第03讲概率综合（古典概率独立事件概率条件概率及全概率）（复习讲义）

第03讲概率综合（古典概率、独立事件概率、条件概率及全概率）目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 2TOC\o"13"\h\u02体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 3知能解码 3知识点1随机事件 3知识点2对立事件与互斥事件及概率的基本性质 4知识点3古典概型的概率计算 6知识点4独立事件的判断及独立事件的乘法公式 6知识点5条件概率 7知识点6全概率公式 8知识点7贝叶斯公式 8题型破译 9题型1事件的判断 9题型2古典概型的概率计算 10题型3判断互斥事件与对立事件 12题型4独立事件的判断 13题型5独立事件的乘法公式 15题型6条件概率的计算 18题型7全概率公式及应用 21题型8贝叶斯概率公式及应用 2504真题溯源·考向感知 2905课本典例·高考素材 34考点要求考察形式2025年2024年2023年（1）用频率估计概率（2）计算古典概型问题的概率（3）独立事件的乘法公式（4）利用全概率公式求概率单选题填空题解答题北京卷T18（14分）北京卷T18（14分）北京卷T18（14分）考情分析：北京卷中概率综合题目通常作为解答题出现，分值在14分左右，属于“中档能力题”。核心考查古典概型、事件的独立性与互斥性、条件概率以及全概率公式的应用。试题常以学生熟悉的实际生活场景为背景（如抽奖、比赛、选科等），构建多步骤的概率模型，强调对概率基本概念的理解和复杂情境的分析能力。聚焦于区分“互斥”与“独立”、条件概率的识别与计算，以及利用全概率公式分解复杂事件，是主要的得分点和易错点。复习目标：1.理解样本空间与随机事件的含义，掌握事件间的包含、相等、互斥与对立关系。2.理解古典概型的特征，会计算简单古典概型事件的概率。3.理解事件的独立性概念，掌握独立事件概率的乘法公式，并能用其解决实际问题。4.理解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，能区分P(A|B)与P(B|A)。5..理解全概率公式的推导思想，掌握全概率公式的基本模型，能利用该公式计算复杂事件的概率。6.初步了解贝叶斯公式（选学或作为全概率公式的推论），并能在简单情境中应用。知识点1随机事件1．随机试验（1）在一定条件下必然发生（出现）的现象称为确定性现象.（2）在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能会出现哪种结果，我们把这种现象称为随机现象．（3）对确定进行试验、观察或观测称为随机试验，随机试验一般用大写字母E表示．2．三种事件的定义随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件自主检测一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是（

）A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．以上选项均不正确【答案】C【详解】一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动是随机的等可能，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是随机事件.故选：C.知识点2对立事件与互斥事件及概率的基本性质1．事件的关系和运算含义符号表示包含若事件A发生，则事件B一定发生B⊇A（或A⊆B）相等事件B包含事件A，事件A也包含事件BA＝B并事件（和事件）事件A与事件B至少有一个发生A∪B（或A＋B）交事件（积事件）事件A与事件B同时发生A∩B（或AB）互斥（互不相容）事件A与事件B不能同时发生A∩B＝∅互为对立事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生A∪B＝Ω，且A∩B＝∅2．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P（A性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）=1，性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）=推广：如果事件A1，A性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1−P（A），P（A）＝性质5：如果A⊆B，那么P（A特别地，对任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P（性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）=显然，性质3是性质6的特殊情况.自主检测1将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（

