14.1全等三角形（3个知识点+4个题型+巩固练习）-教师版(同步讲义)-沪科版(2024)八上

14.1全等三角形课程标准学习目标①理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；②掌握全等三角形的性质。1.了解全等形的概念，能判断两个图形是不是全等形。2.理解全等三角形的有关概念，掌握确定对应元素的方法。3.掌握全等三角形的性质，能够利用全等三角形的性质进行计算和证明。知识点01全等的概念·全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形【即学即练1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形C．两个等边三角形一定是全等图形D．能够完全重合的两个图形是全等图形【答案】D【知识点】全等三角形的概念【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可．【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求；若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求；两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求；能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．知识点02全等三角形的有关概念·能够完全重合的两个三角形；·符号表示:全等符号“≌”，△ABC≌△A1·对应元素：对应顶点、对应角、对应边；【即学即练2】如图，，其中与是对应边，那么的对应角是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．【详解】解：∵，其中与是对应边，∴A和D、B和C是对应点，∴．故选：D．【即学即练3】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可．【详解】解：∵，∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与．【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键．【即学即练4】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．

【答案】见解析【分析】根据对应顶点，写出对应边和对应角即可．【详解】解：∵，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，∴这两个三角形的对应边是：和，和，和；对应角是：和，和，和．【点睛】本题考查全等三角形的性质．正确的找出对应边和对应角，是解题的关键．知识点03全等三角形的性质（1）对应角相等；（2）对应边相等；（3）对应周长、面积相等；（4）对应角平分线、中线、高线相等。，，【即学即练5】下列说法正确的是（

）

①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；③面积相等的三角形全等；④周长相等的三角形全等A．②③ B．③④ C．①② D．①②③【答案】C【分析】理清全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．【详解】解：①全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确；②全等三角形的周长相等，面积相等，正确；③面积相等的三角形形状不一定相同，故错误；④周长相等的三角形形状不一定相同，故错误．所以①②正确，故选：C．【即学即练6】已知图中的两个三角形全等，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】全等三角形的性质【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键；根据a与a，c与c是对应边，可知a与c的夹角是对应角，进而求出的度数．【详解】解：图中的两个三角形全等，a与a，c与c是对应边，a与c的夹角是对应角，，故选：D．【即学即练7】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，由题意得对应角相等，利用三角形内角和定理得，结合即可求得答案．【详解】解：∵，∴，，，∵，，∴，∵，∴，故选：B．【即学即练8】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.

(1)求证：；(2)当，时，求线段的长.【答案】(1)见解析(2)【知识点】全等三角形的性质、内错角相等两直线平行【分析】（1）根据三角形全等的性质得到，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）根据三角形全等的性质得到，，根据即可求出最后结果．【详解】（1）证明：，，；（2），，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键．·全等三角形中的对应关系：根据全等三角形的表示找对应线段和对应角关键：对应点在全等表示中的位置也对应相等案例：

中的对应关系：·线段AB与线段AD对应，线段BC与线段DE对应，线段AC与线段AE对应·∠ABC与∠ADE对应，∠BCA与∠DEA对应，∠CAB与∠EAD对应【题型一：全等三角形的性质与角度等量代换】例1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质【分析】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余．根据三角形全等的性质可得，进而可得，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得的度数．【详解】解：，，即，，，，故选：A．变式1.（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，，，点E在线段上，过点B作，且与交于点F，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】全等三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，邻补角，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，得出，根据邻补角即可求解．【详解】，，，，，．故选：D．例2.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和等知识．根据得到，根据三角形内角和求出，即可求出，问题得解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴即．故选：C变式2.如图所示，，且，求和的度数．

【答案】【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、几何图形中角度计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．由，可得，根据三角形外角性质可得，可得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数．【详解】解：∵，∴，，，∴，在中，．【方法技巧与总结】灵活运用外角的性质、三角形的内角和、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线进行角度等量代换。【题型二：利用全等三角形的性质求线段长】例3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则．【答案】4【知识点】全等三角形的性质【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，，再利用线段的和差关系，求出的长即可．【详解】解：∵，∴，，∵，∴，∴；故答案为：4．变式3-1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.

