2025大连理工大学强基计划数学与应用数学考试真题及答案解析详

2025大连理工大学强基计划数学与应用数学考试真题及答案解析详考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合A={x|x²-5x+6≥0},B={x|2a≤x≤a²+1},若B⊆A，则实数a的取值范围是(A)(-∞,2]∪[3,+∞)(B)(-∞,2)(C)[3,+∞)(D)(-∞,2]∪{3}2.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的最小正周期是(A)π(B)2π(C)4π(D)8π3.等差数列{aₙ}中，a₁=1，公差d≠0，且a₃,a₇是方程x²-3x+2=0的两个根，则该数列的前n项和Sₙ等于(A)n²(B)n²-n(C)n²+n(D)n³4.已知向量u=(1,k),v=(3,-2)，若u⊥v，则实数k的值等于(A)-6/2(B)3/2(C)6/2(D)-3/25.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当x∈(0,1)时，f(x)=√x，则f(π)的值等于(A)-√π/2(B)√π/2(C)-√2/π(D)√2/π6.“x>1”是“x²>1”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，则cos(A+B)的值等于(A)-1/5(B)1/5(C)-4/5(D)4/58.已知实数x,y满足x²+y²-2x+4y=0，则x+2y的最大值等于(A)2√5(B)-2√5(C)2√10(D)-2√10二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）9.已知lim(x→2)(x²-ax+2)/(x-2)=1，则实数a的值为________。10.已知x=cosθ+isinθ(i为虚数单位)，则x⁵+1/x⁵的实部等于________。11.在等比数列{bₙ}中，b₁=1，b₃=8，则该数列的第三项b₃与第六项b₆的比值b₃/b₆等于________。12.过点P(1,2)作直线l，使得l与圆C:x²+y²-4x+2y-4=0相切，则直线l的斜率k等于________。13.若函数f(x)=x³-px+1在x=1处取得极值，则实数p的值为________。14.某班级有30名男生和20名女生，现要随机选出3名代表，其中至少包含1名女生的选法共有________种。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。16.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a²=b²+c²-bc。(1)求角B的大小；(2)若b=√3，且△ABC的面积S=√3/2，求边长a的值。17.(本小题满分12分)已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₃=8，a₅+b₅=32。(1)求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；(2)设cₙ=aₙ+bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Sₙ。18.(本小题满分13分)已知函数f(x)=eˣ-ax+1(e为自然对数的底数，a为实数)。(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若当x>0时，f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围。19.(本小题满分13分)已知点A(1,0)，点B在直线l:x-y+1=0上运动，O为坐标原点。(1)求线段AB中点M的轨迹方程；(2)设点M的轨迹与圆C:x²+y²=5交于P,Q两点，求|PQ|的长。20.(本小题满分14分)已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=(n+1)(aₙ+1/n)，n∈N*。(1)求数列{aₙ}的通项公式；(2)设Sₙ=1/a₁+1/a₂+...+1/aₙ，Tₙ=(aₙ+1)Sₙ-aₙ，求证：Tₙ<n²+n+1对所有n∈N*恒成立。试卷答案一、选择题1.A2.A3.A4.C5.A6.A7.B8.C二、填空题9.310.011.1/212.-3/4或4/313.-614.260三、解答题15.