第13讲函数的零点与方程的解（老师版）

第13讲函数的零点与方程的解【基础回顾】知识点1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【必备知识】若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【例题精讲】1．函数f(x)=eA．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）【答案】B【解答】解：由已知，f（x）为R上的连续函数，因f(−2)=e−1−76＜0，f(−1)=−1f（﹣1）•f（0）＜0，则由零点存在性定理可知，函数f（x）的零点所在的区间为（﹣1，0）．故选：B．2．已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（）A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）【答案】C【解答】解：由题意可得函数的定义域为（0，+∞），又因为y＝x2、y＝﹣log0.3x在（0，+∞）上单调递增，所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（0.3）＝0.09﹣1＜0，f（0.5）＝0.25﹣log0.30.5＝log0.340.3−log0.30.5＝log0.340.3−f（1）＝1﹣log0.31＝1＞0，所以函数的零点在（0.5，1）．故选：C．3．已知点(12，18)在幂函数f（x）＝xα的图象上，则函数h（x）＝A．（1.5，2） B．（2，2.5） C．（2.5，3） D．（3，3.5）【答案】C【解答】解：由于点(12，18)在幂函数f（x所以f（x）＝x3，则h（x）＝x3+lgx﹣18．又因为函数y＝lgx，y＝x3在（0，+∞）上都单调递增，则h（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，h（3）＝lg3+33﹣18＝lg3+9，因为lg3＞lg1，即lg3＞0，所以h（3）＞0，h（2.5）＝lg2.5+（2.5）3﹣18＝lg2.5﹣2.375，因为lg2.5＜lg10，即lg2.5＜1，所以h（2.5）＜0，因为h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（2.5）•h（3）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，且在（2.5，3）内．故选：C．（多选）4．若函数f（x）＝2ex的图象与函数g(x)=1x+5的图象交点的横坐标所在的区间为（k，kA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】BC【解答】解：f（x）与g（x）交点横坐标即方程2ex=1即h（x）＝2ex−1x−5的零点，则h因为h（﹣1）=2e−4＜0，x趋于0且x＜0时，hh（1）＝2e﹣6＜0，h（2）＝2e2−11所以h（x）的零点在区间（﹣1，0）和（1，2）上，故k＝﹣1或k＝1．故选：BC．（多选）5．函数f(x)=1A．（1，2） B．（2，4） C．（4，8） D．（8，+∞）【答案】AD【解答】解：函数f(x)=1f′(x)=14−1x，当0＜x＜4时，f′（x当x＞4时，f′（x）＞0，函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，又f(1)=1因此函数f(x)=1故选：AD．题型二函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【例题精讲】1．当x∈[0，π2)∪(π2，3π2)∪(A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：由f（x）＝|cosx|﹣|tanx|＝0，得|cosx|＝|tanx|，作出y＝|cosx|，y＝|tanx|，x∈[0，π由图可知，两函数的图象的交点有4个，则曲线f（x）＝|cosx|﹣|tanx|在[0，2π]上的零点个数为4．故选：B．2．函数y＝2x2﹣3x+1的零点个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定【答案】C【解答】解：y＝2x2﹣3x+1＝（2x﹣1）（x﹣1），所以y＝2x2﹣3x+1有两个零点，分别为x=12和故选：C．