）A．至多一次正面向上 B．两次正面都向上C．只有一次正面向上 D．两次都没有正面向上【答案】D【详解】将一枚均匀硬币连续抛掷两次，有：正正，正反，反正，反反，共4种可能，事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正，对A：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；对B：事件“两次正面都向上”即：正正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；对C：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；对D：事件“两次都没有正面向上”即：反反，与事件“至少一次正面向上”是对立事件.故选：D.自主检测2设A,B是一个随机试验中的两个事件，记B为事件B的对立事件，若PA=0.8,PB=0.6，且A与B【答案】0.88【详解】由题意知P(B)=0.4,P(AB)=P(A)P(B)=0.32,所以PA+B故答案为：0.88知识点3古典概型的概率计算（1）定义：设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同．当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称PA=mn为事件A（2）特点：①样本空间中只有有限个样本点；②每个样本点出现的可能性相等．自主检测一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，H，O，N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别.从袋子中随机摸出2个小球，所标元素能组成“NO（一氧化氮）”的概率是.【答案】1【详解】从中摸出2个小球，共有：H,能组成“NO（一氧化氮）”的只有1种，故所求概率为16故答案为：1知识点4独立事件的判断及独立事件的乘法公式1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即PAB=PA如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立.2．独立事件的判定：一般地，当P(AB)=P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立（简称独立)．事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．3．相互独立事件的概率一般地，当nn>2个事件A1,A2,⋯,自主检测在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为13，34，2【答案】11【详解】设“开关a，b，c闭合”分别为事件A，B，C，则灯亮这一事件为ABC∪ABC∪ABC，且A，B，所以P=P(ABC)+P(ABC)+P(AB故答案为：1136知识点5条件概率条件概率的定义及性质条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为PA|B当PB>0时，我们有PA|B=P类似地，当PA>0时，A发生时B发生的条件概率为PB|A=（1）0≤PB|A（2）如果B和C是两个互斥事件，那么PB∪C|A自主检测抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，则在事件M发生的条件下，事件N发生的概率是．【答案】4【详解】抛掷2颗骰子的试验有62个基本事件，其中事件M有30个基本事件，事件MN则PM=6×562故答案为：4知识点6全概率公式全概率公式（1）一般地，设A1，A2，A3⋯An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪A3⋯∪（2）全概率公式的理解全概率公式的直观意义：某事件B的发生有各种可能的原因Ai（i=1,2,3,4⋯n），并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件B是由原因Ai所引起的，且事件Ai发生时，BAi必同时发生，则P(B)“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率P(BAi)，或已知各原因Ai发生的概率P(Ai)及在Ai发生的条件下B发生的概率P(B|A自主检测班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水，绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为.【答案】0.205/41【详解】设事件A为“绿植枯萎”，事件B为“班干部浇水”，则PA|B=0.15,PA|则PA故答案为：0.205.知识点7贝叶斯公式贝叶斯公式设A1,A2,⋯,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且P自主检测贝叶斯公式：PAiB=PAiPBAij=1nPAjP【答案】3【详解】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件N1，N2，N3分别表示“这个人来自A，B则PN1=618PM故PM所以PN故答案为：311题型1事件的判断例11下面四个选项中，是随机现象的是（

）A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹【答案】A【详解】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象.故选：A例12对满足A⊆B的非空集合①“若任取x∉A，则②“若x∉A，则③“若任取x∈B，则④“若x∉B，则其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】解：因为满足A⊆B的非空集合对于①②，当集合A是集合B的真子集时，显然存在一个元素在集合B中，不在集合A中，因此“若x∉A，则对于③，任取x∈B，当集合A是集合B的真子集时，对于④，“若x∉B，则故正确的命题个数为2个.故选：C【变式训练11】已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（

）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【答案】C【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．故选：C．【变式训练12】有两个事件，事件A:抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件B:367人中至少有2人生日相同.下列说法正确的是（

）A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【答案】C【解析】判断事件A、B的类型，由此可得出结论.【详解】对于事件A，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件；对于事件B，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件.故选：C.【点睛】本题考查事件类型的判断，属于基础题.题型2古典概型的概率计算例21甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（）A．14 B．13 C．12【答案】D【详解】将4人全排列共有A4若甲在排首，将其余3人全排列共有A33=6因此甲不在排首的概率为1824故选：D例22连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，m，则这5个数的第60百分位数为4.5的概率为（

