6.3.1 角的概念（教学设计）数学人教版2024七年级上册

本节课是2024年新人教版七年级上册数学第六章《几何图形初步》中的6.3.1角的概念，本节课的教学内容包括角的概念(含静态定义与动态定义)、角的四种表示方法、角的度量单位(度、分、秒)及其换算规则，同时涵盖钟面角的规律与计算方法，以及以正北、正南为基准描述物体相对位置的方位角相关知识.角是几何图形中的基本图形之一，是后续学习相交线、平行线、三角形、四边形等几何知识的重要基础.角的概念从静态和动态两个角度进行定义，有助于学生从不同视角理解角的本质.静态定义强调角的构成要素，即公共端点和两条射线；动态定义则体现了角的形成过程，从运动变化的角度深化对角的认识，蕴含了运动变化的观点和数形结合的思想.角的多种表示方法为准确描述角提供了便利，不同的表示方法适用于不同的情境，学生需要熟练掌握并能根据具体情况选择恰当的表示方式.角的度量单位度、分、秒是角的度量与运算的基础，其60进制的换算规则与时间的时、分、秒换算类似，学生可以通过类比进行理解和学习.钟面角和方位角是角在实际生活中的具体应用.钟面角问题可以让学生感受到数学与日常生活的紧密联系，通过探究时针与分针的运动规律，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.方位角在航海、航空、测量等领域有着广泛应用，学习方位角有助于培养学生的空间观念和应用意识.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解角的两种定义与四种表示法，掌握度分秒换算及角度计算，会算简单钟面角、定物体方位角.二、目标和目标解析(1)理解角的形成，理解角的概念，掌握角的两种定义形式和四种表示方法.(2)认识角的度量单位，会进行简单的换算和角度计算.(3)了解钟面角，能求简单的钟面角.(4)了解方位角，能确定具体物体的方位.对于目标(1),通过观察生活中的实例、动手画图以及对射线旋转过程的分析，学生能理解角的形成，深刻理解角的概念，熟练掌握角的两种定义形式和四种表示方法，并能在不同情境中准确运用这些表示方法来描述角.对于目标(2),通过阅读教材、教师讲解以及实际的换算练习，学生能认识角的度量单位度、分、秒，理解它们之间的换算关系，会进行简单的度、分、秒之间的换算以及角度的计算，包括角的和、差等基本运算.对于目标(3),通过对钟面结构的观察、分析时针与分针的运动规律以及相关例题的学习和练习，学生能了解钟面角的特点，掌握求简单钟面角的方法，能够计算给定时刻时针与分针所成的角度.对于目标(4),通过对实际场景中方位描述的分析、结合地图等工具进行学习，学生能了解方位角的概念，理解方位角的表示方法和应用场景，能根据给定的方位角信息确定具体物体的方位.三、教学问题诊断分析学生在小学对角的认知停留在直观层面，难理解射线旋转的动态定义，无法关联动静态角的图形；对角的不同表示方法，因适用条件和规范不清，易写错顶点字母、误用量角符号或漏标弧线；角度换算中，不熟练度分秒的60进制规则，难关联已有十进制运算知识，换算时易忘乘除60;计算钟面角时，不明确时针和分针的运动速度，无法正确分析位置关系，缺乏非整点时刻的解题思路；应用方位角时，因理解不透彻，难区分方向表述，且缺乏空间想象力和综合分析能力，无法准确确定物体方位.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解角的动态形成；规范用角的表示法；准确进行度分秒换算；算钟面角兼顾时针，定方位角辨方向.四、教学过程设计【思考】(1)观察下列日常生活中的常见物体，这些物体给我们的形象是什么?(2)它们有什么共同特征?拉近数学与生活的距离；二是借助“物体形象”与“共同特征”的提问，引导学生主动提炼角的直观属性，为后续理解角的静态、动态定义奠定感性基础，自然过渡到新知学习.(二)新知讲解知识点1角的概念及表示方法I角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.【注意】角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关.Ⅱ角的表示方法：角用符号“∠”来表示.1.用3个或1个大写字母表示：∠AOB或∠BOA或∠O2.用一个小写希腊字母加弧线表示：La3.用一个数字加弧线表示：∠1【思考】如图，能把∠a记作∠O吗?为什么?∠a还可以怎样表示呢?答：不能，因为图中以点O为顶点的角有3个，∠0分不清究竟表示哪个角.∠a可以表示为∠AOB.【小结】唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来表示这个角.Ⅲ角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.B【思考】如果射线OB继续旋转，还会形成什么角呢?1.如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角?2.继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角?0A(B)【小结】平角的两边形成一条直线，但不能说平角就是直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线.