3．函数f（x）＝（a+1）x﹣ax+x（a＞1）的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定，与a的取值有关【答案】A【解答】解：∵a＞1时，∴由指数函数的图象与性质知，当x＜0时，（a+1）x﹣ax＜0，x＜0，可得f（x）＜0，当x＞0时，（a+1）x﹣ax＞0，x＞0，可得f（x）＞0，当x＝0时，f（x）＝（a+1）x﹣ax+x＝0，则函数f（x）只有一个零点．故选：A．（多选）4．定义max{a，b}=a，a≥bb，a＜b，已知函数f（x）＝max{a﹣|x﹣1|，x2﹣（2+a）x+2a}，0＜a＜1，则函数y＝f（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】BCD【解答】解：函数f（x）＝max{a﹣|x﹣1|，x2﹣（2+a）x+2a}，0＜a＜1，令g（x）＝a﹣|x﹣1|，h（x）＝x2﹣（2+a）x+2a，当x2﹣（2+a）x+2a＝0时，x＝a或x＝2，当a﹣|x﹣1|＝0时，x＝1+a或x＝1﹣a，①当x＝2时，h（2）＝0，g（2）＝a﹣1，∵0＜a＜1，∴g（a）＝a﹣1＜0，x＝2是y＝f（x）的零点．②当x＝1﹣a时，g（1﹣a）＝0，h（1﹣a）＝1﹣2a+a2+a2+a﹣2+2a＝2a2+a﹣1，令2a2+a﹣1＜0，则−1＜a＜1即当a∈(0，12)时，x＝1﹣a是y＝f（x）的零点；当a∈(12，1)时，x＝1﹣a不是③当x＝1+a时，g（1﹣a）＝0，h（1+a）＝1+2a+a2﹣a2﹣3a﹣2+2a＝a﹣1，∵0＜a＜1，∴h（1﹣a）＜0，即x＝1+a是y＝f（x）的零点；④当x＝a时，h（a）＝0，g（a）＝a﹣|a﹣1|，∵0＜a＜1，∴g（a）＝a﹣|a﹣1|＝a﹣1+a＝2a﹣1，即当a∈(0，12)时，x＝a是y＝f（x）的零点；当a∈(12，1)时，x＝a不是综上所述：x＝1+a和x＝2一定是y＝f（x）的零点，x＝1﹣a和x＝a可能是y＝f（x）的零点．故选：BCD．（多选）5．已知函数f(x)=a⋅2x+b⋅(12)x，其中A．当ab＞0时，函数f（x）有且只有两个零点 B．当ab＜0时，函数f（x）有且只有一个零点 C．当a﹣b＝0时，函数y＝f（x）的图象是轴对称图形 D．当a+b＝0时，函数y＝f（x）的图象是中心对称图形【答案】BCD【解答】解：因为f(x)=a⋅2x+b⋅又因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，令f（x）＝0，得a•2x+b•2﹣x＝0，即a•22x+b＝0，所以22x=−ba所以当ab＞0时，−ba＜0所以函数f（x）没有零点，故A错误；当ab＜0时，−ba＞0函数f（x）有且只有一个零点，故B正确；当a﹣b＝0，即a＝b时，f（x）＝a•2x+a•2﹣x，f（﹣x）＝a•2﹣x+a•2x＝f（x），所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故C正确；当a+b＝0，即b＝﹣a时，f（x）＝a•2x﹣a•2﹣x，f（﹣x）＝a•2﹣x﹣a•2x＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故D正确．故选：BCD． 题型三根据函数零点求参数根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.【例题精讲】1．若函数f(x)=2x−a，x≤2，A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．[4，+∞）【答案】A【解答】解：因为当x≤2时，y＝2x﹣a＞0恒成立，要使f（x）没有零点，所以x＞2时，2x+a＞0恒成立，即a＞﹣2x恒成立，又因为函数y＝﹣2x在（2，+∞）上单调递减，所以a≥﹣2×2＝﹣4，即实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．故选：A．2．已知函数f（x）＝x2﹣acosx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A．12 B．−12 【答案】C【解答】解：因为f（x）＝x2﹣acosx+2，所以f（x）定义域为R，又f（﹣x）＝（﹣x）2﹣acos（﹣x）+2＝x2﹣acosx+2＝f（x），所以f（x）是偶函数，则f（x）图象关于y轴对称，因为f（x）有且仅有一个零点，所以有f（0）＝0，即f（0）＝﹣a+2＝0，所以a＝2．