）A．23 B．12 C．13【答案】C【详解】因为5×60%=3，所以这5个数的第60百分位数是第3个数与第4个数的平均数，又第60百分位数是4.5=4+52，所以第3个数是4，第4个数是所以m≥5，即m=5或m=6，而抛掷一枚骰子一次可能出现的点数有6种情况，所以m=5或m=6的概率P=2即这5个数的第60百分位数是4.5的概率为13故选：C.【变式训练21】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，则“m≠2n”的概率为（

）A．23 B．56 C．34【答案】D【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有6×6=36种基本事件，设A为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，则“m=2n”，则A中共有基本事件3种：2,1,4,2,所以PA=1−112=故选：D.【变式训练22】已知m∈N*，从1，2，…，m中随机取出两个数，若两数之和为3的概率为121，则m=A．6 B．7 C．20 D．21【答案】B【详解】从m个正整数中任意取出两个不同的数共有Cm2取法，其中两数之和为3的取法为：故两数之和等于3的概率为1Cm2，所以1所以m−7m+6=0，又因为m∈N故选：B．题型3判断互斥事件与对立事件例31已知事件A，B，若p：A与B互斥，q：A与B互为对立事件，则A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，所以p⇒q,q⇒p，即p是故选：B.例32从装有除颜色外其他完全相同的2个红球（编号为1、2）和2个白球（编号为1、2）的口袋内任取2个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（

）A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球【答案】C【详解】从口袋中任取2个球，所有的情况有：2个红球、1个红球1个白球、2个白球，对于A选项，至少有1个白球包含：1个红球1个白球、2个白球，A选项中的两个事件不是互斥事件；对于B选项，至少有1个红球包含：2个红球、1个红球1个白球，B选项中的两个事件的交事件为：1个红球1个白球，故B选项中的两个事件不是互斥事件；对于C选项，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件是互斥且不对立；对于D选项，至少有1个白球，都是红球，这两个事件为对立事件.故选：C.【变式训练31】从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件A=“抽到小于3的数”，事件B=“抽到大于2的数”，事件C=“抽到大于1的奇数”，则（

）A．A和B不互斥 B．A和B互斥且不对立C．A和C不互斥 D．A和C互斥且不对立【答案】D【详解】这个试验的样本空间为1,2,3,4,5,A=则A和B互斥且对立，A和C互斥且但不对立．故选：D.【变式训练32】从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（

）A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球【答案】B【详解】对于A，事件A与事件B可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A与事件B不是互斥事件，故A错误；对于B，事件A与事件B不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A与事件B互斥却不互为对立，故B正确；对于C，事件A与事件B可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A与事件B不是互斥事件，故C错误；对于D，事件A与事件B不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A与事件B是互斥事件也是对立事件，故D错误．故选：B．题型4独立事件的判断例41投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（

）A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件【答案】D【详解】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；由题意得PA=由于PAPC=1由于PBPC=2故选：D例42抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件D，则下列说法错误的是（

）A．A与B不互斥 B．A与D相互独立C．A与C相互独立 D．C与D互斥但不对立【答案】C【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反），共8种结果，事件A“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反反），（正反反），共4种结果，事件B“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果，事件C“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果，事件D“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果，对于A选项，事件A与事件B可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，故A正确；对于B选项，PA=48=则A与D相互独立，故B正确；对于C选项，PC=38，PAC对于D选项，C和D互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，故D正确.故选：C.【变式训练41】数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件A=“两次掷出的点数之和是6”，事件B=“第一次掷出的点数是奇数”，事件C=“两次掷出的点数相同”，则（

）A．PA=16 B．A与B相互独立 C．B与C相互独立 D．【答案】C【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为1,5,由乘法公式可得所以可能情况为36种，所以PA对于选项B：PA=536，PB对于选项C：PB=36=所以P(BC)=P(B)⋅P(C)，所以B与C相互独立，故选项C正确；对于选项D：PA=536，PC故选：C.【变式训练42】假定生男生女是等可能的，设事件A：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件B:一个家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（

