电路分析基础 8

目录Feizhengxuanzhouqixinhao非正弦周期信号XiepofenxihepinpufeizhengxuanZhouqiliangdeyouxiaozhipingjunzhihepingjungonglv*非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率Feizhengxuanzhouqixinhaozuoyongxiadexianxingdianlufengxi非正弦周期信号作用下的线性电路分析第9章

非正弦周期电流电路谐波分析和频谱12/3/2025本章导论生活和工程中，并非所有电信号都是标准正弦波：手机充电器的“半波整流电压”、计算机的“方波脉冲信号”、示波器的“锯齿波扫描电压”，这些都是非正弦周期信号。它们看似复杂，却可分解为一系列频率成整数倍的正弦波（谐波）。例如，工业中电机的非正弦电流可能导致设备发热异常，通信系统的脉冲信号若谐波成分过多会干扰传输——掌握非正弦周期电路的分析方法，是解决这类实际问题的关键。本章将从非正弦周期信号的产生与谐波分解入手，逐步讲解其有效值、功率计算，以及线性电路的分析方法。12/3/2025学习要点理解非正弦周期信号的产生原因，掌握谐波概念：基波、高次谐波、奇/偶次谐波。了解：傅里叶级数展开的狄利克雷条件，能识别典型非正弦周期信号（方波、锯齿波）的谐波成分，理解离散频谱的意义。掌握：非正弦周期量的有效值与平均功率的计算。熟练运用：“谐波分析法”分析线性非正弦周期电路，明确不同频率谐波（含直流）作用时的电路处理规则：如直流时C开路、L短路。9.1

非正弦周期信号02T3TutT0T2T3Tut0T2T3Tut0Tut工程实际中经常遇到的按非正弦规律变化的电源和信号源9.1

非正弦周期信号9.1.1非正弦周期信号的产生1.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）VDR输入正弦波输出半波整流由于二极管具有：正偏导通、反偏阻断的单向导电性，所以12/3/20252.实验室中示波器内部水平扫描电压水平扫描电压为周期性锯齿波输入为正弦波12/3/20253.一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时放大电路内部各电流、电压都是交直流共存的非正弦交流电。ui交流信号源IB基极载波ib信号电流iB晶体管输入电流iC晶体管输出电流uCE晶体管输出电压直流电源12/3/20254.自动控制、计算机等技术领域中用到的脉冲信号0T2T3Tut0T2T3Tut计算机内部的方波脉冲信号尖脉冲信号12/3/20259.1.2非正弦周期信号随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。定义例如tu(t)0

上图所示周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍的正弦波的合成波。12/3/2025u(t)t0u1u3U1m以一个周期的情况为例进行分析

u3频率是方波频率的3倍，称为方波的3次谐波。

u1与方波同频率，称为方波的1次谐波或者基波。u1和u3的合成波，显然，与u1、u3相比，合成波较接近方波。U1m1312/3/2025tu(t)0u135u5以一个周期的情况为例进行分析u13U1m15u5频率是方波频率的5倍，称为方波的5次谐波。u13和u5的合成波，与u13相比，显然更接近方波。

由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与周期性方波电压的波形相重合。12/3/2025

即：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，叠加以后可构成一个非正弦周期波。方波中的u1、u3、u5等，这些振幅不同、频率分别是非正弦周期波频率k次倍的正弦波统称为非正弦周期波的谐波，并按照频率是非正弦周期波频率的倍数分别称为1次谐波(基波)、3次谐波、5次谐波……。非正弦周期信号谐波的相关概念谐波与基波的倍数用k表示，k为奇数的谐波称为非正弦周期函数的奇次谐波；k为偶数时则称为非正弦周期波的偶次谐波。而把2次及2次以上的谐波统称为高次谐波。12/3/2025习学考电路中产生非正弦波的原因是什么？举例说明。稳恒直流电和正弦交流电有谐波吗？什么样的波形才具有谐波？“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波”。这种说法对吗？试述基波、高次谐波、奇次谐波和偶次谐波的概念？12/3/20259.2谐波分析和频谱分析设f(t)为非正弦周期函数，周期为T，角频率ω＝2π/T，如果满足狄利克雷条件，就可展开为傅立叶级数。狄利克雷条件1.在一周期内，有间断点存在且间断点的数目是有限个；2.在一周期内，极大值和极小值的数目为有限个；3.在一周期内，信号是绝对可积的。

