浙江省丽水发展共同体2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

2025本卷共4页满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效考试结束后，只需上交答题纸一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 ab2,7,C.3ab10,

bD.ab顶点在坐标原点，焦点坐标为0,1的抛物线的标准方程为 2y2

y2

x22

x2xym0被圆Cx12y124截得的弦长为

，则m

mαnm，则nαBADBAADAA60∘，则线段AC的长为 22212221

3

1

2P1ABCDEFGHAP

AB

AD

AEPAB的距离为

已知抛物线C:y24xFk的直线l与CABF的一个三等分点，则k2 A. B. C. D.阅读材料：空间直角坐标系OxyzPx0y0z0nabc的平面α的方axx0byy0czz00.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为x2yz70，直线lxy10yz20的交线，则直线l与平面α弦值为 2

D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.下列说法中不正确的是 F和一条定直线l倾斜角为α的直线l与抛物线Cy24xAx1y1Bx2y2x1x21 Cx当α45AB对任意的αN，使ANOBNO（O为坐标原点（EFHGDC KA1ADD1内（含边界KEAA1K的轨迹长度为3515分. 有一个封闭的正三棱柱容器，高为12，内装水若干（1，底面处于水平状态，将容器放倒（2，一个侧面处于水平状态，这时水面与各棱交点E、F、E1、F1分别为所在棱的中点，则图1中水面

e,设椭

1ab0与双曲

1的离心率分别为 2，双曲线的渐近线的斜率

，则ee的取值范围 2 2四、解答题：本大题共5小题，共77分已知圆CA(10)B01两点，且圆心Cxy20上求圆CP是直线4x3y80PMPN是圆CMN为切点，求切线长PMPMCN的面积.P﹣ABCDABCDPDABCD，PD＝DC，EPC的EF⊥PBPBCPBPBD

已知椭圆C

1ab0的

，左、右焦点分别为 2，过右焦点2的直线与椭圆交于A,B两点，且△AF1B的周长为 求椭圆C若AOB90∘，求直线l的方程1ABCD和两个直角三角形△ADQ和△CDP, CDQDADAD1PDQD ，现将△ADQ和△CDPADCD,P与点Q重合于点SBS2SABCDACSBDESA

若λ1，求直线CESBDE使得直线CEAD所成角为60o，若存在请求出λ的值，若不存在请说明理由已知双曲线Cy

3x，且过点46求C线CPQPA1PA2QA2QA1k1k2k3k4已知k1k43k2k3证明直线l2025本卷共4页满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效考试结束后，只需上交答题纸一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 ab2,7,C.3ab10,

bD.ab【答案】

1251252

33BDab3152512D正确.顶点在坐标原点，焦点坐标为0,1的抛物线的标准方程为 2y2

y2

x22

x2【答案】【分析】根据抛物线的标准方程与焦点的关系求解即可【详解】焦点坐标为01yx22pyp0 p1p1x22y xym0被圆Cx12y124截得的弦长为

，则m

【答案】【分析】根据圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出结果圆心到直线xym0的距离为d 因为圆的弦长为

，所以根据勾股定理得2 4，解得m2 mαnm，则nα【答案】m//nm//αn//β，则α,β可以是nA错误；mnmαnβ，则α,βB错误；BADBAADAA60∘，则线段AC的长为 22212221【答案】ACABADAA【详解】QACACCCABADAB3AD2AA3BADBAADAA60

2ABADABAAAD 323222232133132143 AC

3

1

2P1ABCDEFGHAP

AB

AD

AEPAB的距离为

【答案】ABADAExyz 3 1 2AP4AB2AD3AEAP的坐标，然后利用点到直线距离的向量法公式计算即可ABADAExyz轴建立如图所示的ABCDEFGH的A000,B100,D0,10,E0AP

