电路技术基础 第5章

第5章线性电路过渡过程的时域分析5.3一阶电路的零状态响应5.4一阶电路的全响应及三要素法5.2

一阶电路的零输入响应5.1换路定律与初始条件5.5RC微分电路及积分电路5.6

二阶电路的零输入响应贴片型空心线圈可调式电感环形线圈立式功率型电感电抗器无源元件小结LCRu，i关系能量储放iRu=指含有电感、电容的电路

+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零例电阻电路

动态电路：过渡过程：当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。5.1.1换路与换路定律

5.1换路定律与初始条件i=0,uC=0i=0,uC=Usi+–uCUsRCK+–uCUsRCi

t=0K未动作前，电路处于稳定状态K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?有一过渡期电容电路i+–uCUsRCi+–uCRCK未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态有一过渡期第三个稳定状态tUS前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。

能量W不能突变。电感

L

储存的磁场能量）（221LLLiW=LW不能突变Li不能突变CW不能突变Cu不能突变电容C存储的电场能量）（221CuCWc=过渡过程产生的原因电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化

开关的接通、断开2、换路定律

电容电压和电感电流在换路时刻不能跃变称为换路定律

t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间②换路定律uC(0+)=uC(0－)iL(0+)=iL(0－)5.1.2、电压与电流初始值的确定独立初始值非独立初始值ic(0+)、

uL(0+)、

iR(0+)、

uR

(0+)

不遵循换路定律直接受换路定律约束)0(+CuiL(0+)初始值为t=0＋时u，i

的值。明确uC(0+)=uC(0－)iL(0+)=iL(0－)求解依据求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容用电压源，电感用电流源替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。小结0-时刻等效电路:电容视为开路，电感视为短路(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0-电路求uC(0-)+-10V+uC-10k40kuC(0-)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40kiC(0--)=0iC(0+)例1t=0时打开开关k,求

iC(0+)

iL(0+)=iL(0-)=2AiL+uL-L10VK1

4

例2t=0时闭合开关k,求

uL(0+)+uL-10V1

4

0+电路2AiLL10VK1

4

0－电路iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISK(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiCIS0－电路K(t=0)iLC+–uCLRuL(0+)=-RIS0+电路uL+–iCRISRIS+–例3

求电容电流、电感电压的初始值iC(0+)

和uL(0+)根据电路的定律列写电压、电流的微分方程，求解电路中电压、电流随时间的变化规律。经典法:5.2.1RC电路的零输入响应SRU+_CCuit=0uC(0+)=uC(0-)=U列换路后电路的KVL方程：CCudtduRC+=CuRi0+=5.2

一阶电路的零输入响应

换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。零输入响应CCudtduRC+=0一阶常系数齐次微分方程其通解为指数函数：ptCAeu=A：待定系数P：特征根01=+RCPRCP1-=故：特征方程：Ctu=)(tAe-RC代入初始条件：uC

(0+)=UA=UCu=)(00Ae-RC

=UCtu=)(tUe-RC得：分析：1）电容上电压随时间按指数规律变化；2）变化的起点是初始值U，变化的终点是稳态值0；3）变化的速度取决于时间常数RC；Ctu=)(tUe-RCU0uC0t连续函数时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大

过渡过程时间长

小

过渡过程时间短时间常数—决定过渡过程快慢的因素C:电容的容量R:从储能元件两端看戴维宁等效电路的电阻单位：StU0.368U

越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到稳态所需要的时间越长。实际上当t=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。0.368)(=Uut当

t=

时:CutU

)(tuCuU0.368U0.135U0.049U0.018U0.007U0.002Ut0t2t3tt45t6tCtu=)(tUe-RC理论上当t

时，过渡过程结束，uC达到稳态值；0.368UCtu=-)(tUe-RCuR=-iR=uRR=tUe-RCRCuRuRiU-Ut4）电路中其它物理量也随时间按指数规律变化；且为一个时间常数Ctu=)(tUe-RCSRU+_CCuit=05.2.2RL电路的零输入响应iL（0+）=iL（0-）=U/R列换路后电路的KVL方程：SRU+_LLuiLt=0LLRidtdiL+=0LLRidtdiL+=0一阶常系数齐次微分方程其通解为指数函数：ptLAei=A：待定系数P：特征根0R=+LPLPR-=故：特征方程：Lti=)(tAe-L/R代入初始条件：iL

