（人教A版）必修第二册高一数学下册期末复习训练专题14 随机抽样（解析版）

体系搭建体系搭建1．简单随机抽样的概念：一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.2．简单随机抽样的特点：(1)被抽取样本的总体个数N是有限的；(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；(3)从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；(4)它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性；(5)每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性.3．实施抽样的方法：(1)抽签法：抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便，若标号的纸片或小球搅拌得不均匀还可能导致抽样的不公平.抽签法的一般步骤：①将总体中的N个个体编号；②把这N个号码写在形状、大小相同的号签上；③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；④从箱中每次抽取一个号签，连续抽取n次；⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的n个个体取出.(2)随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性.随机数表法的步骤：将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；②在随机数表中任选一个数字作为开始；③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的数码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止.注意：①选定开始数字，要保证所选数字的随机性；②确定读数方向获取样本号码时，读数方向可向左、向右、向上、向下，样本号码不能重复，否则舍去.4．分层抽样的概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.（1）．分层抽样的特点：(1)适用于总体是由有明显差别的几部分组成时的情况；(2)分层抽样对各个个体来说被抽取的可能性相同.（2）．分层抽样的优点：(1)样本具有较强的代表性；(2)在各层抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法.（3）．层抽样的步骤：(1)将总体按一定的标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(各层可以按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)例题分析例题分析考点1简单随机抽样的理解【例1】（多选）．下面抽样方法不属于简单随机抽样的是（）A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B．某饮料公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查 C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动 D．从10台手机中逐个不放回地随机抽取2台进行质量检验（假设10台手机已编号，对编号进行随机抽取）解：对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个数有限不相符，故A错误，对于B，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的要求，故B错误，对于C，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C错误，对于D，符合简单随机抽样的要求．故选：ABC．变式训练【变1-1】．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．， B．， C．， D．，解：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，∵总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为，故选：A．【变1-2】．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．解设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P（A）＝，①第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P（A）＝，②由①②两式，得＝，解得n＝1500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只．考点2抽签法与随机数法【例2】．从总体{1，3，8}中抽取一个容量为2的样本，所有可能的样本是{1，3}，{1，8}，{3，8}．解：从总体{1，3，8}中抽取一个容量为2的样本，所有可能的样本是{1，3}，{1，8}，{3，8}，故答案为：{1，3}，{1，8}，{3，8}．变式训练【变2-1】（多选）．已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号不正确的是（）A．1，2，…，106 B．01，…，105 C．00，01，…，105 D．000，001，…，105解：总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，应该有106个编号，选项A，C，D都是106个编号，选项B只有105个编号，因为总数大于100，所以编号应为3位数，故ABC均不正确，D正确．故选：ABC．【变2-2】．用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①制签；②抽签；③将签匀；④编号；⑤将抽取的号码对应的个体取出，组成样本．这些步骤的正确顺序为④①③②⑤解：利用抽签法第一步要进行编号，然后制签，然后做放入容器将签匀，然后抽签，最后将抽取的号码对应的个体取出，组成样本，故这些步骤的先后顺序应为：④①③②⑤．故答案为：④①③②⑤．考点3用样本的平均数估计总体的平均数【例3】．某单位需要选派一名职工去参加市工会组织的自行车争先赛，该单位对甲、乙两名骑行爱好者进行了选拔测试，在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s），其数据如表所示：甲263729363430乙322837332735分别求出甲、乙两名骑行爱好者最大速度的数据的平均数、方差，并以此为依据判断选谁参加比赛比较合适．解：甲的最大速度的平均数为：＝（26+37+29+36+34+30）＝32，乙的最大速度的平均数为：＝（32+28+37+33+27+35）＝32，甲的最大速度的方差为：＝[（26﹣32）2+（37﹣32）2+（29﹣32）2+（36﹣32）2+（34﹣32）2+（30﹣32）2]＝，乙的最大速度的方差为：＝[（32﹣32）2+（28﹣32）2+（37﹣32）2+（33﹣32）2+（27﹣32）2+（35﹣32）2]＝，∵＝，＞，∴选乙参加比赛比较合适．变式训练【变3-1】．在某次测量中，甲工厂生产的某产品的A样本数据如下：43，50，45，55，60．若乙工厂生产的该产品的B样本数据恰好是由A样本数据中每个数都增加5后得到，据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为（）A．55.6 B．50.6 C．53.6 D．55解：∵A样本数据为43，50，45，55，60，∴A样本数据均值为＝50.6，∵B样本数据恰好是由A样本数据中每个数都增加5后得到，∴B样本数据均值为，∴估计乙工厂生产的该产品的总体均值为55.6．故选：A．

【变3-2】．某单位开展“党员在线学习”活动，统计某党员7月份学习得分情况，下表是随机抽取该党员七天学习得分情况：日期7月2日7月6日7月13日7月15日7月16日7月19日7月21日得分35261520302517则所抽取的样本（七天学习得分）的均值为24；据此，可以估计该党员7月份学习得分的均值为24．解：所抽取的样本的均值为，据此，可以估计该党员7月份7学习得分的均值为24，故答案为：24；24．考点4分层抽样【例4】．某桔子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行调查，如果所抽山地是平地的2倍多1亩，则这个桔子园的平地与山地的亩数分别为（）A．45，75 B．40，80 C．36，84 D．30，90解：∵抽取10亩进行调查，所抽山地是平地的2倍多1亩，∴所抽山地是7亩，平地是3亩，比例为7：3∵某桔子园有平地和山地共120亩，∴山地是120×＝84亩，平地是120×＝36亩，故选：C．变式训练【变4-1】．某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a：b：c＝2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）A．6人 B．12人 C．18人 D．24人解：根据题意可知样本中参与跑步的人数为100×＝40人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取的人数为40×＝12人．故选：B．【变4-2】．我国古代数学算经十书之一《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人．凡三乡，发役五百人，则北乡遣180人．