第14章 全等三角形（含热考模型）（知识清单）（挖空版）-沪科版(2024)八上

第十四章全等三角形（含热考模型）1.全等三角形的概念及性质全等形的概念：能_______的两个图形叫做全等形.全等形的性质：全等形的形状_______、_______相等.全等三角形的概念：能_______的两个三角形叫做全等三角形.全等三角形的对应元素：两个三角形全等，_______的顶点叫做对应顶点，_______的边叫做对应边，_______的角叫做对应角.全等三角形的表示：全等用符号“_______”，读作“_______”.确定全等三角形对应边，对应角的方法：1）在两个全等三角形中，最长边对_______，最短边对_______，最大角对_______，最小角对_______；2）公共角、对顶角必为_______，公共边必为_______；3）全等三角形对应角所对的边是_______，两个对应角所夹的边是_______；4）全等三角形对应边所对的角是_______，两条对应边所夹的角是_______；5）根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角，如△ABE≌△ACD.则对应边是AB与_______，BE与_______.AE与_______；对应角是∠ABE与_______，∠AEB与_______.∠BAE与_______.2.全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边_______，对应角_______.2）全等三角形对应边上的高线_______，对应边上的中线_______，对应角的角平分线_______．3）全等三角形的周长_______，面积_______（注意：周长或面积相等的三角形_______是全等三角形）.3.三角形全等的判定1）边边边文字描述：_______相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“_______”）；2）边角边文字描述：_______和它们的_______对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“_______”）；3）角边角文字描述：_______和它们的_______对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“_______”）；4）角角边文字描述：_______分别相等且其中一组等角的_______相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“_______）；5）斜边、直角边文字描述：_______和一条_______对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“_______”）．【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是_______）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.【提问】判断以下两种情况能否判断全等，若不能请画图给出反例.文字描述图示（反例）能否判断全等AAA有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.SSA有两边和其中一边对应相等的两个三角形不一定全等.4.三角形全等的应用1）应用全等三角形“对应边_______，对应角_______”求线段的长度和角的大小.2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测量长度的线段的长，例如测量河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以_______的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的_______.序号易错点易错题注意事项1添加条件证明两三角形全等1-4证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法2未明确指明两个具体的全等三角形时，需分类讨论5-9若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定，需分情况讨论.3理解使用“HL”适用情况10-13利用“HL”证明两个三角形全等时，只需判断斜边和直角边对应相等，但其前提条件是：直角三角形，即有一个直角。实际由勾股定理可知，在直角三角形中只要知道任意两边的长，即可求得第三边的长。因此“HL”的本质是三边分别相等.4隐含条件的识别14-17在证明三角形全等时，公共边与公共角是常见的隐含条件.在某些情况下，题目中的等角或等边可以通过其它条件进行转化.1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（

）A． B．C． D．2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在与中，若，，下列条件不能使这两个三角形全等的是（

）A． B．C． D．3．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（）

A． B．C． D．4．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如下图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为秒．6．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为秒时，和全等．7．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为．8．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以2个单位秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为秒．9．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）2024年9月10日是第40个教师节．数学老师用与教师节年月日相关的数字，编拟了一道运用全等三角形的性质和解方程等知识求解的题目：一个三角形的三边长分别是4，9，10，另一个三角形三边的长分别是4，，．若这两个三角形全等，则的值为．10．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：．11．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）如图，点在内部的一条射线上，，垂足为，且．已知点到射线的距离为4，且则的度数为（

）A． B． C． D．12．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：．13．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）按要求完成下列各小题：(1)在中，，，求的度数；(2)如图，，，．求证：．14．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．15．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，已知．求证：．16．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图，在正方形中，点，是边，上的点，且，那么，线段与是否互相垂直？请说明理由．17．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点，，以线段为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形，则边所在直线的函数解析式为．重难点01添加条件使三角形全等1．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加的条件为（

）A． B．C． D．2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在和中，点共线，已知，添加下列条件不能使得的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）根据下列条件能画出唯一的是（）A．B．C．D．4．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，添加以下条件，不能判定的是（

）A． B． C． D．5．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与交于点，从以下四个论断①，②，③，④中选择一个论断作为条件，则不一定能使的论断是；重难点02灵活选用判定方法证全等6．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知的三边及三个内角的度数如图所示，现要作一个与全等的三角形，下面是四位同学作出的图形．其中符合条件的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（

）

A．带①②去 B．带②③去 C．带①④去 D．带①③去8．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（

）A． B． C． D．9．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）下列三角形与下图全等的三角形是（

）A． B．C．D．10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．(1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．①已知：_____________；求证：__________；②已知：_____________；求证：_____________；(2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．重难点03利用全等三角形的性质求解11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（）A．9 B．4 C．5 D．612．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（