实际应用中除了直流电和正弦交流电，遇到的激励大多为非正弦周期信号，它们通常都能满足狄利克雷条件。如方波，其谐波展开式—傅里叶级数展开式为：12/3/20259.2.1非正弦周期信号的傅里叶级数表达式

任何一个非正弦周期函数表示为傅里叶级数时，理论上都需由无限多项才能逼近原来的波形，但实际工程计算中，一般采用有限项数来近似代替无限多项。所取项数的多少与要求的准确程度有关，即取决于非正弦周期波所含有的谐波成份。一些典型的非正弦周期信号的波形及其傅里叶级数表达式如课本中表9.1所示。

由方波谐波表达式可看出：方波信号是由振幅按1，1/3，1/5，…规律递减、频率按基波频率的1、3、5…奇数倍递增的u1、u3、u5…..等正弦波的合成波。12/3/2025表9.1非正弦周期信号及傅里叶级数表达式12/3/2025表9.2.2

非正弦周期信号的频谱

非正弦周期信号的谐波表达式可展开成傅里叶级数，而傅里叶级数是三角级数的形式，虽然详尽而又准确地表达了周期函数分解的结果，但很不直观。工程实际中，为了表示一个周期函数分解为傅里叶级数后所包含那些频率分量以及分量所占的比重，通常用各次谐波振幅大小相对应的线段、按频率的高低顺序依次排列的图形直观表示，称为非正弦波的振幅频谱图。如方波振幅频谱：012/3/2025

如果把各次谐波的初相用相应线段依次排列还可得到相位频谱。但工程实际分析中一般都用振幅频谱表示。振幅频谱图中各次谐波的角频率均为非正弦周期波频率的整数倍，所以频谱是离散的，因此又称为线频谱。

把振幅频谱的顶端用虚线连接起来，可得到振幅频谱的包络线。0wkmA从实际工程计算上讲，只能取傅里叶级数无穷项中的有限项，因此就会有误差问题。如果级数收敛很快，只取级数的前几项就可以了，5次以上谐波可以略去。这种误差在工程应用中是允许的。12/3/20259.2.3波形的对称性与谐波成分的关系

观察方波、等腰三角波，它们都是只含有sin项的奇次谐波；而锯齿波和全波整流都含有直流成分，且锯齿波还包含sin项的各偶次谐波，全波整流则包含cos项的各偶次谐波……。即：非正弦周期函数的谐波成分与其波形形状有关！12/3/20259.2.3波形的对称性与谐波成分的关系

谐波分析一般都是对已知波形进行分析，而非正弦周期信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所含有的谐波成分。根据波形的特点，首先解释几个相关名词：奇函数：奇函数的傅里叶级数中只含有sin项，不存在直流和偶次谐波。奇函数的特点是波形对原点对称。12/3/2025偶函数：偶函数的傅里叶级数表达式中只含有cos项，一般还包含直流成分。函数特点是波形对纵轴对称。奇谐波函数：奇谐波函数的傅里叶级数表达式中只含有奇次谐波。函数特点是波形的后半周与前半周具有镜像对称性，也称为奇次对称性。12/3/2025偶谐波函数：偶谐波函数的傅里叶级数表达式中一般只包含偶次谐波。函数特点是波形的前半周和后半周变化相同。也称为偶次对称性。12/3/2025波形的对称性与谐波成分的关系

观察图示方波和等腰三角波的波形，它们都有对原点对称的特点，因此是奇函数，除此之外，它们的波形还具有奇次对称性，因此又是奇谐波函数，所以它们的傅里叶级数展开式中只含有sin项中的各奇次谐波。f(t)0tf(t)0t12/3/2025波形的对称性与谐波成分的关系