A．①中事件A与事件B相互独立､②中的事件A与事件B相互独立B．①中事件A与事件B不相互独立､②中的事件A与事件B相互独立C．①中事件A与事件B相互独立､②中的事件A与事件B不相互独立D．①中事件A与事件B不相互独立､②中的事件A与事件B不相互独立【答案】B【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}A={(男,女)，(女,男)}，B={(男,男)，(男,女)，(女,男)}，则P(A)=24=12，P(B)=34若家庭中有三个小孩，样本空间为Ω={(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)}，共8种情况，A={(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)}，B={(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)}，AB={(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)}，P(A)=68=34，P(B)=48故选：B题型5独立事件的乘法公式例51甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为13,1A．115 B．13 C．815【答案】C【详解】已知甲能破译密码的概率为13，则甲不能破译密码的概率为2已知乙能破译密码的概率为15，则乙不能破译密码的概率为4密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，所以密码不能被成功破译的概率为23故选：C例52某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为13、14．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（A．112 B．512 C．1144【答案】D【详解】因为每一关都有两次闯关机会，所以通过第一关的总概率为：P1通过第二关的总概率为：P2所以选手能进入第三关的概率为：P3故选：D.例53甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙的概率为23，乙胜丙的概率为(1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率；(2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率；(3)求比赛结束后，甲获胜的概率．【答案】(1)13(2)1(3)1736【详解】（1）记甲、乙、丙第i局比赛获胜分别为事件Ai记比赛两局结束且甲获胜为事件M，则M=A所以PM故进行两局比赛且甲获胜的概率为13（2）记第一局由甲、乙对战两局后比赛结束为事件N，则N=所以P=1则两局后比赛结束的概率为12（3）设比赛结束后，甲获胜的概率为P1则P1则比赛结束后，甲获胜的概率为1736【变式训练51】甲、乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙投篮命中的概率分别为23，45，且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则X=1的概率是（A．15 B．25 C．1330【答案】B【详解】由题意，X=1表示甲乙只有一人投中，所以PX=1故选：B【变式训练52】甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（p>0，q>0，p+q=0.3）.到达日期5月13日5月14日5月15日P0.40.40.2P0.30.20.5Pp0.7q若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为p1，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为p2，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为p3A．p1>p2>p3 B．【答案】C【详解】由题意知：p>0，q>0，p+q=0.3，可得q=0.3−p，则p1p2p3因为0<p<0.3，所以0.29−0.2p<0.29<0.3<0.34<0.34+0.2p，所以p3故选：C.【变式训练53】2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训．(1)已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率；(2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为34【答案】(1)3(2)17【详解】（1）记A部门的3名领导为a1,a2,从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有：ab1共30种，这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：a1所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为1830（2）记C=“每位员工经过培训合格”，Ai=“每位员工第i轮培训达到优秀”（则PA1=依题意，PC=P=3所以每位员工经过培训合格的概率为1724题型6条件概率的计算例61设随机事件A，B相互独立，已知PA=15，PBA．1920 B．920 C．25【答案】C【详解】因为PA=1由PBA=因为事件A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)，即120=1所以PA+B故选：C.例62从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)=（