（0+）=I0A=I0Li=)(00Ae-L/R

=I0Lti=)(tI0e-L/R得：分析：1）电感上电流随时间按指数规律变化；2）变化的起点是初始值I0，变化的终点是稳态值0；3）变化的速度取决于时间常数

；L/R=t单位：R：

；L：H；t：S解LitI0

)(tiLLRidtdiL+=0Lti=)(tI0e-L/R0.368I0实际上当t=5

时，过渡过程基本结束，iL达到稳态值。理论上当t

时，过渡过程结束，iL达到稳态值；令

=L/R,称为一阶RL电路时间常数L:电感的电感量

单位：H

R:从储能元件两端看等效电路的电阻

单位：Ω

单位：S时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

大

过渡过程时间的长

小

过渡过程时间的短LiI0Lu-RI0t4）电路中其它物理量也随时间按指数规律变化；且为一个时间常数SRU+_LLuiLt=0Lti=)(tI0e-L/R注意当直流激励的线圈从电源断开时，必须将其短路或接入一个低值泄放电阻。SRU+_CCui换路后KVL电压方程：CCCudtduRCuRiU+=+=uC（0+）=uC（0-）=05.3一阶电路的零状态响应UudtduRCCC=+一阶常系数非齐次线性微分方程由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：CCCuutu"')(+=Cu'方程的特解对应齐次方程的通解Cu"动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。1.RC电路零状态响应Uutu'CC=¥=)()(UK=\（常数）Ku'C=

在电路中，通常取换路后的新稳态值[记做：uC()]作特解，故此特解也称为稳态分量或强制分量。所以该电路的特解为：

求特解

----

u'cCu"求对应齐次方程的通解

-0=+CCudtduRC通解即：的解Cu"=RCtAe-Cu"随时间变化，故通常称为自由分量或暂态分量。RCtAeU-+=cCCCuu"u'tuRCtAe-+¥=+=)()(UudtduRCCC=+因此该微分方程的解为：代入该电路的初始条件：0)0()0(==-+CCuu得:0)()0(00=+=+¥=+AeUAeuuCCu-UuA=¥-=+)()0(所以故得方程的全解为：CCCu"u'tu+=)(RCtCCCeuuu-+¥-+¥=)]()0([)(RCtUeU--=U（1-RCte-=）RCtUeU--=CCCu"u'tu+=)(RCtCCCeuuu-+¥-+¥=)]()0([)(故得方程的全解为：U（1-RCte-=）RC=ttU当t=5

时，过渡过程基本结束，可以近似认为uC达到稳态值。ttCUeUtu--=)(t=t当

时:CutU

t0tt2t4t5t6Cu00.632U0.865U0.950U0.982U0.993U0.998Ut3002.63)(=Uut·RC=t)(tu0.632U换路后KVL电压方程：iL（0+）=iL（0-）=02.RL电路的零状态响应LLLiiti"')(+=SRU+_LLuiLt=0LLRidtdiL+=UU/Riti'LL=¥=)()(Li"=L/RtAe-U/RL/RtAe-+=代入初始条件：-U/RA=得方程的全解为：SRU+_LLuiLt=0ttU1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。3.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC,RL电路

=L/R4.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结2.一阶电路的零状态响应是由输入激励引起的响应换路后的KVL电压方程：uC（0+）=uC（0-）=UO

0U0+_SRCt=0U+_5.4一阶电路的全响应及三要素法CCCudtduRCuRiU+=+=UudtduRCCC=+电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。全响应一阶常系数非齐次线性微分方程RCtcCCCAeUuu"u'tu-RCtAe-+=+¥=+=)()(该微分方程的解为：代入该电路的起始条件UO)0()0(==-+CCuu得:UO0=+AeU)0(=+uC所以UA-=UOUudtduRCCC=+通解特解CCCu"u'tu+=)(URCte--U+=)(UO故得方程的全解为：U（1-RCte-+）RCte-=UO稳态分量暂态分量全响应RC=ttCuU0UtCuUU0U0>

UU0<

U零状态响应零输入响应①第一种分解方式：全解=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)②第二种分解方式全响应=零状态响应+零输入响应全响应的两种分解方式一阶电路的数学模型是一阶微分方程：其解答一般形式为：特解稳态解稳态分量暂态分量=ff't)(+t)(f"t)(=f