观察左图所示全波整流波的波形，它不但具有对纵轴对称特点，还具有偶次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中只含有cos项中的各偶次谐波（包含零次谐波）成分。tf(t)0tf(t)0

再看右图所示锯齿波的波形，它不仅具有偶次对称特点，若移动横轴，波形还对原点对称，因此是奇函数和奇谐波函数，其傅里叶级数展开式中含有sin项中的各偶次谐波，图示波形位置表明它还含有零次谐波成分。12/3/20259.2.4波形的平滑性与谐波成分的关系f(t)0tf(t)0t

观察波形，方波在一个周期内发生两次正、负之间的跃变，即波形极不平滑；而等腰三角波则总是在正、负半周均按直线规律上升或下降，整个周期内并没有发生陡变，因此其平滑性较方波好得多。12/3/2025

显然平滑性差的方波含有的谐波成分较平滑性较好的三角波严重，方波的谐波表达式中傅里叶级数收敛得较慢，等腰三角波的傅里叶级数收敛得较快。f(t)0tf(t)0t

掌握了波形与谐波成分之间的上述关系，无疑给谐波分析的步骤带来简化，根据波形的对称性和平滑性能够很快定性分析出非正弦周期波所含有的谐波成分。12/3/2025谐析举如果将图示方波沿横轴方向左移T/4，试求它的傅里叶级数展开式。先画出左移后的波形图0u(t)T/4tUm-Um分析-T/40u(t)tUm-Um波形对纵轴对称，变成偶函数、奇谐波函数，因此:12/3/2025谐析举图示周期函数均为一个周期的波形。试判断下列波形的奇、

偶性。左图所示波形只具有偶半波对称，因此是偶谐波函数。分析0f(t)t0f(t)t0f(t)t中图所示波形对纵轴对称，且具有镜像对称性，因此是偶函数和奇谐波函数。右图所示波形对原点对称，且具有偶半波对称性，因此是奇函数和偶谐波函数。12/3/2025习题练如测出方波的周期T＝5μs，问它的基波、三次谐波、五次谐波的频率各为多少？2.在脉冲技术中常说“方波的前沿和后沿代表高频分量”，你对这句话怎样理解？3.试将图示波形以傅里叶级数形式表示，并画出其频谱图。0u+T/4t-T/4Um-Um12/3/2025★9.3非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率9.3.1非正弦周期量的有效值和平均值

非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值的定义完全相同：与非正弦周期量热效应相同的直流电的数值，定义为该非正弦周期函数的有效值。实验和理论都可以证明：

即非正弦周期量的有效值等于它的各次谐波有效值平方和的开方。12/3/2025非正弦周期信号的平均值

非正弦周期量的平均值要按一个周期进行计算。当非正弦周期量为奇谐波函数时，由于具有镜像对称性，其平均值一定为零；若为偶谐波函数，由于波形后半周重复前半周的变化，所以则其平均值通常存在。理论和实践都可以证明，非正弦量的平均值：

显然，非正弦周期量的平均值在分析计算时，数值上应等于它的傅里叶级数表达式中的零次谐波。12/3/2025波形因数和波顶因数波形因数等于非正弦周期量的有效值与平均值之比：波顶因数等于非正弦周期量的最大值与有效值之比：波形因数Ki和波顶因数KA均大于1，一般情况下波顶因数大于波形因数。且非正弦量的波形顶部越尖时，这两个因数越大，当非正弦周期量波形顶部越趋于平坦时，这两个因数越小。12/3/20259.3.2

非正弦周期信号的平均功率

非正弦周期量通过负载时也要消耗功率，此功率与非正弦量的各次谐波有关。即：显然，平均功率等于非正弦周期量各次谐波平均功率之和。值得注意的是：只有同频率的谐波电压和谐波电流才能构成平均功率。

