山东烟台二模数学试卷及答案

山东烟台二模数学试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)答案：C解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，\(x^2ax+a1=0\)可化为\((x1)[x(a1)]=0\)，则\(x=1\)或\(x=a1\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)，当\(a1=1\)时，\(a=2\)；当\(a1=2\)时，\(a=3\)，所以\(a=2\)或\(3\)。2.若复数\(z=\frac{1+i}{1i}+m(1i)\)（\(i\)为虚数单位）为纯虚数，则实数\(m\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A解析：先化简\(z\)，\(\frac{1+i}{1i}=\frac{(1+i)^2}{(1i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=i\)，则\(z=i+mmi=(m)+(1m)i\)。因为\(z\)为纯虚数，所以实部\(m=0\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,4)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\)（）A.\(10\)B.\(6\)C.\(0\)D.\(6\)答案：A解析：因为\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，根据向量平行的坐标关系，\(1\times(4)2x=0\)，解得\(x=2\)，所以\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times(2)+2\times(4)=28=10\)。4.已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)\)的值为（）A.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)D.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)答案：B解析：已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，根据\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\sqrt{1\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}\)。再根据两角和的余弦公式\(\cos(A+B)=\cosA\cosB\sinA\sinB\)，\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{4}{5}\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)。5.函数\(y=x\ln|x|\)的图象大致是（）答案：A解析：函数\(y=x\ln|x|\)的定义域为\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，且\(f(x)=(x)\ln|x|=x\ln|x|=f(x)\)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D。当\(x\gt0\)时，\(y=x\lnx\)，对其求导\(y^\prime=\lnx+1\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=\frac{1}{e}\)，当\(0\ltx\lt\frac{1}{e}\)时，\(y^\prime\lt0\)，函数递减；当\(x\gt\frac{1}{e}\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数递增，所以选A。6.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则该双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：A解析：双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)。又因为\(c^2=a^2+b^2\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}=\frac{5}{4}\)。7.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_5+a_7=24\)，则\(S_9=\)（）A.\(36\)B.\(72\)C.\(144\)D.\(288\)答案：B解析：因为\(\{a_n\}\)是等差数列，\(a_3+a_5+a_7=3a_5=24\)，所以\(a_5=8\)。根据等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，则\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}\)，又因为在等差数列中有\(a_1+a_9=2a_5\)，所以\(S_9=\frac{9\times2a_5}{2}=9a_5=9\times8=72\)。8.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的最小正周期为\(\pi\)，且图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位后得到函数\(g(x)=\cos\omegax\)的图象，则\(\varphi=\)（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{6}\)D.\(\frac{\pi}{3}\)答案：A解析：因为\(y=f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，所以\(\omega=2\)，则\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)。将\(f(x)\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位后得到\(g(x)=\sin\left[2(x+\frac{\pi}{6})+\varphi\right]=\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\varphi)\)，又\(g(x)=\cos2x=\sin(2x+\frac{\pi}{2})\)，所以\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\inZ\)，因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.