+Ae-t/

（）ff+

-)()0(5.4.2三要素法利用求三要素的方法求解过渡过程，称为暂态分析的三要素法。只要是一阶线性电路，就可以用三要素法。三要素:)(¥f稳态值

----初始值

----)0(+f时间常数----

)：(tf代表一阶电路中任一电压、电流函数。1.三要素法公式：2.三要素法进行暂态分析的步骤：分别求初始值、稳态值、时间常数；将以上结果代入过渡过程通用表达式；

画出过渡过程曲线（由初始值

稳态值，指数规律）三要素的计算求初始值f（0+）：(1)求换路前的)0-(Li)0-(Cu，(2)根据换路定则得出：=)0()0(-+LLii)0-()0(+=CCuu(3)根据换路后的等效电路，求未知的，)0(+u)0(+i原则:t要由换路后的电路结构和参数计算。同一电路中各物理量的t是一样的。求时间常数R是换路后的电路中，从C两端看进去的无源二端网络（理想电压源短路、理想电流源开路）的等效内阻。步骤:(1)对于一阶RC电路，

=RC

；R是换路后的电路中，从L两端看进去的无源二端网络（理想电压源短路、理想电流源开路）的等效内阻。(2)对于一阶RL电路，

=L/R

；(2)根据电路的解题规律，求换路后所求数的稳态值求稳态值f（

）：(1)画出稳态时等效电路（注意:在直流激励的情况下,令C开路,L短路）； 例1求图（a）的uC（

），图（b）的iL（

）。+-t=0C10V4k3k4kuc（a）t=0L2

3

3

4mALi（b）E2

+_RS3V1

+_5V

设换路前电路已处于稳态：（1）i1，i2，iC的初始值。2）达到新稳态时的i1，i2，iC。解：t=0-uC(0-)=2i2(0-)

=2vuC(0+)=uC(0-)=2vt=0+uC(0+)=2vi1(0+)=(5-2)/1=3Ai2(0+)=uC(0+)/2=1AiC(0+)=i1(0+)–i2(0+)=2A新稳态i1(

)

=i2(

)

=5/3AiC(

)=0AuC(

)=2i2=10/3V例2ReqC=

U+-t=0CR1R221//eqRRR=t=0ISRLR1R2Req=R2+R=

ReqL例3计算图示电路的时间常数。()tuC

求：已知：开关S原处于闭合状态，t=0时打开。E+_10VSC1

R1R2

3k

2kt=0解：用三要素法1）初始值:2）稳态值:3）时间常数:ms21==CRt()V10=

CuE=例4[]V

410)()0()()(002.0ttCCCCeeuuutu--+-=¥-+¥=t4）代入一般表达式:终点10V起点6VtuC5）画波形图+_6v10K

1000PF20K

uCu0it=0SU解：（1）确定初始值uC(0+)=uC(0-)=0u0(0+)=U=6vi(0+)=U/20=0.3mA（2）确定稳态值uC()=(10/30)6=2Vu0()=(20/30)6=4Vi()=6/30=0.2mA（3）确定时间常数R0=10//20=20/3如图所示的电路，求t0时求：uC和u0，i及波形图设uC(0-)=0例5=R0C=0.6710-5S+_6v10K

1000PF20K

uCu0i0t=0SU4）代入三要素公式:2vtuC(t)tu0(t)4v6vti0(t)0.3mA0.2mA

电路如图所示，开关S闭合前电路已处于稳态，在t=0时，将开关闭合，求t0时，电压uC和电流iC，i1及i2解：t=0-时t0，电压源支路被短路，对右边的支路不起作用，是零输入响应uC(0+)=uC(0-)=3V+_S3

6V1

2

5

F例6uC()=0V+_S3

6V1

2

5

F代入三要素公式:求:电感电压)(tuL已知：S

在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。2

1

t=03ALLuSR2R1R3IS2

1H解：用三要素法W2W13ALLiW22ALuR1R2R3t=0-时等效电路t=0+时等效电路A2·3212)0()0(=+==-+LLiiV4-=]//)[0(321+-=+RRRiL)0(+uL1）初始值)0(+uL例7R1R2R32）稳态值：)

(uLt=

时等效电路)

(uL=0V3）时间常数tLR2R3R1321//RRRR+=0s)(5.0210===RLt4）将三要素代入一般表达式：V4)0(-=+LuS5.0=tV42te--=)04(02te---+=)]()0([)()(tLLLLeuuutu-+

-+

=t)

(uL=0V5）画过渡过程曲线（由初始值

稳态值）起始值-4VtLu稳态值0V换路后KVL电压方程：3RL电路的全响应SR2U+_LLuiLt=0R1LLLiiti"')(+=LLR2idtdiL+=UU/R2L/R2tAe-+=代入初始条件：方程的全解为：-U/R2A=I0稳态分量

暂态分量零输入响应