式中的k＝1、2、3……。即：12/3/2025平率举已知有源二端网络的端口电压和电流分别为：求电路中电压、电流的有效值及电路消耗的平均功率。解12/3/2025习题练1.已知电源电压为：加在15Ω电阻的两端，求电压有效值及电阻上消耗的平均功率。2.根据图示波形，试画出下列情况一个周期的完整波形。0f(t)tAT/4①f(t)为偶函数，且奇半波对称；②f(t)为偶函数，无半波对称；③f(t)为奇函数，且偶半波对称；④f(t)为奇函数，无半波对称；⑤f(t)为偶函数，只含偶次谐波。课堂实践：非正弦周期电流电路的研究实验实验电路1．图示实验电路中，由函数信号发生器产生一个方波信号，信号的频率为f=35kHz，连接于实验电路的输入端。2．调整好双踪示波器，让其CH1踪探头与函数信号发生器输出相连，观察方波信号波形。3．双踪示波器的CH2踪探头取R1信号，同时调节C1值，使基波幅度达到最大，观察之。4．将CH1踪探头换接至R3上，同时调节C3值，让三次谐波幅度最大，观察之。5．用双踪示波器的求和键观察基波和三次谐波的合成波。6．再用CH1踪探头取R5上信号，观察五次谐波。7．在同一坐标上绘出方波、基波、三次谐波及合成波的波形。实验步骤12/3/20259.4

非正弦周期信号作用下的线性电路分析非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：1.将电路中的非正弦周期函数展开成傅里叶级数表达式；2.根据非正弦周期量所包含谐波成分的收敛情况，取有限项数近似代替；3.让各次谐波单独作用，求出其各次谐波的待求响应；4.除直流分量外，其余谐波响应均用正弦量的解析式表示；5.根据叠加定理，将电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求响应。12/3/2025分算举已知电路中：f=50Hz，求i(t)和电流有效值I。零次谐波电压单独作用时，由于直流下C相当开路，因此I0=0；解一次谐波电压单独作用时，应先求出电路中的复阻抗，然后再求一次谐波电流12/3/2025三次谐波电压单独作用时：五次谐波电压单独作用时：已知电路中：f=50Hz，求i(t)和电流有效值I。12/3/2025已知电路中：f=50Hz，求i(t)和电流有效值I。根据叠加定理可求得电流解析式：电流的有效值：

其中三次谐波电压、电流同相，说明电路在三次谐波作用下发生了串联谐振。12/3/2025计算非正弦量作用下的电路时应注意的问题1.当直流分量单独作用时，遇电容元件按开路处理，遇电感元件则要按短路处理；2.任意正弦分量单独作用时的计算原则与单相正弦交流电路的计算方法完全相同，只是必须注意：不同谐波频率下电感和电容上的电抗各不相同。3.用相量分析法计算出来的各次谐波分量是不能直接进行叠加的，必须根据相量与正弦量的对应关系表示成正弦量的解析式后再进行叠加。4.不同频率的各次谐波响应是不能画在同一个相量图上，也不能出现在同一个相量表达式中。12/3/2025思习非正弦周期量的有效值和平均值如何计算？非正弦周期电流电路的分析计算中，应注意哪些问题？不同频率的电压、电流能否作用后产生平均功率？零次谐波单独作用下电感和电容分别作何处理？不同正弦谐波下L和C上的电抗相同吗？12/3/2025习题练1.图示电路电源电压参考答案：电流i和输出电压uO。试求：i12/3/2025本章核心规律总结1.非正弦周期信号的产生：非线性元件（如二极管）、多频率激励（如交直流共存）、特定功能需求（如脉冲信号）。2.谐波分析核心：非正弦周期信号可展开为傅里叶级数（基波+高次谐波），频谱为离散线谱；波形对称性决定谐波类型（如奇函数仅含奇次正弦谐波）。3.关键计算：有效值：各次谐波有效值平方和开根号；平均功率：仅同频率谐波产生功率，总功率为各次谐波功率之和。4.电路分析方法：谐波分析法：分解→单独作用→叠加，注意不同频率谐波的电抗差异：直流时L短路、C开路；高次谐波电抗随k变化。本章重点是谐波思想：将复杂非正弦信号转化为熟悉的正弦、直流分量分析，是解决工程中非正弦电路问题的核心工具。12/3/2025本章工程应用案例案例1：电力系统整流设备的