故选：C．3．若函数f(x)=−alnx+x2−1A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．（0，1）【答案】C【解答】解：因为f(x)=−alnx+x2−1且f（1）＝0，所以x＝1是函数的一个零点，所以函数还有一个不为1的零点，当x≠1时，令f（x）＝0，得alnx=x所以a=x令g（x）=x2−12lnx（则g'（x）=2xlnx−x+令h（x）＝2xlnx﹣x+1则h'（x）＝2lnx+1−1所以当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）＞h（1）＝0，即g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，作出函数y＝g（x）=x2−12lnx（所以当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，满足题意．故选：C．（多选）4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣a有两个零点x1，x2（x1＜x2），则下列说法正确的是（）A．f（x）为偶函数 B．a＜﹣2或a＞2 C．x1+x2＝0 D．x1x2＜0【答案】ACD【解答】解：因为f（﹣x）＝e﹣x+ex﹣a＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故A正确；因为函数f（x）＝ex+e﹣x﹣a有两个零点，所以f（x）＝0有两个根，即ex+e﹣x＝a有两个根，令t＝ex，t＞0，所以t+1t=a在（0，+∞）上有两个根，即t2所以Δ=a2−4＞0，t1因为函数f（x）为偶函数，且有两个零点x1，x2（x1＜x2），所以x1+x2＝0，故C正确；因为x1+x2＝0，x1＜x2，所以x1x2＜0，故D正确．故选：ACD．（多选）5．设函数f(x)=|log2(x−1)|，1＜x≤3，(x−4)2，x＞3，若f（x）＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜xA．103 B．113 C．3 【答案】ACD【解答】解：由分段函数知，当1＜x≤2时，f（x）∈[0，+∞），且单调递减；当2＜x≤3时，f（x）∈（0，1]，且单调递增；当3＜x＜4时，f（x）∈（0，1），且单调递减；当x≥4时，f（x）∈[0，+∞），且单调递增．f（x）的图象如图所示．f（x）＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4．由图知，当0＜a＜1时，f（x）＝a有四个实数根，且32又x3+x4＝8，由对数函数的性质知（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝1，可得1x设14(x3+x4可知g(32)＜2x−故选：ACD．题型四根据复合函数零点求参数对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.【例题精讲】1．已知函数f(x)=lnx，x＞0−x2+2ax，x≤0，若函数y＝f（fA．a＞1 B．a＜0 C．a＜﹣1 D．﹣1＜a＜0【答案】D【解答】解：当a≥0，x≤0时，函数f（x）＝﹣x2+2ax，对称轴为x＝a≥0，因此函数f（x）在（﹣∞，0）单调递增，函数图象如下：令函数f（x）＝t，y＝f（f（x））＝f（t）＝0，解得t＝0或t＝1，即f（x）＝t＝0或f（x）＝t＝1，根据图象f（x）＝t＝0有2个解，f（x）＝t＝1有1个解，因此此时函数y＝f（f（x））有3个零点，不符合题意；当a＜0，x≤0时，函数f（x）＝﹣x2+2ax，对称轴为x＝a＜0，所以f（x）在（a，0）单调递减，在（﹣∞，a）单调递增，函数图像如下：令函数f（x）＝t，y＝f（f（x））＝f（t）＝0，解得t＝2a或t＝0或t＝1，根据图象，f（x）＝t＝0有3个解，f（x）＝t＝2a＜0有2个解，又y＝f（f（x））有6个零点，所以f（x）＝t＝1要有1个解，即a＜0f(a)=a2故选：D．2．已知函数f(x)=|lnx|，x＞0ex，x≤0，若函数g（x）＝f（x）﹣|x﹣A．[﹣1，e） B．