15.4 等腰三角形（等边三角形）（解析版） 分层作业-沪科版(2024)八上

15.4等腰三角形（等边三角形）题型一利用等边三角形的性质求角的度数1．（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC两边AB、AC上的点，连接BE、CD，BE与CD交于点O，AD=CE，则∠BODA．50° B．60° C．65° D．70°【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明△ACD≌△CBE【详解】解：∵△ABC∴AC=BC在△ACD和△AD=∴△ACD∴∠ACD∴∠BOD故选：B．2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD，CE．若∠BAD=αA．60° B．α C．60°-α D．【答案】B【分析】本题考查三角形全等的判定方法，等边三角形的性质，因为△ABC和△BDE均为等边三角形，由等边三角形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠EBD=60°，【详解】解：∵△ABC和△∴AB=BC，∠ABC∵∠ABD=∠ABC∴∠在△ABD和△EBC中∴△∴∠故选：B．3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则A．15° B．22.5° C．30° D．60°【答案】C【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到CM是解题的关键．作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，推出EF+CF最小时即为【详解】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，∵△ABC是等边三角形，AD是BC∴AD⊥BC，AD平分∴M在AB上，∴MF=∴EF+∵两点之间线段最短，∴当C,F,M时，∵AE=2∴AM=2，即点M为AB∵△ABC∴CM平分∠ACB，∴∠ECF故选：C．4．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）如图，在等边△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，DC．依题意补全图形，若∠PAC=15°，则【答案】30【分析】本题考查了图形的对称以及外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，根据题目要求作图，根据对称AB=AD，得∠ADB【详解】解：作图如图示：∵△ABC是等边三角形，点C与点D关于直线AP∴AB=∵∠PAC=15°，点C与点D关于直线∴∠CAD∴∠BAD∵AB=∴∠ADB∴∠AEB∴∠∴∠BDC故答案为：30．5．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接．AD．，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则∠BDO的度数为【答案】30°【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．点A关于y轴的对称点为D，求出∠DOE=∠EOA=90°-∠AOB=30°，OA=【详解】解：设AD交y轴于E，如图，∵△ABO∴∠AOB=60°，∴∠AOE∴∠BOD∵点A关于y轴的对称点为D，∴∠DOE=∠AOE∴OB=∴∠BDO故答案为：30°．题型二利用等边三角形的性质求线段长度6．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．若BE=2，AE=8，则A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明△ACD【详解】解：∵△ABC与△∴∠ACB=∠ECD=60°，∠ACB-∠DCB在△ACD和△AC=∴△ACD∴AD∵AE∴DE∴CE故选：C．7．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为9，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则CD长为（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】过点D作DF∥AB，交BC于F，先证△CDF是等边三角形，再证△PDF≌△PEB，得CD=BE，设【详解】解：如下图，过点D作DF∥AB，交BC于

