重难点培优03条件概率与全概率公式（复习讲义）

重难点培优03条件概率与全概率公式目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 3题型一事件的相互独立性（★★） 3题型二条件概率（★★★） 9题型三全概率公式（★★★） 14题型四贝叶斯公式（★★★） 1803实战检测・分层突破验成效 23检测Ⅰ组重难知识巩固 23检测Ⅱ组创新能力提升 321.条件概率1．条件概率的概念条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．2．概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式．3．条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)设eq\o(B,\s\up6(－))和B互为对立事件，则P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))＝1－P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念（2）概率的乘法公式（3）相互独立事件的性质如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广2.事件的独立性三、全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))P(Ai)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)).我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．四、贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为先验概率和后验概率．题型一事件的相互独立性【技巧通法·提分快招】1.判断事件是否相互独立的方法（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件之间是相互独立的．（2）求出每个事件的概率，再求积．注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．1．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率.故选：A2．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17【答案】B【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、独立事件概率的概念逐项判断；故选：B.3．（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为．【答案】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得出都取到红球的概率；根据条件概率公式计算可得两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率.【详解】设事件表示“从甲袋中取到红球”，事件表示“从乙袋中取到红球”，因为从甲、乙两袋中取球相互独立，所以“都取到红球”即与同时发生，设事件表示“两球颜色不同”，事件表示“乙袋中取出黄球”.“两球颜色不同且乙袋中取出黄球”即“甲红乙黄”，故答案为：；.4．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是.【答案】.【分析】（1）利用独立事件概率公式，即可求解（2）根据题意求出的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解.则的分布列为：01235．（2025·天津河西·二模）已知甲袋中装有个红球，个白球；乙袋中装有个红球，个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若两个球同色，则将取出的两个球全部放入甲袋中；若两个球不同色，则将取出的两个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有个小球的条件下，当时从甲袋中取出的是红球的概率是；按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有个小球的概率是.【答案】【详解】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球，根据题意，若乙袋中恰有个小球，则两次操作后，取出的两球是同色的，有种情况：故答案为：；.6．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.【答案】【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解.设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件，综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.故答案为：.7．（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为.【答案】/【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解.设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件，该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为.故答案为：，.【答案】【分析】应用古典概率求法求从第1个盒子中取到白球的概率，再应用独立乘法公式和互斥事件加法求从第3个盒子中取到白球的概率.【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是，当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球，从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为，从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为，从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为，从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为，故答案为：；题型二条件概率【技巧通法·提分快招】1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．2.求条件概率的两种方法1．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率.【答案】【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可.【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为，记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3”记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”，则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3，可由如下步骤实线事件AB，第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况，第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况，故答案为：，2．（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为．【答案】//【分析】利用组合数，结合古典概型，并结合条件概率的定义计算即可.甲选购的饮品中包含“林林清风”的方案：固定“林林清风”被选中，条件：甲已选购包含“林林清风”的3款饮品（记作集合，其中必含“林林清风”），要求甲、乙所选饮品集合的交集大小恰好为1（即恰有1款相同）；故答案为：；.3．（2025·天津·一模）某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为．【答案】【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解.设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件,事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况，故答案为：；.4．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为．【答案】【详解】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，5．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为.【答案】【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解.【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件，②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件，故答案为：①；②.6．（2025·天津滨海新·三模）某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率．【答案】【分析】根据古典概型的概率公式及组合学公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，即可求解第二空.故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为；故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为.故答案为：；.7．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是．【答案】/【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率.【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜，事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜，故答案为：，8．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为.【答案】【分析】设出事件，利用条件概率公式计算出概率，再利用全概率公式计算出从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，取到一张红色卡片的概率.【详解】设从甲盒中取出2张卡片中有一张是红色卡片为事件A，从甲盒中取出2张卡片中有一张是白色卡片为事件B，故从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为故答案为：，题型三全概率公式【技巧通法·提分快招】1．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为.【答案】/0.25/0.125【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案.