（﹣∞，﹣1]∪[e，+∞） C．（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）【答案】C【解答】解：由题意知，要使得g（x）＝f（x）﹣|x﹣k|恰有2个零点，即方程g（x）＝f（x）﹣|x﹣k|＝0有两个实数根，所以直线y＝|x﹣k|与函数y＝f（x）的图象有2个交点，当x＞0时，g（x）＝|lnx|﹣|x﹣k|，令g（x）＝0，可得|lnx|＝|x﹣k|；当x＜0时，g（x）＝ex﹣|x﹣k|，令g（x）＝0，可得|x﹣k|＝ex．在同一坐标系下，作出函数y＝|lnx|，y＝ex和y＝|x﹣k|的图象，如图所示：由函数y＝lnx，可得y′=1x，且当x＝1时，y＝0，y′|x故函数y＝lnx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，又由函数y＝﹣lnx，可得y′=−1x，可得x＝1时，y＝0，y′|x故函数y＝﹣lnx在x＝1的切线方程为y＝﹣x+1，所以函数y＝|lnx|与y＝|x﹣1|只有一个公共点（1，0），结合图象得：当k≤﹣1时，g（x）恰有3个零点；当﹣1＜k≤1时，g（x）恰有2个零点；当k＞1时，g（x）恰有3个零点，要使得y＝g（x）恰有2个零点，则满足﹣1＜k≤1，所以实数k的取值范围为（﹣1，1]．故选：C．3．若函数f(x)=−x2−2x+3，x≤0，|lnx|，x＞0，则函数y＝[f（x）]2A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解答】解：令[f（x）]2﹣5f（x）+6＝0，则有f（x）＝2或f（x）＝3，作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：因为直线y＝2与y＝f（x）的图象有3个交点，直线y＝3与y＝f（x）的图象有4个交点，所以原方程有7个解．故选：C．二．多选题（共2小题）（多选）4．已知函数f(x)=−x2+4x，x＞0ln(−x+1)+3，x≤0，函数g（x）＝f（fA．若m＝0，则g（x）有1个零点 B．若m＝3，则g（x）有6个零点 C．若g（x）有5个零点，则m的取值范围为（0，3） D．g（x）一定有零点【答案】BD【解答】解：令f（x）＝4，解得x＝1﹣e或2；令f（x）＝3，解得x＝0或1或3，根据函数图象的平移变换，可画出f（x）的简图，令g（x）＝0，因此f（f（x））＝m，令f（x）＝t，因此f（t）＝m，如果m＞4时，f（t）＝m只有1解，且t＜1﹣e，此时f（x）＝t只有1解，因此g（x）只有1个零点，如果m＝4时，f（t）＝4有2解，即t＝1﹣e或2，f（x）＝1﹣e有1解；f（x）＝2有2解．因此g（x）有3个零点，如果m∈（3，4）时，f（t）＝m有3解t1，t2，t3，t1∈（1﹣e，0），t2∈（1，2），t3∈（2，3），如果t1∈（1﹣e，0）时，f（x）＝t1只有1解；如果t2∈（1，2）时，f（x）＝t2有2解；如果t3∈（2，3）时，f（x）＝t3有2解，因此g（x）有5个零点，如果m＝3时，f（t）＝3有3解，即t＝0或1或3，f（x）＝0只有1解；f（x）＝1有2解；f（x）＝3有3解．因此g（x）有6个零点，如果m∈（0，3）时，f（t）＝m有2解t4，t5，t4∈（0，1），t5∈（3，4），如果t4∈（0，1）时，f（x）＝t4有2解；如果t5∈（3，4）时，f（x）＝t5有3解．因此g（x）有5个零点，如果m＝0时，f（t）＝0只有1解t＝4，f（x）＝4有2解，因此g（x）有2个零点，如果m＜0时，f（t）＝m只有1解，且t＞4，此时f（x）＝t只有1解，因此g（x）只有1个零点．故选：BD．（多选）5．已知函数f(x)=|lnx|，x＞0，(12)x，x⩽0，g（x）＝﹣x2+2|x|+3，h（x）＝fA．当m＝0时，h（x）有1个零点 B．当0＜m＜1时，h（x）有4个零点 C．h（x）可能有6个零点 D．当h（x）的零点个数最多时，m的取值范围为（ln3，ln4）【答案】BCD【解答】解：A选项：h（x）的零点个数等价于关于x的方程f（g（x））＝m的解的个数，令t＝g（x），函数f（t），g（x）的图象如图，如果m＜0时，f（g（x））＝m无解；如果m＝0时，f（t）＝0的解为1，则g（x）＝1有两个解，故A选项错误；B选项：如果0＜m＜1时，设方程f（t）＝m的解为t1，t2，易得1e＜t1＜1，1＜则g（x）＝t1，g（x）＝t2均有两个根，因此g（x）＝t有4个解，因此f（g（x））＝m有4个解，故B选项正确．