(1)求证：；(2)当，时，求线段的长.【答案】(1)见解析(2)【知识点】全等三角形的性质、内错角相等两直线平行【分析】（1）根据三角形全等的性质得到，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）根据三角形全等的性质得到，，根据即可求出最后结果．【详解】（1）证明：，，；（2），，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键．变式3-2．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．

(1)求的度数．(2)求与的周长和．【答案】(1)(2)【知识点】全等三角形的性质【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可；（2）根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴，即的度数为；（2）解：∵，∴，，∴与的周长和为．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键．【题型三：全等三角形的性质与图形综合】例4．如图，已知，点E在上，与相交于点F．

(1)若，，则线段的长是；(2)已知，，求的度数．【答案】(1)3(2)【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∴；（2）解：∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【题型四：全等三角形与坐标】例5．如图，在平面直角坐标系中，已知，则点的坐标是．

【答案】【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据点A的坐标推出，结合全等三角形对应边相等，即可解答【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．变式5.（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且．(1)求证(2)若，，求的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)．【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、全等三角形的性质、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到，再根据对顶角相等，得到，进而得到，即可证明结论；（2）利用直线：，求出A、B两点坐标，得到，，再利用全等三角形的性质，得到，，进而得到C、D两点坐标，从而求出直线：，联立方程组，求出点E坐标，即可求出的面积．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：，，直线：，令，得；令，得，解得，，，，，，，，，，，解得：，直线：，联立方程组，解得：，点E的坐标为，的面积为．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一次函数与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点与二元一次方程组的解等知识，熟练掌握一次函数性质和全等三角形的性质是解题关键．一、选择题1．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形性质推出，即可得出答案．【详解】解：，，，，，故选：C．2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案．【详解】解：∵，，，∴，∴．故选：B．3．（16-17八年级上·云南红河·期末）如图，，若，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】全等三角形的性质【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论．【详解】解：，，，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，是假命题的是（

）A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．全等三角形的面积相等【答案】C【知识点】全等三角形的性质、两直线平行同旁内角互补、两点确定一条直线、判断命题真假【分析】本题主要考查真假命题，利用对顶角的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及确定直线的条件即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点确定一条直线，该命题是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，该命题是真命题，故本选项不符合题意；C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，故本选项符合题意；D、全等三角形的面积相等，该命题是真命题，故本选项不符合题意；故选：C．5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】∵，，在中，，，．故选：D6．（20-21八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列关于全等三角形的说法中，正确的有（

）①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】全等三角形的概念【分析】根据全等三角形的概念、性质定理和判定定理判断即可．【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，故①正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，故②正确；③面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故③错误；④全等三角形的周长相等、面积相等，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的概念和判定定理是解题的关键．7．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，于点D，点E在上，且．若，，则的长为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【知识点】构造二元一次方程组求解、全等三角形的性质【分析】本题考查了全等三角形的性质，二元一次方程组的应用．由全等三角形的性质求得，，根据题意得到方程组，解之即可求解．【详解】解：设，，∵，∴，，∵，，∴①，②，得，解得，即，故选：A．二、填空题8．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图，，，，，则【答案】/度【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质【分析】此题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质等知识，根据三角形内角和定理得到，由全等三角形的性质得到，作差即可求出.【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案为：．9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知，其中，则．【答案】【知识点】全等三角形的性质【分析】本题考查了全等三角形的性质，理解性质“全等三角形对应边相等．”是解题关键．【详解】解：，，故答案：．10．（16-17八年级下·江西抚州·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为．

【答案】48【知识点】全等三角形的性质、利用平移的性质求解【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：由平移的性质知，，，，，，，故答案为48三、解答题11．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，．

(1)求线段的长；(2)求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，即可求解；（2）由全等三角形的性质可得，，再利用三角形内角和定理求得，即可求解．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：，，，，，，.【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．12．（21-22八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点E在上，与交于点F．(1)若，，求的长；(2)若，，求的度数．【答案】(1)(2)【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理．（1）利用全等的性质即可求出，然后根据线段的和差即可求出．（2）利用全等的性质求出，然后根据三角形的内角和定理即可求出，然后利用角的和差即可求出．【详解】（1）（1）∵，，∴，∴．（2）∵，∴．∵，，∴，∴，∴.13．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．

(1)若，，求；(2)若，求．【答案】(1)2(2)【知识点】全等三角形的性质、利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等和对应角相等是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案；（2）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，由平角的定义及等量代换即可得到的度数．【详解】（1）解：∵，，，，，；（2）∵，，∵，，，，，，．14．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动，移动了秒．

(1)求、两点的坐标．(2)当为何值时，，并求此时点的坐标．【答案】(1)，；(2)当时，，此时的坐标是；或时，，此时的坐标是．【知识点】全等三角形的性质、坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题【分析】（1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标；（2）若，则，分情况求出t值，并得到M点坐标．【详解】（1）解：，当时，．当时，，解得．所以，；（2）解：因为，所以．当时，，所以，当时，．所以，即当时，，此时的坐标是；或时，，此时的坐标是．【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键．15.如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的度数；(3)若与全等，点与点为对应点，求的长．【答案】(1)(2)(3)3或3.5【分析】（1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出最后再运用三角形内角和即可求解；（2）根据得出再由三角形内角和即可求解；（3）根据和分类讨论即可求解；【详解】（1），，，，；（2）∵，，．（3）当时，则，当时，则，，综上可得：为3或3.5．【点睛