单自由度非线性振动等效线性化法分析

单自由度非线性振动等效线性化法分析

陈俭勇

2等效线性化法

(1)等效线性化法简介

非线性振动系统的微分方程可以概括为：

••/•\

inx+kxsfx.x,£为小量。(1)

\/

当£=>0时，mx+kx=O=>x=acos0(2)

方程(1)的一次近似解设为x=〃cos。,

())=cot^x=-acnsin0

可将非线性力展开成傅里叶级数并仅

\/

保留基频；

8f=£/(t7COS0,-t?sin^)

=4(67)cos0+B1⑷sin°+o(/)

其中，

4⑷=—J。8/(acos(I),-act)sin功cosM0

1尸九.\・

B1(4)=一J。£/'(qcos0,一q①sin°)sin川。

摘要：对于单自由度非线性振动的微分方程的求解方法很多，但等效线，、生法

是一种处理简单、实左的方法。其对于研究如单摆等弱非线性问题的精度是可

以满足要求的。当前关于单摆式运动的研究不断深入和创新，形成能够使主体

结构耗能减震的TMD隹尼器。

关键词：非线性振动；等效线性化；单摆；TMD阻尼器

：0322：A

1引言

工程系统可以分为线性系统和非线性系统，对于爱性系统的动力微分方程的求

解已经有很成熟和精确的方法。但对于非线性系统的动力微分方程的求解还没

有精确的方法，现在形成并应用的有相平面法，摄动法，数值法，其中一种方

法-等效线性化法由于处理简单常被应用研究弱非线性问题。本文将详细分析和

研究等效线性化法处理思路和应用。

2等效线性化法

（1）等效线性化法筒介

非线性振动系统的微分方程可以概括为：

,为小量。（1）

当时，（2）

方程（1）的一次近似解设为，

可将非线性力展开成博里叶级数并仅保留基频；

(3)

其中，

将其带入方程（1）可得：

（4）

因此，可记为：

这样，就可以将非线性系统化为形式上的线性系统即：

-为等效阻尼系数，-为等效刚度系数，则有，系统的固有频率为：，系统的

阻尼比为：

系统的解为：

（2）等效线性化方法的最优性

当假设系统作简谐振动时，在的一个周期内考志非线性力与等效线性力误差

的平方累计：

（6）

以代入（5）式则有，

为确定△的极值，分别对和取偏导数有：

（7）

从上式可知，当且仅当（5）成立时有，，故此时有极值，再分别对（7）式

求二阶倒数可知：

由高等数学的极值定律可知，（5）式给出的，使取极小值。

因此，假设的简谐振动时等效线性化力逼近非线性力时的误差平方和累计最

小。故此时等效线性化具有最优性。

3单摆的非线性振动

单摆系统的振动微分方程为：

当摆角不大时可写成：

将右端非线性力展开成傅里叶级数：

由上述推导知：

得等效线性系统为：

单摆的振动虽然简单，但近年来，工程师发现单摆可以运用到结构的耗能减

震中，并取得了良好的效果。如下图的悬吊摆式TMD,通过控制摆长可以调节

其频率并有效地起到主体结构的减震作用。

图1悬吊摆式阻尼器

4空腔楼盖内置FPS-TMD结构减震

随着人们对摆动研究工作的深入，开发出了多种形式的阻尼器。诸如下图的摩

摆式阻尼器，它克服了悬吊式阻尼器的所需空间大的缺点，可以在小空间内并

可以采用特殊形式的支座来进行调谐达到结构减震的目的。

图中，1-半径为r的底座滑道，2-质量为1n的滑块，

3-结构楼板质量为mn

该摩块的振动微分方程可以描述为：

此非线性微分方程可以采用上述的等效线性化的方法进行近似求解。

近年，高层结构为了节约混凝土的用量研究出了空腔楼板，作者未来在此领域

想利用空腔的内置空间，结合摩摆式阻尼器的原理，在空腔内设置FPS-TMD阻

尼器以期达到既经济又满足结构耗能减震的双重目的。

参考文献：

[1]陈立群.关于单自由度非线性谐迫振动等效线性化方法的注记长沙大学

学报，2003(4).

[2]陈立群.等效线性化方法的最优性[J].力学与实践，1996(1).

[3]陈予恕.非线性振动[M].天津：天津科学技术出版社，1983