(1)解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x<0或x>2；令f'(x)<0，得0<x<2。故f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。(2)解析：f(-2)=(-2)³-3(-2)²+2=-10；f(0)=0³-3(0)²+2=2；f(2)=2³-3(2)²+2=-2；f(3)=3³-3(3)²+2=2。比较得f(x)在区间[-2,3]上的最大值为2，最小值为-10。16.(1)解析：由a²=b²+c²-bc，得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(bc-a²)/(2bc)=1/2。因为0<A<π，所以A=π/3。又由a²=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时取等号)，得b=c。因为b=√3，所以a²=2b²=6，故a=√6。(2)解析：由(1)知A=π/3,b=√3。S=(1/2)bcsinA=(√3/2)bc=(√3/2)*√3*√3=(3√3)/2。又S=(√3/2)*(√6)²=3√2。由S=(3√3)/2，得bc=3。又a²=b²+c²-bc=6，即(b+c)²-3bc=6，代入bc=3，得(b+c)²-9=6，即(b+c)²=15。故b+c=√15。由b=c=√3，得a²=b²+c²-bc=6，a=√6。17.(1)解析：设{aₙ}的公差为d，{bₙ}的公比为q。由a₁=1,b₁=1,a₃+b₃=8,a₅+b₅=32，得1+2d+q²=8,1+4d+q⁴=32。由1+2d+q²=8，得2d=7-q²。代入第二个等式得1+4(7-q²)+q⁴=32，即q⁴-4q²-27=0，即(q²-9)(q²+3)=0。因q为实数，得q²=9，即q=3(q=-3不合题意)。代入2d=7-q²得2d=-2，即d=-1。故aₙ=1+(n-1)(-1)=n；bₙ=1*3^(n-1)=3^(n-1)。所以aₙ=n,bₙ=3^(n-1)。(2)解析：cₙ=aₙ+bₙ=n+3^(n-1)。Sₙ=1+2+...+n+(3⁰+3¹+...+3^(n-1))=(n(n+1))/2+(1-3^n)/(1-3)=(n(n+1))/2-(3^n-1)/2=(n²+n-3^n+1)/2。18.(1)解析：f'(x)=eˣ-a。令f'(x)>0，得eˣ-a>0，即eˣ>a。当a≤0时，eˣ>0>a恒成立，故f(x)在R上单调递增。当a>0时，eˣ>a等价于x>ln(a)。故当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(ln(a),+∞)。(2)解析：令g(x)=f(x)-1=eˣ-ax。求g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立的条件。g'(x)=eˣ-a。①当a≤0时，g'(x)=eˣ-a>0恒成立，g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=1-0=1≥0恒成立，符合题意。②当a>0时，令g'(x)=0得x=ln(a)。当x∈(0,ln(a))时，g'(x)<0，g(x)在(0,ln(a))上单调递减；当x∈(ln(a),+∞)时，g'(x)>0，g(x)在(ln(a),+∞)上单调递增。故g(x)在x=ln(a)处取得最小值g(ln(a))=e^(ln(a))-a*ln(a)=a-a*ln(a)=a(1-ln(a))。要使g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，需g(ln(a))=a(1-ln(a))≥0。因为a>0，所以需1-ln(a)≥0，即ln(a)≤1，得a≤e。综上，实数a的取值范围是(-∞,e]。19.(1)解析：设M(x,y)，B(m,m+1)。由中点坐标公式得x=(1+m)/2,y=(0+m+1)/2=(m+1)/2。消去m得m=2x,m+1=2y。代入得2y-2x=1，即2x-2y+1=0。故线段AB中点M的轨迹方程为2x-2y+1=0。(2)解析：联立方程组{x²+y²=5{2x-2y+1=0，消去y得x²+[(2x+1)/2]²=5，即5x²+2x+1-20=0，即5x²+2x-19=0。设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-2/5,x₁x₂=-19/5。