q的关系是（A．M⊈Q B．M⫋Q C．Q⫋M D．Q=M【答案】B【解题思路】先得出集合Q，再根据集合的基本关系得出.【解答过程】由题意可得Q=2,3,4,5，故集合M是集合Q故选：B.2．（2425高一上·吉林·阶段练习）已知集合M=xx=2m+13,m∈Z，N=xx=n−23,nA．M=N⫋P B．M⫋N=PC．M⫋N⫋P D．N⫋P⫋M【答案】B【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.【解答过程】由N=x又M=xx=2m+1而2m为偶数，n−1和p为整数，所以M⫋故选：B.3．（2425高一上·上海·课后作业）设集合M=xx=kπ2±π4,k∈Z，N=x【答案】⫋【解题思路】x=kπ2±π4=【解答过程】因为x=k所以集合M=x|x=kπ又因为集合N=x|x=kπ所以M⫋N.故答案为：⫋.4．（2425高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：(1)A=−1,1，B=(2)A=−1,4，B=(3)A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x是等边三角形}.【答案】(1)A⊆B(2)A⊆B(3)B⊆A【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论．【解答过程】（1）A中唯一元素−1,1∈B又∵−1,−1所以A⊆B；（2）∵A=−1,4，A的元素都是B的元素，而B的元素−5不是A的元素，所以A⊆B；（3）∵A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x是等边三角形}，又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形；所以B⊆A.5．（2425高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系：(1)M=1，N=(2)M=x∣x=3k,k∈Z，N=(3)M={x∣x=2n−1,n为正整数}，N={x∣x=2n+1，n为正整数}．【答案】(1)M⫋N(2)N⫋M(3)N⫋M【解题思路】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例2∈N,2∉M即可求解；（2）根据已知条件，结合子集的定义，理解6的倍数一定是3的倍数，3的倍数不一定是6的倍数，即可求解；（3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解．【解答过程】（1）解：M={1}的唯一元素1∈N，又∵2∈N,2∉M，∴M⫋N；（2）解：∵M=x∣x=3k,k∈Z，N=∴M=⋯,−12,−9,−6,−3,0,3,6,9,12,⋯，N=∴6的倍数一定是3的倍数，3的倍数不一定是6的倍数，例如：∵3∈M,3∉N，∴N⫋M；（3）解：∴M={x∣x=2n−1,n为正整数}={正奇数}，N={x∣x=2n+1，n为正整数}={不小于3的正奇数}，∴N⫋M．题型6题型6交集、并集、补集运算1．（2425高一上·云南·阶段练习）若集合M={x|−1<x<2}，N=x2x≥1，则M∩N=（A．{x|−1<x} B．{x|−1<x<2}C．{x|12≤x<2}【答案】C【解题思路】先求集合N，由集合的交集运算即可求解.【解答过程】由2x≥1⇒x≥12所以M∩N=x故选：C.2．（2425高一上·北京·阶段练习）已知集合M=xx−1≥0，N=xx>2A．xx≥1 B．xx>2或x<−2 C．xx>1或x<−2 D．【答案】D【解题思路】先求出集合M,N，再根据并集的定义求解即可.【解答过程】由M=xx−1≥0=xx≥1则M∪N=xx≥1或故选：D.3．（2425高一上·天津北辰·阶段练习）已知集合A=1,2a，B=a,b，若A∩B=18【答案】1,【解题思路】根据交集的定义求得a,b，然后利用并集的定义求出答案．【解答过程】集合A=1,2a若A∩B=18，则2a=1∴A=1,18∴A∪B=1,故答案为：1,14．（2425高一上·浙江杭州·期中）已知集合U=0,+(1)若a=3，求A∪B，∁U(2)若B⊆A，求a的取值范围.【答案】(1)A∪B=x−2<x<6，∁(2)a≤【解题思路】（1）根据集合并集以及补集的定义求解即可；（2）分B=∅和B≠∅求解即可.【解答过程】（1）若a=3，则B=x所以A∪B=x−2<x<6，∁U（2）若B⊆A，①当B=∅时，a−1≥2a，解得a≤−1；②当B≠∅时，a−1<2aa−1≥−22a≤3，解得综上，a≤3所以a的取值范围为a≤35．（2425高一上·湖南邵阳·阶段练习）设全集U=1,2,3,4,5,6,7,8(1)求A∪B,A∩B,∁(2)求∁U【答案】(1)答案见解析(2)∁UA={4,5,6,7,8}【解题思路】（1）根据集合的交并补运算定义计算即得；（1）根据集合的补集定义计算即得.【解答过程】（1）由题意，A∪B=1,2,3A∩B=1,2,3∁UA∪B=（2）∁UA={4,5,6,7,8}；题型7题型7Venn图的应用1．（2425高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集U={−2,−1,3,4,5}，集合A={−1,3,5},B={−2,5}，则图中阴影部分表示的集合是（

）A．{−2,−1,3,5} B．{−2,5} C．{5} D．{−2}【答案】D【解题思路】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是B∩∁【解答过程】由图知阴影部分表示的集合是B∩∁因U={−2,−1,3,4,5}，A={−1,3,5},B={−2,5}，则∁UA={−2,4}，故故选：D.2．（2425高二上·湖南·阶段练习）图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示∁UA∩A．

B．

C．

D．

【答案】C【解题思路】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解.【解答过程】对于A，图中阴影部分表示A∩B，故A错误；对于B，图中阴影部分表示∁A∪B对于C，图中阴影部分表示∁U对于D，图中阴影部分表示