山东省青岛市四区联考2026届高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省青岛市四区联考2026届高三上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设A={x|x是小于9的正整数}，B={1,2,3,4,5}，则∁AB=(

)A.{6,7,8} B.{7,8,9} C.{0,6,7} D.{6,7}2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5与a7是方程A.41 B.42 C.43 D.443.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的体积为(

)A.3π6 B.3π34.设A(x1,y1)，B(x2,y2)为平面上两点，定义d(A,B)=|x1A.2 B.3 C.2 5.将函数f(x)=sin(2x−π3)的图象向左平移φ(0<φ<π2A.π12 B.π6 C.π46.棱长为2的正四面体在水平面上正投影的面积最大为(

)A.1 B.2 C.3 D.47.已知α∈(0,π4)，cosβ=2cos(2α+β)，A.1 B.12 C.13 8.已知函数f(x)满足f(x+y)=max{f(x),y}+min{f(y),x}，其中max{a,b}表示a，b中最大的数，min{a,b}表示a，b中最小的数A.14 B.15 C.16 D.17二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=13x3A.f(x)为奇函数

B.f(x)在(−2,0)上单调递增

C.f(x)的极小值为223

D.直线10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点E在棱A1B1上，若正方体的一个截面经过点A.该截面为梯形

B.A1E:EB1=3:1

C.点B1到该截面的距离为43

D.点E，11.记数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1A.an=2n−1

B.an+an+2>2an+1

C.数列{1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.2+i1−2i=

．13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知S=12(a2+14.在矩形ABCD中，M，N为边AB上的两个点，AM=MN=NB=BC，当P在线段CD上运动时，记∠APM=α，∠BPN=β，则tan(α+β)的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在多面体ABCDE中，四边形ABED为正方形，平面ABED⊥平面ABC.P为CD的中点，BC=2AB，(1)证明：平面ACD⊥平面CDE;(2)求平面CDE和平面BCE的夹角的大小．16.(本小题15分)在△ABC中，D为BC的中点，P为线段AD上一动点，BP=xBA+y(1)求x，y;(2)若B=π3，△ABC的面积为4317.(本小题15分欧拉函数φ(n)(n∈N∗)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：φ(4)=2(1,3与4(1)求φ(2)，φ(8)，φ(16);

(2)若an=φ(2n18.(本小题17分)已知函数f(x)=x−1ex，直线l为曲线y=f(x)(1)当t=1时，求l的方程;(2)若l与曲线y=f(x)相交于点(s,f(s))，且s<t，求t的取值范围．19.(本小题17分)已知[x]表示不超过实数x的最大整数.例如：[2.3]=2．(1)设x=32−[32]，求x3+3x2+3x的值;

(2)解关于x的方程：[3+4x]=3x−42参考答案1.A

2.D

3.B

4.A

5.C

6.B

7.C

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.i

13.π314.2+15.解：(1)因为四边形ABED为正方形，所以DA⊥AB，又平面ABED⊥平面ABC，

又AB=平面ABED∩平面ABC，所以DA⊥平面ABC，所以DA⊥AC

又P为CD中点，AP⊥CD，所以AC=AD=AB，由勾股定理得AB2+AC2=2AB2=BC2，所以AB⊥AC

故AB⊥平面ADC，所以AP⊥AB，AP⊥DE，又AP⊥CD，CD∩DE=D,CD,DE⊂平面CDE，所以AP⊥平面CDE，AP⊂平面ACD，

所以平面ACD⊥平面CDE

(2)以射线AB，AC，AD分别为非负x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=1

则P(0,12,12)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，E(1,0,1)，由(1)知AP=(0,12,12)是平面CDE的一个法向量

BE=(0,0,1)，BC=(−1,1,0)，设平面BCE的法向量为16.解：(1)因为D为BC的中点，所以BP=xBA+yBC=xBA+2yBD，

又A，P，D三点共线，所以x+2y=1，

解方程组x+2y=1xy=18可得：x=12，y=14；

(2)由(1)可得BP=12BA+14BC，又由S△ABC=1217.解：(1)

不超过2且与2互质的正整数为1，故φ(2)=1；

不超过8且与8互质的正整数为1,3,5,7，共4个，故φ(8)=4；

不超过16且与16互质的正整数为1,3,5,7,9,11,13,15，共8个，故φ(16)=8。

(2)由题意，an=φ(2n)。对于2n(n∈N)，不超过2n且与2n互质的正整数均为奇数，共有2n−2n−1=218.解(1)因为f′(x)=2−xex，

所以当t=1时，直线l的斜率为f′(1)=2−1e=1e，

又因为f(1)=0，所以切点为(1,0)，

所以直线l的方程为y−0=1e(x−1)，即x−ey−1=0;

(2)由(1)可知，曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线l方程为y−t−1et=2−tet(x−t)，

即y=(2−t)xet+t2−t−1et，

因为直线l与曲线y=f(x)相交于点(s,f(s))，且s<t，

所以关于x的方程x−1ex=(2−t)xet+t2−t−1et在(−∞,t)上有解，

令F(x)=x−1ex−(2−t)xet−t2−t−1et，F′(x)=2−xex−(2−t)et，

令h(x)=F′(x)=2−xex−(2−t)et，h′(x)=x−3ex，令h′(x)=0，解得x=3，

(i)当t>3时，x∈(−∞,3)时，h′(x)<0;x∈(3,t)时，h′(x)>0，

所以h(3)<h(t)=0，又h(2)=−2−tet>0，

所以∃x0∈(2,3)，使h(x0)=0，

当x∈(−∞,x0)19.解：(1)因为x=32−[32]=32−1，

又因为x+1=32，所以(x+1)3=2，所以x3+3x2+3x+1=2，

故x3+3x2+3x=1；

(2)设[3+4x]=3x−42=n(n∈Z)，所以x=2n+43，

所以3+4x=3+8n+163=8n+253，

因为[3+4x]=[8n+253]=n，所以n≤8n+253<n+1，解得−5≤n<−4.4，

所以n=−5，x=2n+43=−2；

(3)因为(x+1)−(x+13)=23，所以0≤[x+1]−[x+13]≤1，

因为[x+