）A．512 B．514 C．521【答案】A【详解】第一次抽到3或6的概率为27，所以P(A)=当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况；当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况，所以P(AB)=4+1P(B|A)=P(AB)故选：A.例63甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为13，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为23；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为(1)求甲同学第二局比赛获胜的概率；(2)在比赛三局即结束的条件下，求乙同学取得比赛最终胜利的概率.【答案】(1)5(2)1【详解】（1）第一局乙同学获胜的概率为13，则第一局甲同学获胜的概率为对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为23，即甲同学在下一局获胜的概率为1若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为13，即甲同学在下一局获胜的概率为2故甲同学第二局比赛获胜的概率P=1（2）比赛三局即结束，则甲连胜三局或乙连胜三局，设事件A为“比赛进行三局即结束”，事件B为“乙取得比赛最终胜利”则PA=1故PB∣A【变式训练61】已知A，B是样本空间Ω中的随机事件，0<PB<1，若PA+B=12，A．14 B．38 C．15【答案】B【详解】设PB=a，则而PA∣B=因为PA+B所以151−a+a=12故选：B【变式训练62】从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则PBA=A．23 B．1318 C．79【答案】B【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个，所以事件A发生的概率PA记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法；若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法；所以PAB根据条件概率公式，PB故选：B.【变式训练63】现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为25，乙获胜的概率为3(1)求比赛只需打两局的概率；(2)求甲在比赛中获胜的概率；(3)已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率．【答案】(1)13(2)44(3)16【详解】（1）比赛需打两局，则这两局甲全赢或乙全赢，故比赛需打两局的概率为25（2）若甲在比赛中获胜，则甲可以前两局获胜，也可以打三局，最后一句甲胜前两局甲赢一局，故甲在比赛中获胜的概率为(2（3）记事件A：甲在第一局中获胜，事件B：甲赢得比赛，则P(A)=25，故PB【变式训练64】现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为p(0<p<1)，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q(0<q<1)，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片．(1)已知p=0.8,q=0.4，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量；(2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示）【答案】(1)88000枚(2)p【详解】（1）设事件A：芯片合格，记X为该生产批次合格芯片的数量，则每个芯片通过测试的概率为P(A)=p+(1−p)q=0.8+(1−0.8)×0.4=0.88，于是X~B10则E(X)=10所以预估合格芯片的数量为88000枚．（2）记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ．由题意得P(A)=P(B)+P(BP(AB)=P(B)P(A∣则P(B∣故所求概率为pp+(1−p)q题型7全概率公式及应用例71篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，30%，且这三个部门的员工人数之比为4:4:2，现从这三个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（