3AB

1AD

2AE，

312所以AP,,42333 1 2423

AP

2 3ABAP1402034121202AB 1 AB·AP43 PABd

AB·AP18143 已知抛物线C:y24xFk的直线l与CABF的一个三等分点，则k2 A. B. C. D.【答案】

1

x22x1

AB，应用向量数量关系的坐标表示得到

22

y1ty22t有t22，结合斜率的两点式求k2AxyBxyF10，不妨设1

x22x1所以(1x,y)(xx,yy)，则

22y1yt

2t

t,

t ky2y13t

21t2 x t，所以k28. 阅读材料：空间直角坐标系OxyzPx0y0z0nabc的平面α的方axx0byy0czz00.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为x2yz70，直线lxy10yz20的交线，则直线l与平面α弦值为 2

D. 【答案】【分析】根据题目材料确定平面α殊点，作为交线的方向向量，再求解即可因为直线lxy10yz20因此直线l上的点均满足两个平面方程,我们可以取l上的两个点，来计算直线l的一个方向向量x0,y1z3,即(0,13在交线上；x1,y2z4,即(124)在交线上.

设直线l

所成角为θ,则sinθ → 6622二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.下列说法中不正确的是 F和一条定直线l【答案】AF在直线lF且与lAC

2

则x22y24x224y2，化简可得3x220x123y20D正确.倾斜角为α的直线l与抛物线Cy24xAx1y1Bx2y2x1x21 Cx当α45AB对任意的αN，使ANOBNO（O为坐标原点【答案】【分析】根据抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积以及角平分线的性质逐一分析A，Q抛物线C:y24x2p4p2，x1AB，当α45∘时，直线l的ktan451，设直线lyxmy2联立直线与抛物线Cy24x，得yxmx22m4xmy2x1

m2，Qx

1，m11m1x22x10，此时判别式2241101m1x26x10x1x26ABx1x2p628By2设直线lxtym，联立直线与抛物线C:y24x，得xtymy24tyy2y1y24ty1y24m Qxx1y24xy24x，xxy1y21，即yy216yy1

1 1 1若AOB90∘，则OAOB0OAx1y1OBx2y2，x1x2y1y20，y1y2=4时，1450y1y24时，1430，不存在α，使AOB90∘（O为坐标原点）CDNn0，若ANOBNO（O为坐标原点NANB的斜率之和为0，kNAkNB0, , ，则 y1x2ny2x1n0 x

x

x x

xnx y y

y

y y1x2ny2x1n0x1x2y12ny21n0

y1y2yynyy0，即y1y2nyy0

Qyy4t不一定为0，y1y2n0y1y2n y1y24n1对任意的αN10，使ANOBNO（O为坐标原点DABD（EFHGDC KA1ADD1内（含边界KEAA1K的轨迹长度为【答案】B选项，取DC中点为M，延长DC,EF交于点N，连接EM，如图1，因为BCEM且BCEM,BC所以CFEMCF1EMMCCNDCHGT，则TCCMNTEFHGDCBCD1GDCQAQBCP2B选项，易证，PBC的中221222122222

22,PG 所以截面周长为

C图 图D选项，因为EA平面AA1D1D，所以|KE|2|KA|2|AE|2，即4|KA|21，所以|KA 因此K的轨迹是以A为圆心 为半径的1圆，所以轨迹长度为1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

##【分析】先根据过两点的直线斜率公式求出直线l1【详解】由直线lA32B16两点，得直线lk621故答案为：有一个封闭的正三棱柱容器，高为12，内装水若干（1，底面处于水平状态，将容器放倒（2，一个侧面处于水平状态，这时水面与各棱交点E、F、E1、F1分别为所在棱的中点，则图1中水面 【答案】的体积相等可得出关于h的等式，即可解得h