记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”，故答案为：；【详解】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，【答案】0.820.398【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可.故答案为：0.82；0.398.4．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是.【答案】/【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得.【详解】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件，故答案为：.5．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为.【答案】故答案为：；.6．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则；．7．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为．【详解】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，若规定三名同学都回答这个问题，若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，故答案为：；．8．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.【答案】【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率.【详解】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”，设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则故答案为：①，②.题型四判断线性相关的强弱【技巧通法·提分快招】1.利用贝叶斯公式求概率的步骤【分析】根据题意，由乘法公式即可求得该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率；再利用贝叶斯公式即可求得某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率.设事件表示检验结果为阳性，所以某烟民的检验结果为阳性的概率为：所以某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率为2．（2024·天津·模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是．【答案】/0.4【分析】利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率.【详解】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.故答案为：；3．（2025·天津南开·模拟预测）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示.则甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，甲担当前卫的概率为.场上位置边锋前卫中场出场率0.20.50.3球队胜率0.50.60.8【答案】故答案为：.【答案】【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶斯公式即可求解.【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试，由全概率公式可得：由贝叶斯公式可得：故答案为：；5．（2025·天津·模拟预测）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为．【答案】0.16【分析】根据贝叶斯公式和全概率公式求解即可.6．（2025·天津滨海新·联考）有三个笼子，里面分别放有两只雄兔一只雌兔、两只雄兔两只雌兔、以及三只雌兔.如果在从一个笼子里拿出一只雄兔之后，那么再从这个笼子里取出雄兔的概率为.【答案】【分析】由贝叶斯公式与全概率公式求解，故答案为：7．（2025·天津·模拟预测）书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件概率公式可求出结果.【详解】设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书，故选：D8．（2025·天津·联考）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是．【答案】0.4/0.3/【分析】合理设出事件，利用全概率计算出这个人迟到的概率，用贝叶斯概率公式计算出如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率.【详解】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：故答案为：0.4；0.3检测Ⅰ组重难知识巩固【答案】30事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术”故答案为：30；.2．（2025·天津河东·二模）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为.【答案】【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解.记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位，故答案为：；.【答案】【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望.【详解】设“第一次取到黑球”为事件，“第二次取到白球”为事件.随机取出个球，取出的球中白球的个数可能取值为，，.故答案为：；.4．（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为；3次结果中最多一次正面向上的概率为.【答案】//【分析】借助概率的乘法公式计算即可得.【详解】设为所抛掷三枚硬币正面向上的枚数，事件为3次结果中有正面向上，也有反面向上，事件为3次结果中最多一次正面向上，故答案为：；.5．（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8.已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为，第三天不玩手机的概率为.【答案】0.30.55【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天不玩手机概率即可.【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，故答案为：；【答案】/【分析】分别求出事件，事件和事件同时发生的概率，再由条件概率的公式计算即可.【详解】抛掷白、黑两颗骰子，事件总数为，事件的基本事件数为，故答案为：，.7．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率．【答案】【详解】设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”，设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，8．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为.（结果均以既约分数表示）【答案】【分析】借助概率乘法公式与全概率公式计算即可得.设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D，所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为.故答案为：；.【答案】【分析】利用古典概率公式求出，利用条件概率公式求出即可.设事件表示“在第1,2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”，故答案为：.【答案】【详解】由题意可知：事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况，故答案为：；.11．（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束.在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立.现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为.【答案】【分析】直接用古典概型方法即可求解第一空；使用条件概率定义，结合古典概型方法即可求解第二空.【详解】若甲同学比赛三局获胜，则有两种可能：甲同学第一局和第三局获胜，第二局未获胜；或甲同学第二局和第三局获胜，第一局未获胜.而若比赛四局且未分出胜负，则甲、乙两人各自都最多获胜一局，从而两人的获胜数量总共有四种可能：都是零次，甲一次乙零次，甲零次乙一次，甲一次乙一次.它们对应的具体局数又分别有1，4，4，12种选取方式，据此可得故答案为：，.【答案】//【分析】根据古典概型结合对立事件的概率即可求出第一空，利用条件概率公式即可求出第二空.故答案为：；.13．（2024·全国·模拟预测）某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为．【答案】54/【分析】利用分组分配的方法，计算求值；利用样本空间的方法，求条件概率.【详解】由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2．若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件A，将“高二学年结束后就修完所有选修课程”记为事件B．根据题意，满足事件A的所有选课情况共4种情况，其中包含高二选修完或高三选修完其他2门，或是高二，高三各选1门，共4种情况，故答案为：54；14．（2024·天津·二模）两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为．【答案】/0.42/【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空.故答案为：；15．（2024·天津·一模）甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为.【答案】【分析】利用条件概率公式摸出的2个球是白球的概率；利用全概率公式求红球的概率.【详解】记事件表示“抽出的2个球中有白球”，事件表示“两个都是白球”，即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为；即抽到红球的概率是.故答案为：；检测Ⅱ组创新能力提升1．（2024·天津·一模）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为85%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.【分析】借助独立重复事件的概率公式与全概率公式计算即可得.【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为：在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为：2．（2024·天津南开·一模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为，第二次抽到3号球的概率为【答案】/0.5记第二次抽到3号球为事件，所以第二次抽到3号球的概率为.故答案为：；.3．（2024