）A．0.63 B．0.54 C．0.45 D．0.36【答案】D【详解】设事件A为该员工喜欢篮球，事件B1，B2，则PB1=0.4，P且PAB1故由全概率公式可得P=0.4×0.4+0.4×0.35+0.2×0.3=0.36，故选：D例72某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为34.若第i次降落成功，则第i+1次降落成功的概率为45；若第i次降落未成功，则第i+1次降落成功的概率为23(1)求该操作员第二次降落成功的概率；(2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望；(3)设第i次降落成功的概率为Pi，求证：3【答案】(1)23(2)分布列见解析，91(3)证明见解析【详解】（1）设事件Ai=“第i次降落成功”，则Ai=“第由全概率公式得P=PA该操作员第二次降落成功的概率为2330（2）由题意得，PA1=34，PX的所有取值为0，1，2，P(X=0)=PAP(X=1)=P=P=3P(X=2)=PA所以X的分布列为X012P1193所以E(X)=0×1（3）由题意得P1当i≥2时，P=P即Pi整理得Pi−10所以数列Pi−1013是以故Pi−1013=−所以34【变式训练71】某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为89，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为13．已知输入的问题表达不清晰的概率为14A．23 B．34 C．45【答案】B【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件B，则PA=1−14=34根据全概率公式，PB故选：B．【变式训练72】2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为310,2(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得1分.设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在n=4和n=5之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.【答案】(1)59(2)分布列见解析，E(3)甲应选n=5，理由见解析【详解】（1）设B=“甲同学所选的题目回答正确”，Ai=“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”i=1,2,3，则Ω=根据题意得PA1=则PB所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为59100（2）X的可能取值为−3,1,5,9，PX=−3PX=1PX=5PX=9则X的分布列为：X3159P13131所以EX（3）当n=4时，Y为甲答对题目的数量，由题意可知Y∼B8,p，其中p=故当n=4时，甲获奖励的概率P1当n=5时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，故当n=5时，甲获奖励的概率P2P2−P因为p=59100，所以126p−70>0，即所以甲应选n=5.【变式训练73】一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1，第1次摸到红球的概率为P2，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4，求P1，P(3)对于事件A,B,C，试根据（2）写出PA，PBA，P【答案】(1)7(2)724，710，2(3)PABC【详解】（1）记事件“第i次摸到红球”为Aii=1,2,3,⋯,10，则第2次摸到红球的事件为PA1=710，P由全概率公式，得PA2=P（2）由已知得P1=PA1A2AP3=PA2AP4=PA（3）由（2）可得P1=P可猜想：P证明如下：由条件概率及P(A)>0，PAB得PBA=所以PA题型8贝叶斯概率公式及应用例81已知贝叶斯公式：P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B)．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有3A．0.32% B．3.2% C．0.4%【答案】B【详解】记“视频是AI合成”为事件A，记“鉴定结果为AI”为事件B，则PA由贝叶斯公式得：P(故选：B.例82有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为12，抛硬币B正面向上的概率为p1(1)若p=3(2)若p=3(3)如果当连续抛硬币k次（k≥1，k∈N+）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过α0<α<12，则k的最小值为多少？[提示：用【答案】(1)5(2)13(3)log【详解】（1）设事件H表示抛一次硬币正面向上，事件A表示选中硬币A，事件B表示选中硬币B，则Ω=A∪B且A与B互斥，根据题意得PA=12，P由全概率公式得PH因此抛一次硬币正面向上的概率为58（2）设H1表示第一次正面向上，H则用贝叶斯公式结合（1）得PAH1又PH2A给定硬币类型，抛掷独立，故PH2H因此，所求概率为1320（3）事件F：“连续抛k次全为正面向上”，则“犯错误的概率”即为PA硬币A连续k次正面向上的概率PF硬币B连续k次正面向上的概率PF根据贝叶斯公式PA此值不超过α，即PAF=12由0<α<12，得12<1−α<1，所以取自然对数并由于ln12p<0因此，k的最小值为不小于该值的最小整数：kmin【变式训练81】某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别为0.2、0.1、0.3、0.4．如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分别为13、112、【答案】0.5【详解】设事件A表示“迟到”，事件B1表示“乘火车”，事件B2表示“乘轮船”，事件B3表示“乘汽车”，事件B4表示“乘飞机”，根据题意，有PB1=0.2，PB2=0.1，PB3=0.3【变式训练82】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为“良好”和“不够良好”两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100例（称对照组），得到如下表数据：不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人，事件A表示“选到的人卫生习惯不够良好”，事件B表示“选到的人患有该疾病”．PBAPBA与P【答案】证明见解析【详解】由贝叶斯公式得，PBA=则PB同理，可得PB所以R==P【变式训练83】已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、乙两个厂家提供的零件份额比为3:2，零件的优质品率分别为0.9和0.8.(1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率；(2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率.【答案】(1)0.14(2)43【详解】（1）解：设事件A1:“零件由甲厂提供”，事件A2:“零件由乙厂提供”，事件根据题意，可得PA1=P(B|A故P(AP(A由全概率公式，得PB所以从甲、乙两家提供的零件中任取一件，该零件为非优质品的概率为0.14.（2）解：设事件C为“非优质品零件可修复为优质品零件”，方法一

由已知，得PCA1故PAPA所以PBC所以PC所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为4370方法二

由已知，得PCA1由贝叶斯公式，得PA同理，PA故PC所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为43701．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1【答案】(1)4(2)0.35，E(3)p【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p=80（2）设A为“从甲校抽取1人做对”，则PA=0.8，设B为“从乙校抽取1人做对”，则PB=0.75，设C为“恰有1人做对”，故P依题可知，X可取0,1,2，PX=0=PAB=0.05故X的分布列如下表：X012P0.050.350.6故EX（3）设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点则有100%未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故PD+141−P(D)同理有，0.85p2+故p12．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中【答案】(1)1(2)(i)0.122万元；(ii)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中EX【详解】（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得PA（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得Pξ=0P(ξ=1.6)=601000=P(ξ=3)=10故E故EX（ⅱ）由题设保费的变化为0.4×4故EY从而EX3．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天++0++0+0++00+第21天到第40天0++0++0+0++0+用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案】(1)0.4(2)0.168(3)不变【详解】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：16（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.4．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】(1)0.4(2)7(3)丙【详解】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3P(X=0)=P(AP(X==0.4P(X==0.4P(X=3∴X的分布列为X0123P3872∴E(X)=0×（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为5．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111.设X是检测的总次数，求X分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）E(Y)>E(X)【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，则X的分布列:X2030P110所以E(X)=20×1（2）由题意，Y可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为P1=20则E(Y)=25×46．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为3（Ⅱ）1336,（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为200200该校女生支持方案一的概率为300300（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：(1（Ⅲ）p【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.一、单选题1．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（

