七年级数学上册-难点探究：数轴上的动点问题压轴题六种模型全攻略(解析版)

七年级数学上册-难点探究：数轴上的动点问题压轴题六种模型全攻略(解析版)一、模型总述数轴上的动点问题是七年级数学上册的核心难点，常以压轴题形式出现，核心考点包括：动点位置表示、两点距离计算、运动时间与路程关系、相遇/追及/距离最值等动态场景分析。解题关键：用含“运动时间t”的代数式表示动点位置，结合数轴性质（两点距离=右点坐标-左点坐标，绝对值表示距离）建立方程或代数式，求解未知量。二、六种核心模型及压轴题解析模型一：单动点与定点距离问题核心特征一个动点从数轴上某点出发，沿数轴正/负方向匀速运动，求运动t秒后与某定点的距离（或距离为特定值时的t）。公式工具若动点P从起点x_0出发，速度为v（正方向v>0，负方向v<0），则t秒后P的坐标为：x_P=x_0+vt；动点P与定点A(x_A)的距离：|x_P-x_A|。压轴题示例已知数轴上点A表示的数为-2，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t\geq0）。（1）用含t的代数式表示动点P对应的数；（2）当t为何值时，动点P与原点O的距离为5个单位长度？解析（1）动点P从-2出发，正方向运动速度为3，故t秒后坐标为：x_P=-2+3t；（2）原点O坐标为0，P与O的距离为|x_P-0|=|-2+3t|。根据题意列方程：|3t-2|=5，分两种情况解绝对值方程：①当3t-2\geq0（即t\geq\frac{2}{3}）时，3t-2=5，解得t=\frac{7}{3}；②当3t-2<0（即t<\frac{2}{3}）时，2-3t=5，解得t=-1（舍去，因t\geq0）。综上，t=\frac{7}{3}秒。模型二：双动点相遇问题核心特征两个动点从数轴上不同点出发，沿数轴同向或相向运动，求相遇时间（或相遇时的位置）。关键思路相遇时，两动点的坐标相等，据此列方程求解t。压轴题示例已知数轴上点A表示1，点B表示7，动点M从A出发，以每秒2个单位长度向正方向运动；动点N从B出发，以每秒1个单位长度向负方向运动，两点同时出发，设运动时间为t秒。（1）求t为何值时，M与N相遇；（2）相遇时，动点M对应的数是多少？解析（1）先表示t秒后两动点坐标：M从1出发正方向运动：x_M=1+2t；N从7出发负方向运动：x_N=7-1\timest=7-t。相遇时x_M=x_N，列方程：1+2t=7-t，移项得：3t=6，解得t=2秒；（2）将t=2代入x_M=1+2t，得x_M=1+2\times2=5，故相遇时M对应数为5。模型三：双动点追及问题核心特征两个动点沿数轴同向运动，速度快的动点从后方追赶速度慢的动点，求追及时的时间（或追及点位置）。关键思路追及时，两动点坐标相等；若起点不同，需注意“初始距离”与“速度差”的关系（追及时间=初始距离÷速度差）。压轴题示例已知数轴上点C表示-5，点D表示3，动点P从C出发，以每秒4个单位长度向正方向运动；动点Q从D出发，以每秒2个单位长度向正方向运动，P比Q晚出发1秒。（1）求P出发后经过多少秒追上Q；（2）追及时，两点对应的数是多少？解析（1）设P出发后运动时间为t秒，则Q的运动时间为(t+1)秒（因Q早出发1秒）。表示两动点坐标：x_P=-5+4t（P从-5出发，速度4）；x_Q=3+2(t+1)=2t+5（Q从3出发，速度2，运动时间t+1）。追及时x_P=x_Q，列方程：-5+4t=2t+5，移项得：2t=10，解得t=5秒；（2）追及时x_P=-5+4\times5=15，x_Q=2\times5+5=15，故两点对应数均为15。模型四：动点与线段中点问题核心特征动点运动过程中，涉及线段中点的计算（如“动点为某线段中点”“中点坐标为定值”），需结合中点公式分析。公式工具若数轴上两点A(x_A)、B(x_B)，则线段AB的中点M坐标为：x_M=\frac{x_A+x_B}{2}。压轴题示例已知数轴上点A表示-3，点B表示9，动点P从A出发，以每秒3个单位长度向正方向运动，设运动时间为t秒。（1）当t为何值时，P是线段AB的中点？（2）若动点Q从B出发，以每秒1个单位长度向负方向运动，两点同时出发，当PQ的中点为原点时，求t的值。解析（1）t秒后x_P=-3+3t，线段AB中点坐标为\frac{-3+9}{2}=3。