由弦长公式|PQ|=√(1+k²)*|x₁-x₂|=√[1+(1/(-1))²]*√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√2*√[(-2/5)²-4*(-19/5)]=√2*√[4/25+76/5]=√2*√[(4+380)/25]=√2*√[384/25]=√2*(8√6)/5=16√3/5。20.(1)解析：由aₙ₊₁=(n+1)(aₙ+1/n)，得aₙ₊₁/n=(n+1)(aₙ/n+1/n²)。令bₙ=aₙ/n，则bₙ₊₁=(n+1)(bₙ+1/n²)。bₙ₊₁-bₙ=(n+1)bₙ+(n+1)/n²-bₙ=nbₙ+bₙ+1/n²-bₙ=nbₙ+1/n²。bₙ₊₁-bₙ=1/n²+nbₙ。将n换为n-1得bₙ-bₙ₋₁=1/(n-1)²+(n-1)bₙ₋₁。两式相加得bₙ₊₁-bₙ₋₁=1/n²+1/(n-1)²+nbₙ+(n-1)bₙ₋₁。变形得bₙ₊₁+(n-1)bₙ₋₁=1/n²+1/(n-1)²+nbₙ。观察可知，b₃+1*b₁=1/4+1+1*1=5/4。猜测bₙ₊₁+(n-1)bₙ₋₁=(n+1)/n²。用数学归纳法证明：①n=1时，b₂+0*b₀=(1+1)/1²=2，成立。②n=2时，b₃+1*b₁=5/4+1=9/4=(2+1)/2²，成立。③假设n=k(k≥2)时成立，即bₖ₊₁+(k-1)bₖ₋₁=(k+1)/k²。则n=k+1时，bₖ₊₂+k*bₖ=1/(k+1)²+(k+1)bₖ+1/(k+1)²-bₖ₊₁=1/(k+1)²+(k+1)(bₖ+1/(k+1)²-bₖ₊₁/k)=1/(k+1)²+(k+1)(bₖ₊₁/k+1/(k+1)²-bₖ₊₁/k)=1/(k+1)²+(k+1)/k*(bₖ₊₁+(k-1)bₖ₋₁)/k=1/(k+1)²+(k+1)/k²*[(k+1)/k²]=(k+2)/(k+1)²。即n=k+1时也成立。由①②③知，对任意n≥1，bₙ₊₁+(n-1)bₙ₋₁=(n+1)/n²恒成立。令n=1，得b₂+0*b₀=2/1²=2，即b₂=2。令n=2，得b₃+1*b₁=3/2²=3/4，即5/4+1=3/4，即b₃=-3/4。令n=3，得b₄+2*b₂=4/3²=4/9，即b₄+2*2=4/9，即b₄=4/9-4=-20/9。猜测bₙ=(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)。用数学归纳法证明：①n=1时，b₁=1=(-1)^(1+1)*(1+1)/2*(1/2)^(1-1)=1，成立。②n=2时，b₂=2=(-1)^(2+1)*(2+1)/2*(1/2)^(2-1)=-3/2，不成立，猜测错误。重新猜测bₙ=(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)。修正为bₙ=(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)。③假设n=k时成立，即bₖ=(-1)^(k+1)*(k+1)/2*(1/2)^(k-1)。则n=k+1时，bₖ₊₁=(k+1)(bₖ+1/k)=(k+1)[(-1)^(k+1)*(k+1)/2*(1/2)^(k-1)+1/k]=(-1)^(k+1)*(k+1)²/2*(1/2)^(k-1)+(k+1)/k=(-1)^(k+1)*(k+1)²/2*(1/2)^(k-1)+(-1)^(k+1)*(k+1)/2*(1/2)^(k-1)=(-1)^(k+1)*(k+2)/(2^(k-1))。即n=k+1时也成立。由①③知，对任意n≥1，bₙ=(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)恒成立。因为aₙ=n*bₙ，所以aₙ=n*(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)=(-1)^(n+1)*n(n+1)/2^(n-1)。(2)证明：由(1)知aₙ=(-1)^(n+1)*n(n+1)/2^(n-1)。当n=1时，1/a₁=1/1=1，T₁=(a₁+1)*1/a₁-a₁=(1+1)*1-1=1<1²+1+1=3。当n=2时，1/a₁+1/a₂=1+4=5，T₂=(a₂+1)*5-a₂=(4+1)*5-4=25-4=21<2²+2+1=7。假设当n=k(k≥2)时成立，即Tₖ=(aₖ+1)Sₖ-aₖ<k²+k+1。则当n=k+1时，Sₖ₊₁=Sₖ+1/aₖ₊₁，Tₖ₊₁=(aₖ₊₁+1)Sₖ₊₁-aₖ₊₁=(aₖ₊₁+1)(Sₖ+1/aₖ₊₁)-aₖ₊₁=(aₖ₊₁+1)Sₖ+1-aₖ₊₁=(aₖ₊₁+1)Sₖ-