浙江省杭州求是高级中学2025年高一上数学期末统考模拟试题含解析

浙江省杭州求是高级中学2025年高一上数学期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列运算中，正确的是（）A. B.C. D.2．设，，且，则A. B.C. D.3．已知点P3,-4是角α的终边上一点，则sinA.-75C.15 D.4．如果，，那么（）A. B.C. D.5．已知函数，则的图像大致是（）A. B.C. D.6．，，的大小关系是（）A. B.C. D.7．函数，的图象形状大致是（）A. B.C. D.8．对于实数，“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．已知角α的终边经过点，则等于（）A. B.C. D.10．函数的值域是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为________12．直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点依次为、、，且满足，则实数________13．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.14．已知集合，则的元素个数为___________.15．若，则的终边所在的象限为______16．若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，则f（2）=______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点.求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF；（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18．已知函数，.（1）解方程；（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（3）若不等式对恒成立，求的取值范围.19．已知函数（1）记，已知函数为奇函数，求实数b的值；（2）求证：函数是上的减函数20．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.（1）若，，求扇形的弧长；（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.21．已知函数为偶函数.（1）判断在上的单调性并证明；（2）求函数在上的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.2、C【解析】，则，即，，，即故选点睛：本题主要考查了切化弦及两角和的余弦公式的应用，在遇到含有正弦、余弦及正切的运算时可以将正切转化为正弦及余弦，然后化简计算，本题还运用了两角和的余弦公式并结合诱导公式化简，注意题目中的取值范围3、A【解析】利用三角函数的定义可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得sinα-故选：A.4、D【解析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】因为，所以，故A错误；因为，当时，得，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.5、C【解析】判断函数的奇偶性，再利用时，函数值的符号即可求解.【详解】由，则，所以函数为奇函数，排除B、D.当，则，所以，，所以，排除A.故选：C6、D【解析】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出、、的大小关系.【详解】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则，，，其中虚线表示的是角的终边，，则，即.故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题.7、D【解析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B.【详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项.故选：D8、B【解析】由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件9、D【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.【详解】依题意得.故选：D.10、A【解析】由，知，解得令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.当直线过点A(4,0)时，，解得.所以，即.故选A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由扇形的面积公式直接求解.【详解】由扇形面积公式，可得圆心角，故答案为：.【点睛】(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.12、或【解析】设点、、的横坐标依次为、、，由题意可知，根据题意可得出关于、的方程组，分、两种情况讨论，求出的值，即可求得的值.【详解】设点、、的横坐标依次为、、，则，当时，因为，所以，，即，因为，得，因为，则，即，可得，所以，，可得，所以，；当时，因为，所以，，即，因为，得，因为，则，即，可得，所以，，可得，所以，.综上所述，或.故答案为：或.13、##【解析】将目标式转化为，应用柯西不等式求取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，则，又，∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故答案为：.14、5【解析】直接求出集合A、B，再求出，即可得到答案.【详解】因为集合，集合，所以，所以的元素个数为5.故答案为：5.15、第一或第三象限【解析】将表达式化简，，二者相等，只需满足与同号即可，从而判断角所在的象限.【详解】由，，若，只需满足，即与同号，因此的终边在第一或第三象限.故答案为：第一或第三象限.16、1【解析】根据反函数的定义即可求解.【详解】由题知y＝f(x)＝，∴f(2)＝1.故答案为：1.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由棱柱的性质及中点得B1F1∥BF，AF1∥C1F.，从而有线面平行，再有面面平行；（2）先证明B1F1⊥平面ACC1A1，然后可得面面垂直【详解】证明：（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，连接，∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，，，，∴是平行四边形，是平行四边形，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.平面，平面，∴平面，同理平面，又∵B1F1∩AF1＝F1，平面，平面，∴平面AB1F1∥平面C1BF.（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，平面，∴B1F1⊥AA1.又是等边三角形，是中点，∴B1F1⊥A1C1，而A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.【点睛】本题考查证明面面平行和面面垂直，掌握面面平行和面面垂直的判定定理是解题关键18、（1）或（2）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析（3）【解析】（1）由已知得，解方程即可；（2）任取，且，则，分和讨论可得答案；（3）将不等式对恒成立问题转化为，的最小值问题，求出的最小值即可得的取值范围.【详解】（1）由已知.所以，得或，所以或；（2）任取，且，则因为，且，所以，.当时，恒成立，，即；当时，恒成立，，即.故在上单调递减，在上单调递增；（3），，令，.由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，故的取值范围是.【点睛】本题考查函数单调性的判断和证明，考查函数不等式恒成立问题，转化为最值问题即可，是中档题.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由奇函数性质列方程去求实数b的值即可解决；（2）以减函数定义去证明函数是上的减函数即可.【小问1详解】函数的定义域为，，∵为奇函数，，所以恒成立，即恒成立，解得，经检验时，为奇函数.故实数b的值为【小问2详解】设任意实数，则，因为，所以，，即又，则所以，即，所以函数是上的减函数20、（1）；（2）当时，扇形面积最大值.【解析】（1）利用扇形弧长公式直接求解即可；（2）根据扇形周长可得，代入扇形面积公式，由二次函数最值可确定结果.【小问1详解】，扇形的弧长；【小问2详解】扇形的周长，，扇形面积，则当，，即当时，扇形面积最大值.21、