若随机变量\(X\simN(0,1)\)，则\(P(X\gt1)=P(X\lt1)\)B.若随机变量\(X\simB(6,\frac{1}{3})\)，则\(D(2X+1)=8\)C.从\(10\)名男生，\(5\)名女生中选取\(4\)人，则其中至少有一名女生的概率为\(1\frac{C_{10}^4}{C_{15}^4}\)D.已知回归直线\(\hat{y}=0.5x1\)，则当\(x=2\)时，变量\(y\)的预测值为\(0\)答案：ACD解析：选项A：因为随机变量\(X\simN(0,1)\)，正态曲线关于\(x=0\)对称，所以\(P(X\gt1)=P(X\lt1)\)，A正确。选项B：若\(X\simB(6,\frac{1}{3})\)，则\(D(X)=6\times\frac{1}{3}\times(1\frac{1}{3})=\frac{4}{3}\)，那么\(D(2X+1)=2^2D(X)=4\times\frac{4}{3}=\frac{16}{3}\neq8\)，B错误。选项C：“至少有一名女生”的对立事件是“没有女生”，从\(15\)人中选\(4\)人，没有女生即从\(10\)名男生中选\(4\)人，所以至少有一名女生的概率为\(1\frac{C_{10}^4}{C_{15}^4}\)，C正确。选项D：当\(x=2\)时，代入回归直线\(\hat{y}=0.5x1\)，得\(\hat{y}=0.5\times21=0\)，D正确。10.已知正方体\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(1\)，则（）A.直线\(BC_1\)与\(DD_1\)所成的角为\(45^{\circ}\)B.直线\(BC_1\)与平面\(ABCD\)所成的角为\(60^{\circ}\)C.点\(C_1\)到平面\(ABC_1D_1\)的距离为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.平面\(ABC_1D_1\)截正方体所得的截面面积为\(\sqrt{2}\)答案：ACD解析：选项A：因为\(DD_1\parallelCC_1\)，所以\(\angleBC_1C\)就是直线\(BC_1\)与\(DD_1\)所成的角，在\(Rt\triangleBC_1C\)中，\(BC=CC_1=1\)，则\(\angleBC_1C=45^{\circ}\)，A正确。选项B：直线\(BC_1\)与平面\(ABCD\)所成的角为\(\angleC_1BC\)，在\(Rt\triangleBC_1C\)中，\(\tan\angleC_1BC=1\)，所以\(\angleC_1BC=45^{\circ}\)，B错误。选项C：连接\(B_1C\)交\(BC_1\)于\(O\)，易知\(B_1C\perpBC_1\)，\(B_1C\perpAB\)，\(AB\capBC_1=B\)，所以\(B_1C\perp\)平面\(ABC_1D_1\)，则点\(C_1\)到平面\(ABC_1D_1\)的距离为\(\frac{1}{2}B_1C=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，C正确。选项D：平面\(ABC_1D_1\)截正方体所得的截面为矩形\(ABC_1D_1\)，\(AB=1\)，\(BC_1=\sqrt{2}\)，所以截面面积为\(\sqrt{2}\)，D正确。11.已知函数\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，则（）A.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称C.\(f(x)\)在\([\frac{\pi}{6},0]\)上单调递增D.\(f(x)\)的图象可由\(y=2\sin2x\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{3}\)个单位得到答案：ABC解析：选项A：根据正弦函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，这里\(\omega=2\)，所以\(T=\pi\)，A正确。选项B：当\(x=\frac{\pi}{12}\)时，\(f(\frac{\pi}{12})=2\sin(2\times\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3})=2\sin\frac{\pi}{2}=2\)，所以\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称，B正确。选项C：令\(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\inZ\)，解得\(\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqslantx\leqslant\frac{\pi}{12}+k\pi,k\inZ\)，当\(k=0\)时，\([\frac{\pi}{6},0]\subseteq[\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]\)，所以\(f(x)\)在\([\frac{\pi}{6},0]\)上单调递增，C正确。选项D：\(y=2\sin2x\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{3}\)个单位得到\(y=2\sin2(x+\frac{\pi}{3})=2\sin(2x+\frac{2\pi}{3})\neqf(x)\)，D错误。12.已知函数\(f(x)=x^33x\)，则（）A.\(f(x)\)是奇函数B.\(f(x)\)在区间\((1,1)\)上单调递增C.\(f(x)\)有\(3\)个零点D.若过点\(P(1,m)\)可作曲线\(y=f(x)\)的三条切线，则\(3\ltm\lt2\)答案：ACD解析：选项A：函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(x)=(x)^33(x)=(x^33x)=f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数，A正确。选项B：对\(f(x)=x^33x\)求导得\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)，当\(1\ltx\lt1\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，所以\(f(x)\)在\((1,1)\)上单调递减，B错误。选项C：令\(f(x)=x^33x=x(x^23)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=\pm\sqrt{3}\)，所以\(f(x)\)有\(3\)个零点，C正确。