知识点2角的度量及换算我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°;把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1';把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1".1周角=360°;1平角=180°;1°=60′;1′=60”∠α的度数是48度56分37秒，记作：∠α=48°56'37"想一想：借助三角尺，我们能直接画出哪些度数的特殊角?以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.此外，还有其他度量角的单位制.例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制，等等.BBAi最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密(Ptolemaeus,约90—168)的《天文学大成》.托勒密在书中将圆周分为360等份，将1份记为1°,并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制.知识点3钟面角钟表在生活当中相当常见，瑞士的钟表更以其精密而闻名世界.在钟表当中，系，在不同的时刻它们有着一定的夹角，我们把这个夹角叫作钟面角(0度~180度),那么如何计算某一时刻的钟面角呢?时针360°,则每小时转30°,每分钟转0.5°.98分针60分钟转一圈，所以分针每分钟转6°知识点4方位角在航行、测绘等工作中，经常以正北、正在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向例如：射线OA的方向是北偏东45°;射线OB的方向是南偏西60°注意：当角度为45°时，可以表达为东南、东北、西南、西北方向【设计意图】借静态定义+判断练习、动态定义+动图思考夯实角的认知并区分易混概念，明确角的度量单位与换算关系，结合思考与拓展培养技能、拓宽视野，再从生活切入引导钟面角与方位角的知识应用，整体层层递进，深化概念理解、培养基础技能，同时提升实际应用能力与空间观念.(三)典型例题一、角的概念与表示例1下列能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是(D)ABCD【针对练习】1.如图，可以将角表示为∠AOB或∠O或∠1;2.如图，共有3个角，分别表示为∠ABD,∠DBC,∠ABC二、角的度量与换算例2(1)0.5°=30',0.15'=9”;【小结】角的换算：(1)高级单位化低级单位：1⁰=60',1'′=60”,1⁰=3600".(2)低级单位化高级单位：2.下列角度换算正确的是(B)A.72.5°=72°50′B.24.2C.18°18'18"=18.33°D.23°12'36"=23.48°三、钟面角例3(1)钟表在2点30分时，时针和分针所成的角是多少度?解：钟表在2点30分时，时针在“2”与“3”的最中间，而分针指向“6”,这时时针与分针的夹角应为30°÷2+30⁰×3=105°.(2)钟表在12点15分时，时针和分针的夹角是多少度?解：时针从12点初始位置(0°)转了15×0.5°=7.5°,15分时，分针转了15×6°=90°,指向数字“3”,此时两针夹角为分针位置角度减去时针偏移角度，【针对练习】1.8点整，时针与分针的夹角为120°,1点30分时，时针与分针的夹角为1352.(1)从8点到8点40分，时针转过的角度为20:(2)钟表在7:00时，时针与分针的夹角为150°;(3)钟表在4:30时，时针与分针的夹角为45°.3.钟表上1时25分，时针与分针所夹的角是多少度?答：时针与分针所夹的角是107.5°.四、方位角例4如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C、和海岛D方向的射线.解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°,即客轮B所在位置.类似地，你能在图中画出表示货轮C和海岛D方向的射线吗?【小结】表示方向的角的画法：①确定中心，以参照物为中心；②确定始边，以正北或正南方向为始边；③确定偏向，偏东或偏西；④确定角度，画出终边；终边所指的方向就表示物体所在的方向.【针对练习】1.如图，射线OA表示的方向是北偏西40°_;射线OB表示的方向是南A0B/在它的南偏东30°方向发现了海岛B.在图中画出射线OA,OB,OC.北A、C南1.下列说法：①由两条射线组成的图形是角；②角的边越长，角越大；③∠AOB与∠BAO表示的是同(D)A.180°B.160°C.150°4.如图，在三角形ABC中，点E在边AC上，连接BE.(2)写出以B为顶点的角：∠ABE,∠ABC,∠EB(3)图中共有7个小于平角的角，请全部列出.解：图中7个小于平角的角分别为∠A,∠C,∠ABE,∠ABC,∠EBC,∠AEB,∠BEC.5.下图是一个公园的示意图，下列说法：①孔雀馆在大门的北偏东50°方向；②猴山在大门的正北方向；③狮子园在大门的南偏东30°方向；④盆景园在大门的正东方向.其中正确的是①②④.(填序号)猴大山门东东【设计意图】本环节题目覆盖角的概念辨析、角度换算与比较、钟面角计算、角的表示