C选项：如果m＝1时，易得方程f（t）＝m的解为0，1e，e，则g（x）＝0，g(x)=1e，g（x）＝e，均有2个解，因此g（x）＝t有6个解，因此f（g（x））＝mD选项：如果m＞1时，设方程f（t）＝m的解为t3，t4，t5，易得t3＜0，0＜t4＜1e，则g（x）＝t3，g（x）＝t4均有2个解，g（x）＝t5最多有4个解，因此f（g（x））＝m最多有8个解，如果g（x）＝t5有4个解时，则3＜t5＜4，因此ln3＜m＝f（t5）＜ln4，因此如果f（g（x））＝m的解最多时，m的取值范围为（ln3，ln4），故D选项正确．故选：BCD．课时精练一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（）A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）【答案】C【解答】解：由题意可得函数的定义域为（0，+∞），又因为y＝x2、y＝﹣log0.3x在（0，+∞）上单调递增，所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（0.3）＝0.09﹣1＜0，f（0.5）＝0.25﹣log0.30.5＝log0.340.3−log0.30.5＝log0.340.3−f（1）＝1﹣log0.31＝1＞0，所以函数的零点在（0.5，1）．故选：C．2．函数f（x）=1xA．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【答案】B【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），而y=1x在（0，+∞）为减函数，y＝∴f（x）=1x又f(1)=1＞0，f(2)=1所以由零点存在性定理可知，函数f（x）在区间（1，2）有零点．故选：B．3．若关于x的方程mx2+2x+2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．−1＜m＜12 C．m≤12【答案】C【解答】解：当m＝0时，方程为2x+2＝0，有一个负根；当m≠0时，mx2+2x+2＝0为一元二次方程，关于x的方程mx2+2x+2＝0至少有一个负根，设根为x1，x2，当Δ＝4﹣8m＝0时，即m=1方程为12x2当Δ＝4﹣8m＞0，即m＜12时，且若有一个负根，则x1x2若有两个负根，则x1+x综上所述，则实数m的取值范围是m≤1故选：C．4．已知函数f（x）为偶函数，且f(x)=2|x−1|，0≤x＜22x−1，x≥2，若方程f（A．（1，2） B．[1，2] C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）【答案】A【解答】解：当0≤x＜1时，函数f（x）＝21﹣x；当1≤x＜2时，函数f（x）＝2x﹣1，那么当x≥0时，函数f(x)=2令f（x）﹣a＝0，那么a＝f（x），f（x）﹣a＝0有6个不同实根，即y＝a与y＝f（x）的图象有6个交点，在同一坐标系内作出y＝a与y＝f（x）的图象，观察图象得当且仅当a∈（1，2）时y＝a与y＝f（x）的图象有6个交点，所以实数a的取值范围是（1，2）．故选：A．5．若函数f(x)=−x2−2x+3，x≤0，|lnx|，x＞0，则函数y＝[f（x）]2A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解答】解：令[f（x）]2﹣5f（x）+6＝0，则有f（x）＝2或f（x）＝3，作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：因为直线y＝2与y＝f（x）的图象有3个交点，直线y＝3与y＝f（x）的图象有4个交点，所以原方程有7个解．故选：C．6．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f(x)=1+lnx，x≥13−2x，0≤x＜1，若关于x的方程f2（x）﹣（a+8）f（x）+8a＝0恰有4个不同的实根，则实数A．（3，+∞） B．（3，+∞）∪{1} C．（3，8）∪（8，+∞） D．