重难点培优01插空捆绑隔板分配涂色常见题型（复习讲义）（原卷版）

重难点培优01插空、捆绑、隔板、分配、涂色常见题型目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 7题型一相邻问题与不相邻问题（★★） 7题型二相同元素隔板法分配问题（★★★） 9题型三不同元素分组分配问题（★★★） 10题型四涂色问题（★★★） 1103实战检测・分层突破验成效 13检测Ⅰ组重难知识巩固 13检测Ⅱ组创新能力提升 151.相邻问题相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数不相邻问题1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数2.相同元素隔板法分配问题隔板法：解相同元素的组合问题相同元素的组合问题，即有若干组元素，每组元素相同，将这些元素排成一排的计数问题典型问题：相同小球放入不同盒中，即个相同元素分成组（每组的任务不同）的问题.①当每组至少含一个元素时,5个相同的小球放入3个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求3个不同的盒子，只需2个隔板即可放2个隔板可以将5个小球分为3组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？②当每组至少含一个元素时,6个相同的小球放入3个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求3个不同的盒子，只需2个隔板即可放2个隔板可以将6个小球分为3组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？③当每组至少含一个元素时,7个相同的小球放入4个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求4个不同的盒子，只需3个隔板即可放3个隔板可以将7个小球分为4组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？④当每组至少含一个元素时,个相同的小球放入个不同的盒中，一共有多少种放法？①任意分组时,5个相同的小球放入3个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求3个不同的盒子，只需2个隔板即可放2个隔板可以将5个小球分为3组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？②任意分组时,6个相同的小球放入3个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求3个不同的盒子，只需2个隔板即可放2个隔板可以将6个小球分为3组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？③任意分组时,7个相同的小球放入4个不同的盒中，一共有多少种放法？题干需求4个不同的盒子，只需3个隔板即可放3个隔板可以将7个小球分为4组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？④任意分组时,个相同的小球放入个不同的盒中，一共有多少种放法？3.不同元素分组分配问题分组问题与分配问题Ⅰ：将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题.分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组.将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题.分配问题共分为2类：定额分配、随机分配.区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配.Ⅱ：分组问题的常见形式及快速处理方法①非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是否分完，其分法种数为：如：6个不同的球分为3组，且每组数目不同，有多少种情况？如：6个不同的球分为3组，且每组数目相同，有多少种情况？4.涂色问题秒杀策略：涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。模型演练模型1：如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种。(用数字作答)模型2：如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()DDBCAA.96 B.84 C.60 D.48选B。题型一相邻问题与不相邻问题【技巧通法·提分快招】相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数不相邻问题1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数1．（2025·全国·调研）为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（

）A．120 B．360 C．180 D．902．（2025·天津滨海新·联考）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（

）A．8种 B．12种 C．20种 D．24种3．（2025·全国·模拟预测）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（

）（

）A．24 B．48 C．144 D．2404．（2025·天津·联考）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（

）①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种③甲乙不相邻的排法种数为种④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种A．个 B．个 C．个 D．个5．（2025·天津滨海新·联考）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？(3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？(4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？6．（2025·天津滨海新·调研）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有种.7．（2025·天津和平·调研）在某颁奖仪式上，队员人（其中人为队长）)，教练组人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有（

）8．（2025·天津南开·模拟预测）有7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名.(1)若老师站在最中间的站法有多少种?(2)若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种?(3)若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种?(4)现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种?题型二相同元素隔板法分配问题【技巧通法·提分快招】隔板法：解相同元素的组合问题相同元素的组合问题，即有若干组元素，每组元素相同，将这些元素排成一排的计数问题典型问题：相同小球放入不同盒中，即个相同元素分成组（每组的任务不同）的问题.1．（2025·天津南开·模拟预测）（1）将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子.把球全部放入盒内，共有多少种放法？（2）将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？（3）将11个相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.若要求每个盒至少放一个小球，有多少种不同的放法？2．（2025·天津南开·调研）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有种（用数字作答）.3．（2025·天津·联考）袋子中有10个大小相同的小球，其中4个红球，6个白球.取一个红球得2分，取一个白球得1分，现在从袋子中随机取出5个球，要求必须同时取出红球和白球.(1)请问有多少种取法能够使得总分数不超过7分？（请用数字作答）(2)当总分数恰好为7分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方式有多少种？（请用数字作答）4．（2024·天津·一模）把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（）A．16 B．24 C．64 D．815．（2025·天津·调研）口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球，从中随机摸出2个球.则2个都是黄球的概率为；2个球颜色不同的概率为.A． B． C． D．7．（2025·天津·一模）抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各个，抽奖规则为：每次从中随机抽取个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值元的奖品，每个白球获得价值元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为元的概率是．8．（2025·天津·联考）将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法?(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?题型三不同元素分组分配问题【技巧通法·提分快招】分组问题与分配问题将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题.分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组.将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题.分配问题共分为2类：定额分配、随机分配.区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配.1．（2025·天津·期中）2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为．2．（2026·天津东丽·开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（

）种分配方案A．90 B．120 C．150 D．2403．（2025·天津·调研）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（

）A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种4．（2025·天津东丽·联考）第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张､小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.5．（2025·天津和平·调研）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择（1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种.6．（2025·天津·调研）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生.(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法?(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种?(3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法?7．（2025·天津西青·调研）天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为.8．（2025·天津和平·模拟预测）在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有种.（用数字作答）题型四涂色问题【技巧通法·提分快招】秒杀策略：涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。1．（2025·天津西青·模拟预测）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（

）种A．72 B．48 C．360 D．4202．（2025·天津河东·调研）如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有种不同的涂色方法.3．（2025·天津·调研）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（

）A．144种 B．120种 C．108种 D．96种A．120 B．144 C．264 D．965．（2025·天津东丽·调研）现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（

）A．420 B．340 C．260 D．1206．（2025·天津滨海新·模拟预测）如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有种不同的涂色方法．8．（2025·天津·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（

）A．288种 B．296种 C．362种 D．384种检测Ⅰ组重难知识巩固1．（2026·天津西青·调研）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为.2．（2025·全国·模拟预测）四个母亲带领自己的孩子参加电视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的分布列．02483．（2025·天津·调研）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（

）A．8种 B．10种 C．12种 D．14种4．（2025·天津·联考）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球.(1)求取出的4个球颜色相同的概率；(2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率；5．（2025·天津西青·调研）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为种.(用数字作答)6．（2025·天津·调研）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（

）A．8400 B．11760 C．13440 D．201607．（2025·天津西青·期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种8．（2025·天津·调研）高二某班有7名学生干部，其中男生4名，女生3名．若从中随机选出3名学生干部，则恰好有2名男生的概率为（

）A． B． C． D．A．128 B．256 C．512 D．102410．（2025·天津和平·调研）一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为.11．（2025·天津和平·调研）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（

）A．100 B．120 C．200 D．21013．（2025·天津静海·调研）子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有.(用数字作答)14．（2025·天津南开·学业考试）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（

）.A． B． C． D．15．（2025·天津西青·调研