）．A．只有2次出现反面 B．至少2次出现正面C．有2次或3次出现正面 D．有2次或3次出现反面【答案】D【详解】连续抛掷一枚硬币3次，正面出现的次数有0,1,2,3，因此事件“至少2次出现正面”的对立事件是“正面出现0次或1次”即“有2次或3次出现反面”，故选：D．二、填空题2．已知事件A与事件B相互独立，若PA=0.3，PB=0.6【答案】0.42/21【详解】PA故答案为：0.423．连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则PBA=，【答案】16【详解】设第一次掷骰子出现的点数为x，第二次掷骰子出现的点数为y，两次掷骰子的情况为x,y，共有6×6=36种可能，则事件A中包含的基本事件为1,1,事件B中包含的基本事件为2,1,事件AB中包含的基本事件为2,1，共1个，则PA=66×6=故答案为：16；1三、解答题4．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与2【答案】1【详解】解：恰好命中1次，有“甲命中乙未命中”和“甲未命中乙命中”两种情况，所以恰好命中1次的概率P=15．盒中有4个红球、5个黑球．随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，求第二次取出的是黑球的概率．【答案】5【详解】设第一次取出的球为黑球为事件A，第一次取出的球为红球为事件B，第二次取出的球是黑球为事件C，则pA=54+5=5由全概率公式可得：p6．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人.一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.【答案】31【详解】解：记事件A1:所选一名射手为一级射手，事件A2记事件B:所选的一名射手能通过选拔进入比赛，则PA1=PBA1=9由全概率公式可得P=17．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2：3.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率.【答案】0.868【详解】解：设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，则Ai={提出的一台是第i车间生产的产品则B=A由题意可得P(A1)=0.4，P(A2由全概率公式可得PB8．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【答案】(1)0.0345(2)甲车间生产的概率为：2569，由乙车间生产的概率为：2869【详解】（1）记事件A表示A车间生产的产品，记事件B表示B车间生产的产品，记事件C表示C车间生产的产品，记事件D表示抽取到次品，则PAPD取到次品的概率为P=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：P此次品由乙车间生产的概率为：P此次品由丙车间生产的概率为：P9．下图表示由若干个某种电子元件组成的电路.已知每个元件的可靠性是0.9，且各个元件的可靠性是彼此独立的，求下列电路畅通的概率.【答案】0.9;【详解】图（1）中只有一个元件，电路畅通的概率为P1图（2）中两个元件是串联的，只有当两个元件都正常可靠时，电路才畅通.所以图（2）中电路畅通的概率为P图（3）中三个元件是串联的，只有当三个元件都正常可靠时，电路才畅通.所以图（3）中电路畅通的概率为P10．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：(1)甲抽到难签的概率；(2)甲、乙都抽到难签的概率；(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率；(4)甲、乙、丙都抽到难签的概率．【答案】(1)2(2)2(3)4(4)1【详解】（1）甲抽到难签的概率为P1（2）甲、乙都抽到难签的概率为P=4（3）甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为P=6（4）甲、乙、丙都抽到难签的概率为P=411．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过检查．(1)求第一天通过检查的概率；(2)求前两天全部通过检查的概率．【答案】(1)35(2)1【详解】（1）因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，所以第一天通过检查的概率为P1（2）由题意，第二天有8件正品，则第二天通过检查的概率为P2=C12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与2名全是男生；(2)至少有1名男生与2名全是男生；(3)至少有1名男生与2名全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．【答案】(1)是互斥事件；不是对立事件(2)不是互斥事件(3)是互斥事件；是对立事件(4)不是互斥事件【详解】（1）因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．（2）因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．（4）由于选出的是“1名男生1名女生”时，