（3，8）∪（8，+∞）∪{1}【答案】D【解答】解：因为f2（x）﹣（a+8）f（x）+8a＝0，所以[f（x）﹣8]•[f（x）﹣a]＝0，解得f（x）＝8或f（x）＝a，当0≤x＜1时，3﹣2x∈（1，3]，此时方程f（x）＝8无解；当x≥1时，令f（x）＝1+lnx＝8，即lnx＝7，解得x＝e7，因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝8有两解，分别为e7和﹣e7．又方程f2（x）﹣（a+8）f（x）+8a＝0恰有4个不同的实根，所以f（x）＝a也有两个不同于e7和﹣e7的两根．作出函数f（x）的草图如下：要使f（x）＝a有两个不同于e7和﹣e7的两根，则a＝1或a＞3且a≠8．所以实数a的取值范围为（3，8）∪（8，+∞）∪{1}．故选：D．7．设函数g（x）=x2+3x+1A．1 B．3 C．1或3 D．3或5【答案】B【解答】解：因为g（x）=x2+3x+1ex所以g'（x）=(2x+3)所以当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（﹣2，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；所以g（x）极小值＝g（﹣2）＝﹣e2，g（x）极大值＝g（1）=5令g（x）＝0，得x=−3−52或所以当x＜−3−52时，g当−3−52＜x＜−3+5当x＞−3+52时，g令g（x）＝t，则方程(g(x))2+mg(x)−5e=0(m∈R)即为t2+mt﹣5又因为Δ＝m2+20e＞0，所以此方程必有两个不等实根t1，t2（t1＜t2），则有t1+t2＝﹣m，t1t2＝﹣5e＜0，所以t1，t2异号，所以t1＜0，t2＞0，当t1＜﹣e2时，g（x）＝t1无解；此时t2＜5所以g（x）＝t2有3个解，所以原方程有3个解；当t1＝﹣e2时，g（x）＝t1有1个解，此时t2=5所以g（x）＝t2有2个解；所以原方程有3个解；当﹣e2＜t1＜0时，g（x）＝t1有2个解，此时t2＞5所以g（x）＝t2有1个解，所以原方程有3个解；综上，方程(g(x))2故选：B．8．已知函数f(x)=ex，x≤0，lnx，x＞0，g（x）＝x﹣3，方程f（g（x））＝﹣3﹣g（x）有两个不同的根，分别是x1，x2，则x1A．0 B．3 C．6 D．9【答案】B【解答】解：由题意得：g（x）＝x﹣3为R上的增函数，且g（3）＝0，当x≤3时，g（x）≤0，f（g（x））＝ex﹣3，当x＞3时，g（x）＞0，f（g（x））＝ln（x﹣3），方程f（g（x））＝﹣3﹣g（x）＝﹣x有两个不同的根，等价于函数y＝f（g（x））与y＝﹣x的图象有两个交点，作出函数f（g（x））与y＝﹣x的图象如下图所示：由图可知y＝ex﹣3与y＝ln（x﹣3）图象关于y＝x﹣3对称，则A，B两点关于y＝x﹣3对称，中点C在y＝x﹣3图象上，由y=−xy=x−3，解得：C(所以x1故选：B．二．多选题（共3小题）（多选）9．已知函数f(x)=(12)x−1，x⩽0，−x(x−2)，x＞0.若关于x的方程f（x）＝m有3个实数解x1，x2，x3（x1A．x1+x2＜0 B．1＜x1+x2+x3＜2 C．−1＜xD．关于x的方程f（x）＝f（m）恰有3个实数解【答案】ABD【解答】解：由题意作出y＝f（x）的图象：要使f（x）＝m有3个实数解，只需0＜m＜1，且﹣1＜x1＜0，x2+x3＝2，对于A，作出x＜0时，f（x）的部分图象关于y轴对称的图象，可知交点在x2与x＝1之间，则﹣x1＞x2＞0，所以﹣1＜x1+x2＜0，A对；对于B，据图可知﹣1＜x1＜0，x2+x3＝2，所以1＜x1+x2+x3＜2，B对；当m→0时，x1→0，x2x3→0，即x1x2x3＜0，故C错；因为0＜m＜1，所以f（m）∈（0，1），所以关于x的方程f（x）＝f（m）有三个实数根，D对．故选：ABD．（多选）10．若函数f(x)=xA．值域为R B．单调递增区间是[﹣1，0]和（0，1] C．f（x）有两个零点 D．方程f[f(x)]−1【答案】BD【解答】解：因为f(x)=x所以当x≤0时，f（x）＝x2+2x+1＝（x+1）2，此时函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0]上单调递增，当x＞0时，f(x)=xex−1令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，且x→0时，f（x）→0，x＞0时，f（x）＞0，作出函数f（x）的图象，如下：由图可知，函数f（x）的值域为[0，+∞），函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，0]和（0，1]，f（x）只有一个零点﹣1，故A错误，B正确，C错误；对于D，由f[f(x)]−12=0，令f（x）＝t，t∈由图可知，函数f（x）和y=1则t有两个值，且t1∈（0，1）和t2∈（1，+∞），当t1∈（0，1）时，函数f（x）和y＝t1在R上有4个交点，当t2∈（1，+∞）时，函数f（x）和y＝t2在R上有1个交点，所以方程f[f(x)]−12=0故选：BD．