第二十九章直线与圆的位置关系（复习讲义）（原卷版）

第二十九章直线与圆的位置关系（复习讲义）理解并掌握点与圆，直线与图的位置关系.点与圆、直线与圆分别有三种位置关系，它们是如何分类的？怎样用圆心到点或直线的距离d与半径r之间的数量关系来描述这三种位置关系？2.理解并掌握切线的性质和判定定理.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线长定理：过外一点所画的圆的两条切线的切线长相等3.理解并掌握正多边形与圆的关系。通过等分圆可以画圆的内接正多边形，回顾用尺规作圆的内接正方形和内接正六边形的方法，思考如何作圆的内接正八边形和正十二边形.知识点一点和圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d>r⇔点P在⊙O的外部.点在圆上点在圆周上d=r⇔点P在⊙O的圆周上.点在圆内点在圆的内部d<r⇔点P在⊙O的内部.知识点二直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点d>r⇔直线l与⊙O相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线l与⊙O相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线d<r⇔直线l与⊙O相交知识点三切线的性质及判定性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．知识点四正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．题型题型一判定点和圆的位置关系【例1】A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定【变式11】（2425九年级上·河北石家庄·期中）点是内一点，的半径为，点到圆心的距离为，通过点，长度是整数的弦的条数是条．【变式12】【变式13】(1)求的长；(2)如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长为10米，高为2米，当点E恰在中点时，①画出半圆O最高点H，并直接写出点H到线段的距离；②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞．并说明理由．题型题型二点和圆上点的最值问题【例2】（2425九年级上·河北唐山·期末）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（

）【变式21】（2425九年级上·河北邢台·期中）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（

）A． B． C． D．【变式22】【变式23】(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______；(2)在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）．题型题型三判断直线和圆的位置关系【例3】【变式31】【变式32】【变式33】(2)如图，当点运动至点处时，与半圆交于点，连接．②求弦的长．题型题型四证明切线【例4】(2)试判断与的位置关系，并说明理由．【变式41】

(1)求证：是的切线；【变式42】(1)求证：是的切线．【变式43】(1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①___________；②_____________．题型题型五切线的性质定理【例5】【变式51】A． B． C． D．【变式52】【变式53】题型题型六切线的性质和判定的综合应用【例6】【变式61】【变式62】

(1)求证：是的切线；【变式63】(1)如图2，旋转°时，与第一次相切．(2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明．(3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．题型题型七应用切线长定理求解【例7】【变式71】【变式72】【变式73】(1)证明：是的切线；题型题型八内切圆半径问题【例8】A．4 B．8 C．12 D．16【变式81】（云南·中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(

)A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【变式82】A．π B．2π C．3π D．4π【变式83】题型题型九内心应用【例9】【变式91】【变式92】【变式93】(1)求证：是半圆的切线；题型题型十外接圆内切圆综合【例10】（2425九年级上·河北邯郸·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（

）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5【变式101】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（

）A．64° B．120° C．122° D．128°【变式102】A．2 B． C． D．【变式103】题型题型十一圆与三角形结合【例11】【变式111】

【变式112】(2)求证：是的切线；【变式113】(1)求证：是的切线；(3)在（2）的条件下求圆的直径．题型题型十二圆与四边形结合【例12】【变式121】

（1）当半圆过点时，求半圆被边所截得的弓形的面积；（2）若为的中点，在半圆移动的过程中，求的最小值；【变式122】如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．【变式123】(2)当过点C时，①求证：与BC相切；②求扇形OPC的面积；题型题型十三圆与多边形结合【例13】【变式131】（2025·河北邯郸·三模）古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（）A． B． C． D．【变式132】（2526九年级上·河北石家庄·开学考试）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图①，正六边形边长为4且各有一个顶点在直线上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图②，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图②中：（2）中间正六边形的中心到直线的距离为．（结果保留根号）．【变式133】(1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为____．(2)求的长．(3)求线段与的长，并比较大小．基础巩固通关测基础巩固通关测1．（2425九年级上·河北唐山·期末）如果圆O的直径为8cm，点P到圆心O的距离为5cm，那么点P与圆O的位置关系是（

）A．点P在圆O外 B．点P在圆O上C．点P在圆O内 D．不能确定A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与相离 C．点B在圆内 D．点C在圆上A． B． C． D．A． B． C． D．6．（2425九年级上·河北唐山·期末）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为cm．②思考：点与的最大距离为，点与的最小距离为．(1)写出圆心M的坐标为___________；(2)这个圆的半径为___________；12．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点E是BC边上的动点，以C为圆心，CE长为半径作圆C，交AC于F，连接AE，EF．（1）求AC的长；（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．②求的半径．14．（2425·河北·二模）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB为直径的半圆切CD于E，P为CD上的动点（不与C、D重合），连结AP交半圆于F，连结BP、BF，如图甲所示．(2)P点在CD上移动，还有能构成全等三角形的情况吗？若有，请说出还有几次，并在图乙中用尺规作出每次构成全等三角形时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；若没有，说明理由．能力提升进阶练能力提升进阶练1．（2425九年级上·河北秦皇岛·期末）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（

）A． B． C． D．A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定3．（2425九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为5，点O到直线l的距离等于3，则与直线l公共点个数为（）A．0个 B．