解：由题意，抽样的比例为＝，∴北乡应抽取8100×＝180人，故答案为：180．考点5分层抽样中的总体平均数和样本平均数【例5】．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差．（精确到0.1）解：把甲同学抽取的样本平均数记为，方差记为sx2，把乙同学抽取的样本平均数记为，方差记为sy2，把合在一起的样本平均数记为，方差记为s2，则＝≈5.4，s2＝＝≈12.4，即样本平均数为5.4，方差为12.4．变式训练【变5-1】．分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为6．解：总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为＝6．故答案为：6．【变5-2】．某校为了解高一年学生的每周平均运动时间（单位：小时），采用样本量比例分配的分层随机抽样调查，所得样本数据如表：性别抽样人数样本平均数男2412女1610则总样本平均数是11.2．解：总样本平均数是：＝（24×12+16×10）＝11.2．故答案为：11.2．1．一段高速公路有400个太阳能标志灯，其中进口的有40个，联合研制的有100个，国产的有260个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，则进口的标志灯抽取的数量为（）A．2 B．3 C．5 D．13解：根据分层抽样原则知：进口的标志灯应抽取的数量为．故选：A．2．某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件进行检验，对这500件产品进行编号001，002，…，500，从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为（）283931258395952472328995721628843660107343667575943661184479514096949592601749514068751632414782A．447 B．366 C．140 D．118解：从第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，依次可得：366，010，118，447，…．故选：A．3．已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）A．150，15 B．150，20 C．200，15 D．200，20解：由图1得样本容量为（350+200+450）×15%＝1000×15%＝150，抽取贫困户的户数为200×15%＝30户，则抽取C村贫困户的户数为30×0.5＝15户．故选：A．4．某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝（）A．48 B．72 C．60 D．120解：由题意可知：分层抽样按照n：3000的比例进行抽取，则高中生抽取的人数为：；初中生抽取的人数为：；因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则，解得n＝120．故选：D．5．现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3．（下面摘取了附表1的第8行与第9行）6301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（）A．719 B．556 C．512 D．050解：规定从选定的数3开始向右读，符合题意的编号依次为，378，591，695，556，050，•••，故得到的第5个样本的编号为050．故选：D．6．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、图2所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取6%的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为（）A．210，24 B．210，27 C．252，24 D．252，27解：根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为（1000+800+1000+1400）×6%＝252，A区抽取的食品摊位数为1000×6%×0.45＝27．故选：D．7．高一某班级有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从中抽取10人，抽出的男生的平均高为175cm，抽出的女生的平均身高为165cm，则估计该班缓所有学生的平均身高为（）A．172cm B．171cm C．170cm D．169cm解：该班所有学生的平均身高满足cm．故选：B．8．某病毒实验室成功分离培养出贝塔病毒60株、德尔塔病毒20株、奥密克戎病毒40株，现要采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为30的样本，则奥密克戎病毒应抽取（）A．10株 B．15株 C．20株 D．25株解：由题意得病毒总数为60+20+40＝120株，所以奥密克戎病毒应抽取株．故选：A．（多选）9．某运动队由足球运动员12人，篮球运动员18人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量n的取值不可能是（）A．24 B．20 C．6 D．5解：总体容量6+12+18＝36，则采用分层抽样的比例是，分层抽样乒乓球运动员人数为×6＝，篮球运动员人数为×18＝，足球运动员人数为×12＝，可知n应为6的倍数，36的约数，结合选项可知，样本量n的取值不可能是20，5．故选：BD．（多选）10．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（）322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．328 B．457 C．253 D．007解：从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，故得到的前4个编号中的是253，313，457，007．故选：BCD．11．某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，已知男生比女生少抽了10人，则该年级的女生人数是360．解：设样本中女生人数为x，则样本中男生人数为x﹣10，由题意可知，x+x﹣10＝50，解得x＝30，故该年级的女生人数是．故答案为：360．12．某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为5：3，现用分层抽样的方法抽出一个样本，已知样本中甲种产品比乙种产品多6件，则甲种产品被抽取的件数为15．解：甲种产品被抽取的件数为x，乙种产品被抽取的件数为x﹣6，∵某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为5：3，∴x：（x﹣6）＝5：3，解得x＝15，故答案为：15．13．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字作为所选球的编号，则选出来的第4个红色球的编号为16．49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676解：由题意，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字中小于34的编号为：21，32，05，16，则选出来的第4个红色球的编号为16．故答案为：16．14．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．某校高三年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、地理”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200，320，280．现采用分层抽样的方法从上述学生中选出40位学生进行调查，则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是10．解：由已知可得抽取比例为，则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是200×人，故答案为：10．15．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；（3）在[450，500），[500，550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．解：（1）依题意，50×（m+0.0040+0.0050+0.0066+0.0016+0.0008）＝1，解得m＝0.0020．（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t．因为前2组的频率之和为（0.0020+0.0040）×50＝0.3＜0.5，前3组的频率之和为（0.0020+0.0040+0.0050）×50＝0.55＞0.5，所以350＜t＜400，由0.3+0.0050×（t﹣350）＝0.5，得t＝390．所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．（3）在[450，500）内抽取人，记为a，b，c，d，在[500，550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率．16．某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表：第一车间第二车间第三车间女工170120y男工180xz已知在全