选项D：设切点为\((x_0,x_0^33x_0)\)，\(f^\prime(x)=3x^23\)，则切线斜率\(k=3x_0^23\)，切线方程为\(y(x_0^33x_0)=(3x_0^23)(xx_0)\)，因为切线过点\(P(1,m)\)，所以\(m(x_0^33x_0)=(3x_0^23)(1x_0)\)，整理得\(2x_0^33x_0^2+m+3=0\)。令\(g(x)=2x^33x^2+m+3\)，\(g^\prime(x)=6x^26x=6x(x1)\)，\(g(x)\)在\((\infty,0)\)，\((1,+\infty)\)上单调递增，在\((0,1)\)上单调递减，\(g(x)\)有三个零点，则\(\begin{cases}g(0)\gt0\\g(1)\lt0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}m+3\gt0\\m+2\lt0\end{cases}\)，解得\(3\ltm\lt2\)，D正确。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若\((x+\frac{a}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)的展开式中各项系数的和为\(2\)，则该展开式中\(x^3\)的系数为______。答案：\(40\)解析：令\(x=1\)，可得\((1+a)(21)^5=2\)，解得\(a=1\)。\((2x\frac{1}{x})^5\)的展开式的通项公式为\(T_{r+1}=C_{5}^r(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^r=(1)^r2^{5r}C_{5}^rx^{52r}\)。\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5=x(2x\frac{1}{x})^5+\frac{1}{x}(2x\frac{1}{x})^5\)，要得到\(x^3\)，当从\(x(2x\frac{1}{x})^5\)中取时，令\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍去）；当从\(\frac{1}{x}(2x\frac{1}{x})^5\)中取时，令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），或者令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)得\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)得\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)得\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），正确是：\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)中\(x^3\)的系数：\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(x^2\)的系数乘以\(x\)加上\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(x^4\)的系数乘以\(\frac{1}{x}\)。\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(T_{r+1}=C_{5}^r(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^r=(1)^r2^{5r}C_{5}^rx^{52r}\)，令\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍去），令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(x^2\)的系数：令\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍去），\(x^4\)的系数：令\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍去），重新来，\((2x\frac{1}{x})^5\)通项\(T_{r+1}=C_{5}^r(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^r=(1)^r2^{5r}C_{5}^rx^{52r}\)，\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)中\(x^3\)系数：\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(x^2\)系数乘以\(x\)与\(x^4\)系数乘以\(\frac{1}{x}\)之和，\(x^2\)：\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍），\(x^4\)：\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍），正确：\((2x\frac{1}{x})^5\)中\(x^2\)：\(52r=2\)，\(r=\frac{3}{2}\)（舍），\(x^4\)：\(52r=4\)，\(r=\frac{1}{2}\)（舍），实际是\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)，\((2x\frac{1}{x})^5\)通项\(T_{r+1}=C_{5}^r(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^r=(1)^r2^{5r}C_{5}^rx^{52r}\)，\(x^3\)系数：\(x\cdot(1)^1\times2^{4}\timesC_{5}^1x^{3}+\frac{1}{x}\cdot(1)^2\times2^{3}\timesC_{5}^2x^{5}=(1)\times16\times5+8\times10=40\)。14.已知\(A\)，\(B\)是球\(O\)的球面上两点，\(\angleAOB=90^{\circ}\)，\(C\)为该球面上的动点，若三棱锥\(OABC\)体积的最大值为\(\frac{32}{3}\)，则球\(O\)的表面积为______。答案：\(64\pi\)解析：设球\(O\)的半径为\(R\)，因为\(\angleAOB=90^{\circ}\)，\(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}R^2\)。当\(CO\perp\)平面\(AOB\)时，三棱锥\(OABC\)的体积最大，\(V_{OABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleAOB}\cdotR=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}R^2\cdotR=\frac{1}{6}R^3\)。已知\(V_{OABC}\)的最大值为\(\f