（多选）11．已知函数f(x)=−2A．当m＜﹣2，n＜﹣2时，f（m+n）＝f（m）+f（n）+8 B．对于∀x1∈（0，2）∀x2∈（﹣2，0），|f（x1）﹣f（x2）|≤2 C．若方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的范围为(−2，−3D．方程f[f（x）]＝2有6个不相等的实根【答案】ACD【解答】解：依题意有f(x)=−2(x−1对于A，当m＜﹣2，n＜﹣2时，m+n＜﹣4，则f（m+n）＝﹣4（m+n）﹣8，f（m）+f（n）+8＝﹣4m﹣8﹣4n﹣8+8＝﹣4（m+n）﹣8，所以f（m+n）＝f（m）+f（n）+8，故A正确；对于B，当x∈（0，2）时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2+2，所以对∀x1∈（0，2），则0＜f（x1）≤2，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝2x+4，所以对∀x2∈（﹣2，0），0＜f（x2）＜4，所以﹣4＜﹣f（x2）＜0，所以﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜2，故B错；对于C，依题意作出f（x）的图象，如图所示，若方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，即函数f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，由图象可知0＜a＜2，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由f（x1）＝a得﹣4x1﹣8＝a，则x1由f（x2）＝a得2x2+4＝a，则x2由二次函数图象的对称性可知，x3，x4关于直线x＝1对称，所以x3+x4＝2，所以x1因为0＜a＜2，所以−2＜1即x1+x2+x3+x4的范围为(−2，−32)对于D，方程f[f（x）]＝2中，令f（x）＝t，则方程化为f（t）＝2，由图象可得，若t＜﹣2，则﹣4t﹣8＝2，解得t=−52，则方程若﹣2≤t＜0，则2t+4＝2，解得t＝﹣1，则方程f（x）＝﹣1有一个根，若t≥0，则﹣2t2+4t＝2，解得t＝1，则方程f（x）＝1有四个根，综上所述，方程f[f（x）]＝2有6个不相等的实根，故D正确．故选：ACD．三．填空题（共3小题）12．已知g（x）＝2x﹣2+1，若|g（x+2）﹣3|＝6b有两个不相等的实根，则b的取值范围是(0，13【答案】(0，1【解答】解：根据题知，|g（x+2）﹣3|＝|2x﹣2|＝6b，对于y＝|2x﹣2|的图像如下，那么要使|g（x+2）﹣3|＝6b有两个不相等的实根，那么可得0＜6b＜2，因此0＜b＜13，所以b∈故答案为：(0，113．已知函数f(x)=−x2−2x+1，x≤02x−2，x＞0，若存在实数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则（a+b【答案】（﹣4，﹣2log23]．【解答】解：如图，画出函数f（x）的图象，因为当x≤0，y＝﹣x2﹣2x+1图象的开口向下，对称轴为x＝﹣1，又因为存在a＜b，f（a）＝f（b），则a+b＝﹣2，令2x﹣2＝1，得x＝log23，令2x﹣2＝2，得x＝2，如图可知，log23≤c＜2，所以（a+b）c＝﹣2c∈（﹣4，﹣2log23]．故答案为：（﹣4，﹣2log23]．14．