）A． B． C． D．13．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（

）A． B． C． D．14．（2024·山东菏泽·三模）如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是．重难点04补充全等三角的证明过程15．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：，，，且、、三点在同一直线上．求证：．把以下证明过程补充完整．证明：，______________________．______________________．在和中，（___________）．（___________）．16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个四边形木架．(1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是；(2)若平分，且，求四边形木架的周长．下面是（2）的解答过程，请大家补充完整：解：∵平分，∴，在和中，，∴（），∴（），∴四边形木架的周长为．17．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在中，，点为直线上一点（点不与点重合），连接，在的右侧作，使得，连接，过点作于点．(1)当点和点重合时，如图1，判断线段和之间的数量关系，并说明理由；下面是小颖不完整的解答过程，请补充完整：，理由如下：，________________________________________．即．在和中，．（依据1：__________）____________________．，．（依据2：__________）．(2)当点位于点右侧时，如图2，判断线段之间的数量关系，并说明理由；(3)当点位于射线上时，请直接写出线段之间的数量关系．18．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．（1）求证：；证明：延长到点E，使是的中点（已知）（中点定义）在和中∴（________）（2）探究得出的取值范围是_______；【问题解决】（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．重难点05选用合适的方法证明两个三角形全等19．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知：如图，，为对角线上的两点，且，连接，，求证：．20．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．21．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点D在的延长线上，且．过点B作，与的垂线交于点E．(1)求证：；(2)若，，求的长．22．（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接．(1)求证：：(2)若的边长为6，求的长．23．（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上．(1)若，求证：．(2)如图2，若．①已知，求的度数．②点在上，若，求证：．重难点06与全等三角形性质与判定有关的多结论问题24．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③25．（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个26．（20-21八年级上·福建南平·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形．其中正确结论的个数是（

）．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个27．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知，．“筝形”的对角线、相交于点．如下结论：①是等边三角形；②；③；④点、分别在线段、上，且，则，其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）28．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．成立的结论有（填写所有正确结论的序号）重难点07结合尺规作图的全等问题29．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，中，，，请解决以下问题：(1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点E、F，交的延长线于点D（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）；(2)求证：；(3)若，求的长．30．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．要求：(1)三角形的三个顶点都在格点上．(2)与全等，且位置不同．31．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）32．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，回答下列问题：(1)在图中画出平面直角坐标系；(2)标出点关于轴的对称点，并写出点的坐标；(3)分别连接，，，得到，在平面内找一点使与全等，请直接写出点的坐标．重难点08利用全等三角形的性质与判定求解33．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，．[问题思考]（1）在图1中，求证：；[问题再探]（2）若，如图2，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．34．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，为边上的高．(1)如图1，若的平分线分别交，于点F，E；①当时，求的度数；②与相等吗？请说明理由．(2)如图2，若为的中点，交于点，，的面积为36，连接，则的面积为______．35．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．(1)如图1，若G为中点，，，求的长；(2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，，试猜想线段，和之间存在的数量关系，并说明理由．36．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求线段的长．37．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在与中，，过点作垂足为交的延长线于点，连接．(1)求证：平分；(2)若四边形的面积为，求的长．重难点09与全等三角形有关的动点问题38．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动．经过(

)秒后，与全等．A．2 B．3 C．2或 D．无法确定39．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，一动点C从点B出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点D在y轴上，D点随着C点运动而运动，且始终保持．当点C经过秒时，△OAB与△OCD全等．40．（20-21八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形中，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：

(1)______．（用的代数式表示）(2)当为何值时，?(3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．41．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．(1)________；（用含的代数式表示）(2)求证：；(3)当为何值时，为直角三角形？重难点10倍长中线模型42．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是．43．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．44．（24-25八年级上·浙江台州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．初步尝试

（1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为时，与为偏等积三角形．理解运用（2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长．综合应用（3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题：①的度数为；②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程．重难点11一线三垂直模型45．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(

)

A． B． C． D．46．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．

47．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上．(1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标．(2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标；(3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分．48．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，顶点在轴上．(1)如图，若于垂直轴，垂足为点．点坐标，点的坐标，求点坐标；(2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，猜想：与数量关系，并证明你的猜想；(3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于，在滑动的过程中，两个结论：为定值；为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并直接写出这个定值．（不需要证明）重难点12截长补短模型49．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、．(1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：．(2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数．50．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图1和图2，在四边形中，平分．(1)如图1，若，则可得直接得出．依据是___________．(2)如图2，求证；(3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：．51．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）点分别在等边的两边、所在的直线上，点为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、上移动时，的周长与等边的周长的关系．(1)如图，当点在边、上，且时，_________；(2)如图，当点在边、上，且时，（）中的结论仍然成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究与的关系；(3)如图，当分别在边、的延长线上，且时，请探究此时与的关系，并说明理由．52．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）【模型初现】（1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________【模型归纳】（2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明；【模型应用】（3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长．重难点13手拉手模型53．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明．（2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度．（3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．54．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点．(1)猜想：如图1所示，当时，则______；(2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数；(3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度．55．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．(1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______；(2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数．56．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为_______；②线段、之间的数量关系为_______；【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______．57．（23-24八年级上·广东珠海·期中）【模型定义】“手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为；线段与之间的数量关系是．【模型应用】（2）如图2，，，求证：．【拓展提高】（3）如图3，两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点P，则和的数量关系和位置关系是：．【深化模型】（4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有．（选填序号）重难点14其它模型58．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图（1），已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E．求证：；（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图（3），D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，若，试判断的形状，并说明理由．59．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．60．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：．（1）如图1，若，，则________；【模型应用】（2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________；【模型拓展】（3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I．①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明；②若，，请求出的长．61．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关