3a21中，设水面的高度为h，则水的体积为V

3a2h因为VABCEFABACAE1AB1ACAF，且EAF60∘，则△AEFa 33a且 a2 a2

则水的体积为V33a21293a2 3a2h，解得h9

e,设椭

1ab0与双曲

1的离心率分别为 2，双曲线的渐近线的斜率

，则

e的取值范围 22【答案】452

2【分析因为b 再由2

1a1ab

设tb可得ee

11ab 1t1t

2 2 所以0b

2 ，则

，e2 1ab 1a1ab 1ab 1t1t所以

e

；由于e

22

2 1t1t1t1t1t21t因为0t25，所以0t416，则

1t41，则16e

24因为e1e2145

e

452 四、解答题：本大题共5小题，共77分已知圆CA(10)B01两点，且圆心Cxy20上求圆CP是直线4x3y80PMPN是圆CMNPMPMCN的面积（2）2， （1）设出圆心坐标和半径，由待定系数法即可得圆的方程（2）由题意利用圆的几何性质将原问题进行等价转化，然后结合点到直线的距离公式即可求得最终结果（1）根据题意，设圆的圆心为abr 1a20b2 则有0a1br，解可得a1，b1，r ab2故要求圆的方程为x12y125（2）根据题意，而 PC2CM2PC5PC

413116PC的最小值为点Cx413116

3PMPMCNS

MPCNNP

PM故此时四边形PMCN面积为 P﹣ABCDABCDPDABCD，PD＝DC，EPC的中EF⊥PBPBF．CPBPBD（1）（2）证明见解 （3）（1）ACBDOEOPA//EODEPBCDEPBEFPBPBEFD由题意易知∠EFD是平面CPBPBDDEEFDE、DFsinEFDDE，即可求出答案1ACBDOO，EACPCPAEO，PAEDBEOEDB，PAEDB2ABCDBCCDPDABCD，BCABCDBCPDPDCDPDCPDCDDBCPDCDEPDCDEBCPDDC，EPCDEPCPCBCPBCPCBCCDEPBPBCDEPBEFPBDEFEEFDDEFEE，PBEFD；3由（2）DFEFDPBDF，故∠EFD是平面CPBPBD的夹角，PDDC2，∴DE，在△PBDBD

，PB

，DF 262222DEPBC，∵EFPBC，∴DEEF在RtaEFD

sinEFDDE 2 2 2EFDπCPBPBDπ

已知椭圆C

1ab0

，左、右焦点分别为 2，过右焦点2的直线与椭圆交于A,B两点，且△AF1B的周长为 求椭圆C若AOB90∘，求直线l的方程

x2

（2）x

15y （1）a

3a，b，c（2）F2

2,0可设直线AB:xmy ，代入椭圆方程，根据韦达定理，利用数量OAOB01由题意得△AF1B的周长为4a所以4a

，即a 3又离心率ec

6，所以c ，所以b所以椭圆C

x2

2显然直线AB的斜率不为0，所以设直线AB:xmy 与椭圆Cx2y21联立得m23y222my10

2120所以yy22m,yy m2 1 m2因为AOB90∘，所以OAOB0，x1x2y1y20，所以my2my2yym21yy2myy2m211

2m22m20 1 1

m2 m2m

15所以直线lx

15y 1ABCD和两个直角三角形△ADQ和△CDP, CDQDADAD1PDQD ，现将△ADQ和△CDPADCD,P与点Q重合于点SBS2SABCDACSBD若E为棱SA上一点， 若λ1，求直线CESBDE使得直线CEAD所成角为60o，若存在请求出λ的值，若不存在请说明理由（1）（2（i）（ii）

577（1）PDCDQDADSDABCDSDAC，再利用菱AC⊥BDACSBD；（2）①由COSBD，可知直线CESBD所成角就是CGO②ADBC可得ECB或其补角为直线CEADCE

,BE

，最后由已知角ECB的余弦定理得到关于1SDADSDCDADCDDADABCDCDABCDSDABCDACABCDSDACSDBDDSDSBDBDSBDACSBD2SOCEG，由（1）得COSBD∵SD ，ADCD1，BAD60∴SASCAC

1，∴SE 3 在三角形SEC中，由ASC60，SC ，所以由余弦定理得CE

SE2SC22SESCSE2SC22SESCcos13233cos

21，cosECA

ACAE 272EC

221 sinCGOcosGCOcosECA27

cosCGO

212∴tanCGOsinCGO

232∴直线CE与平面SBD所成角的正切值2BEBCADECB或其补角为直线CEADE，满足ECB60

SEC中，由SE2SE2SC22SESCcos

SDABCDADABCDSDADEHSD

在DHBDH2DH2DB22DHDBcos

EHSDSDABCDEHEH2