已知函数f(x)=|lg(−x)|，x＜0，x2−6x+4，x≥0，若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+3有8个不同的零点，则实数b的取值范围为【答案】(23【解答】解：如图，作出函数f(x)=|lg(−x)|，x＜0易知f（0）＝4，当0＜a≤4时，此时f（x）＝a有4个不同的实数根，当a＞4或a＝0时，此时f（x）＝a有3个不同的实数根，当﹣5＜a＜0时，此时f（x）＝a有2个不同的实数根，当a＝﹣5时，此时f（x）＝a有1个不同的实数根，当a＜﹣5时，此时f（x）＝a没有实数根，因此只有在0＜a≤4时直线y＝a与y＝f（x）的图象有4个交点，所以要满足关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+3有8个不同的零点，令f（x）＝t，则方程t2﹣bt+3＝0在（0，4]上有两个不等实根，则有Δ=b2−12＞0所以实数b的取值范围为(23故答案为：(23四．解答题（共5小题）15．已知函数f（x）＝x2﹣2|x2﹣x|﹣m．（1）求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）零点的个数；（3）若f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4，判断x1+x2+x3+x4是否为定值，并说明你的理由．【答案】（1）单调递增区间为：（﹣∞，0]，(13，1)（2）①当m＞1时，f（x）无零点；②当m＝1时，f（x）有1个零点；③当m＜−13或0＜m＜1时，f（④当m=−13或m＝0时，f（⑤当−13＜m＜0时，f（3）x1由（2）知，当−13＜m＜0时，f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜由二次函数的对称性可知x所以x1【解答】解：（1）①当x2﹣x＜0即0＜x＜1时，f（x）＝x2﹣2（﹣x2+x）﹣m＝3x2﹣2x﹣m，二次函数开口向上，对称轴为x=1f（x）在区间(0，13)②当x2﹣x≥0即x≤0或x≥1时，f（x）＝x2﹣2（x2﹣x）﹣m＝﹣x2+2x﹣m，二次函数开口向下，对称轴为x＝1，f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减．所以f（x）的单调递减区间为：(0，13)（2）根据第一问知函数f(x)=−f(0)=−m，f(1①当﹣m＜0＜1﹣m即0＜m＜1时，f（x）有2个零点；②当﹣m＝0即m＝0时，f（x）有3个零点；③当1﹣m＜0即m＞1时，f（x）无零点；④当1﹣m＝0即m＝1时，f（x）有1个零点；⑤当−13−m＜0＜−m即−13⑥当−13−m=0即m=−13⑦当0＜−13−m即m＜−13综上所述：①当m＞1时，f（x）无零点；②当m＝1时，f（x）有1个零点；③当m＜−13或0＜m＜1时，f（④当m=−13或m＝0时，f（⑤当−13＜m＜0时，f（3）是定值，理由如下，由（2）知，当−13＜m＜0时，f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜由二次函数的对称性可知x所以x116．已知函数f（x）＝2x2+mx+n的图象过点（0，﹣1），且满足f（﹣1）＝f（2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在[a，a+2]上的最小值为h（a），求h（a）；（3）若x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数y＝f（x）的不动点．函数g（x）＝f（x）﹣tx+t有两个不相等的不动点x1，x2，且x1＞0，x2＞0，①求实数t的取值范围；②求x1【答案】（1）f（x）＝2x2﹣2x﹣1．（2）h(a)=2（3）①t＞1；②最小值为6．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝2x2+mx+n的图象过点（0，﹣1），且f（﹣1）＝f（2），所以f(0)=n=−12−m+n=8+2m+n，所以n＝﹣1，m所以函数f（x）＝2x2﹣2x﹣1．（2）函数f(x)=2x2−2x−1=2当a+2≤12时，所以a≤−32，函数f（x）在[所以h(a)=f(x)当a≥12时，函数f（x）在[a，a+2]单调递增，所以当a＜12＜a+2时，即−所以h(a)=2（3）①：根据已知得函数g（x）＝f（x）﹣tx+t＝x⇒2x2﹣2x﹣1﹣tx+t＝x，所以2x2﹣（3+t）x+t﹣1＝0有两个不相等的正实数根，所以Δ=(3+t)2−8(t−1)＞0②：因为根据韦达定理可得x1所以x1结合①所得t＞1，所以t﹣1＞0，所以(t−1)+16t−1≥2所以x117．已知a＞0且a≠1，函数f(x)=loga2（1）方程f（x）＝0的两根