若P是中点，则x_P=3，列方程：-3+3t=3，解得t=2秒；（2）两点同时出发，t秒后：x_P=-3+3t，x_Q=9-t（Q从9出发，负方向速度1）。PQ的中点坐标为\frac{x_P+x_Q}{2}，原点坐标为0，故列方程：\frac{(-3+3t)+(9-t)}{2}=0，化简分子：2t+6=0，解得t=-3（舍去，因t\geq0）。结论：不存在这样的t（或题目若调整方向，可重新分析）。模型五：动点与距离和/差最值问题核心特征动点在数轴上运动，求其到两个定点的距离和最小值或距离差最大值，需结合数轴几何意义分析。规律总结距离和最小值：若两定点为A、B，则动点在AB线段上（含端点）时，距离和最小，最小值为AB的长度；距离差最大值：动点在AB线段的延长线上时，距离差最大，最大值为AB的长度。压轴题示例已知数轴上点A表示2，点B表示8，动点P在数轴上任意移动（速度不限，可表示为x_P）。（1）求|x_P-2|+|x_P-8|的最小值及此时x_P的取值范围；（2）求|x_P-2|-|x_P-8|的最大值及此时x_P的取值范围。解析（1）|x_P-2|表示P到A(2)的距离，|x_P-8|表示P到B(8)的距离。当P在A左侧（x_P<2）：距离和为(2-x_P)+(8-x_P)=10-2x_P，随x_P增大而减小；当P在AB之间（2\leqx_P\leq8）：距离和为(x_P-2)+(8-x_P)=6，为定值；当P在B右侧（x_P>8）：距离和为(x_P-2)+(x_P-8)=2x_P-10，随x_P增大而增大。综上，最小值为6，此时2\leqx_P\leq8；（2）|x_P-2|-|x_P-8|表示P到A与到B的距离差。当x_P<2：差为(2-x_P)-(8-x_P)=-6；当2\leqx_P\leq8：差为(x_P-2)-(8-x_P)=2x_P-10，随x_P增大而增大，最大值为2\times8-10=6；当x_P>8：差为(x_P-2)-(x_P-8)=6。综上，最大值为6，此时x_P\geq8。模型六：动点与多线段长度关系问题核心特征多个动点运动，涉及三条及以上线段的长度关系（如“某线段长度是另一线段的2倍”“线段和差为定值”），需用t表示各线段长度，建立等式求解。压轴题示例已知数轴上点O为原点，点A表示-4，点B表示6，动点M从A出发，以每秒2个单位长度向正方向运动；动点N从B出发，以每秒3个单位长度向负方向运动；动点P从O出发，以每秒1个单位长度向正方向运动，三点同时出发，设运动时间为t秒（t\geq0）。当MN=2OP时，求t的值。解析第一步：用t表示各点坐标：x_M=-4+2t（M从-4出发，速度2）；x_N=6-3t（N从6出发，速度3）；x_P=0+1\timest=t（P从O出发，速度1）。第二步：计算MN和OP的长度：MN=|x_M-x_N|=|(-4+2t)-(6-3t)|=|5t-10|；OP=|x_P-0|=t（因P向正方向运动，x_P\geq0，绝对值可去掉）。第三步：根据MN=2OP列方程：|5t-10|=2t，分两种情况解绝对值方程：①当5t-10\geq0（即t\geq2）时，5t-10=2t，解得t=\frac{10}{3}；②当5t-10<0（即t<2）时，10-5t=2t，解得t=\frac{10}{7}。第四步：验证合理性：t=\frac{10}{3}和t=\frac{10}{7}均满足t\geq0，故均为有效解。三、解题通用步骤与易错点提醒（一）通用步骤定起点：明确各动点的初始位置（数轴上对应的数）；表坐标：用含t的代数式表示t秒后各动点的坐标（注意速度方向：正方向加，负方向减）；列关系：根据题意（距离、相遇、中点等），用坐标表示线段长度（绝对值）或等量关系，建立方程/代数式；解方程：求解方程，注意结合实际意义（t\geq0、坐标合理性）舍去无效解；验结果：代入验证，确保结果符合数轴几何意义。（二）易错点提醒速度方向：混淆正/负方向，导致坐标表达式错误（如负方向运动应减速度×时间，而非加）；距离绝对值：忽略两点距离需用绝对值表示（若未明确左右位置，需分情况讨论）；运动时间：双动点追及问题中，若出发时间不同，需统一运动时间（如“晚出发1秒”则时间为t-1，需注意t>1）；端点情况：距离和/差最值问题中，遗漏线段端点的取值（如中点、相遇点可能在端点处）。四、巩固练习（附答案提示）已知数轴上点