∵△ABC是等边三角形，∴∠A∵DF∴∠CDF∴△CDF∴CD∵点P为DE中点，∴PD在△PDF和△∠DFP∴△PDF∴DF∴CD∵DE∴∠ADE∴∠E设BE=x，则∴9-x解得：x=3∴CD故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明△PDF8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点EA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，由等边三角形性质得到AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，根据含30°【详解】解：∵△ABC∴AB=BC=∵D是AB的中点，∴AD=∵DF⊥∴∠AFD∴∠ADF∴AF=∴CF=∵EF⊥∴∠CFE∴CE=∴BE=故选：C．9．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是边AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F，若PF=3，【答案】7【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并确定出全等三角形，然后求出∠BPF=60°是解题的关键．根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利证明△ABD【详解】解：∵△ABC∴AB=AC∵AD∴△ABD∴∠ABD∴∠APD∴∠BPF∵BF∴∠BFP∴∠PBF∴BP∵PD∴BD∴AE故答案为：7．题型三证明等边三角形10．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，△ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D，【答案】△BCE【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．先由等腰三角形的“三线合一”得到BD=CD，得到AD为BC的垂直平分线，从而BE=【详解】解：△BCE∵AB=∴BD=∴AD为BC的垂直平分线，∴BE=∵BC=∴BC=∴△BCE11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M，AE=BF，AC=BD，CE=【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明△ACE≌△BDF(SSS)，得到【详解】证明：在△ACE和△AC=∴△ACE∴∠AEC∴MF=∵∠FME∴MFE是等边三角形．12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，已知BE【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明Rt△BED≌Rt△CFDHL，则∠【详解】证明：∵D是BC的中点，∴BD=∵DE⊥AB，∴△BED和△在Rt△BED和BD=∴Rt△∴∠B∴AB=∴△ABC∵DF⊥∴∠DFC∵∠CDF∴∠C∴△ABC13．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN(1)证明：AB=(2)若∠CAB=30°，证明：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAC=∠即可证明∠BAC=∠BCA（2）根据直角三角形的性质求出∠MAC=60°，AM=12AC，【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠BAC∵CA平分∠BCD∴∠BCA∴∠BAC∴AB=（2）证明：∵∠CAB∴∠BAC∵AM⊥CD于点∴∠MAC∴∠MAC∵AB=BC，∴AN=∴AN=∴△AMN【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键．题型四含30°角的直角三角形性质求解14．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥ADA．8cm B．12cm C．16cm【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，含30度的直角三角形，掌握相关知识点是解题关键．由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，进而得到∠CAD【详解】解：∵AB=AC∴∠B∴∠BAC∵AB∴∠BAD∴∠CAD∴AD在Rt△ABD中，∴BD∴BC故选：D．15．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=15°，D是AC上一点，连接BD，若∠ADB=30°A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键．先根据三角形外角性质得到∠DBC=15°，进而BD=CD，又通过含【详解】解：∵∠C=15°，∴∠DBC∴BD=∵∠A=90°，∴BD=2∴CD故选：A．16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，点E在AB延长线上，若ED⊥AC交BC于P，且AD=4，BP【答案】4【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠ABC=∠A【详解】解：∵△ABC∴AB=BC=∵ED⊥∴∠ADE∴∠E∴AE=2∵∠BPE∴∠BPE∴BE=∴BC=∴PC=故答案为：4．17．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，点D，E分别为等边三角形△ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q．若PE=1，【答案】6【分析】先证明△ABE≌△CAD【详解】解：∵等边△ABC∴AB=∵AC=∴△ABE∴BE=∵∠BPQ∴∠BPQ∵BQ⊥∴∠∴BP=2∵PQ=2.5，PE∴BP=5∴BE=∴AD=BE故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键．18．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图△ABC，AB=AC，∠B=30°，点D在BC【答案】1【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形．求出∠ADB=60°，从而∠DAC=30°，再证明【详解】解：∵AB=AC∴∠B又∵AD∴∠ADB∴∠DAC∴∠DAC∴AD在Rt△ABD中，∠B∴AD=1∴DC题型一利用等边三角形的性质求最值19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，点P在BC边上，当线段AP的值最小时，BP的长为【答案】3【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键．由垂线段最短可得当AP⊥BC时，【详解】解：∵点P在BC边上，∴当AP⊥BC时，又∵△ABC∴BP故答案为：3．20．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，AD是等边三角形ABC的高线，E为AB的中点，点P是AD上的一个动点，当△PBE的周长最小时，∠ABP的度数是（A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值是解题的关键．根据点B与点C关于直线AD对称，连接CE，交AD于点N，当点P与点N重合时，PB+PE取得最小值，△PBE的周长最小，根据等边三角形的性质，此时点N是三个内角角平分线的交点，故PB【详解】连接CE，交AD于点N，连接CP，如图，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∴点B与点C关于直线AD对称，∴PB=∵点E是AB边的中点，∴CE⊥∴PB+当点P与点N重合时，PB+PE取得最小值，此时点N是三个内角的角平分线的交点，故此时PB平分∠ABC故∠APB故选：C．21．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=12，CD=9，E是BC的中点，∠AED=120°A．25 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，将△ABE沿AE折叠得到△AB'E，将△CDE沿【详解】如图，将△ABE沿AE折叠得到△AB'E，将△CDE沿∵∠AED∴∠AEB∴∠AE∴∠B∵E是BC的中点，∴BE=∵BE=B'∴B'∴B'∴B'∴AD≤∴AD的最大值为19，故选：B．22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P为等边△ABC外一点，且PA=5，PC=4．则PBA．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，如图，将AP绕点A顺时针旋转60°至AD，连接BD、DP，根据旋转的性质得△ADP是等边三角形，得DP=AD=AP=5，根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，证明△ABD≌△ACPSAS，得BD=CP=4【详解】解：如图，将AP绕点A顺时针旋转60°至AD，连接BD、DP，∴AD=AP=5∴△ADP∴DP=∵△ABC是等边三角形，PC∴AB=AC，∴∠BAC-∠DAC在△ABD和△AB∴△ABD∴BD=∴BP≤BD+当点D在BP上时取“=”，此时BP取得最大值9，∴PB的最大值为9．故选：C．23．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=8，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．要求CP+EP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，【详解】解：如图，作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC∴AD⊥∴AD是BC的垂直平分线，∴CF就是EP+∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短，∴CF⊥AB时，∵△ABC∴CF是△ABC∴CF=即CP+EP的最小值为8，故故选：C．题型二探究平面直角坐标系中的等边三角形问题24．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系xOy中，等边三角形OAB的顶点A的坐标为4,0，顶点B在第四象限，则点B的坐标为（

）A．2,-23 B．2,-3 C．2,4 D【答案】A【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，图形与坐标的特点，掌握图形与坐标的特点，等边三角形的性质是解题的关键．根据题意，作图如下，过点B作BC⊥OA于点C，由等边三角形的性质得到OA=OB=AB=4【详解】解：根据题意，作图如下，过点B作BC⊥OA于点∵△OAB是等边三角形，A4,0，顶点∴OA=OB=∴OC=∴BC=∴B2,-2故选：A．25．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形ABC的顶点A1,1，B3,1，规定把等边三角形ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，这样经过2023次变换后，△ABC的顶点CA．-2022,1+3 BC．-2021,1+3 D【答案】D【分析】本题考查了坐标与图形变化，平移和轴对称变换，以及等边三角形的性质的运用，确定出连续2021次这样的变换得到三角形在x轴下方是解题的关键．据轴对称判断出点C变换后在x轴上方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形AB∴点C到x轴的距离为1+2×3∵横坐标为2，∴C第2023次变换后的三角形在x轴下方，点C'的纵坐标为-3-所以，点C的对应点C'的坐标是-故选：D．26．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等边三角形，点A0,6，点B，C在x轴上，Q是（1）∠CAO=（2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿QB到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线QB上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为．【答案】300,2【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由等边三角形的性质即可得解；（2）过点Q作QH⊥AC于H，设点P在y轴的速度为x，则点P在BQ上的速度为12x，表示出点P到达点B所用时间得到当12AQ+BQ有最小值时，点Q，点【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，AO∴∠CAO故答案为：30；（2）如图，过点Q作QH⊥AC于设点P在y轴的速度为x，则点P在BQ上的速度为12∴点P到达点B所用时间=AQ∴当12AQ+BQ有最小值时，点∵∠OAC∴QH=∴12∴当点Q，点B，点H三点共线时，12AQ+∴BH⊥∵△ABC∴∠ABQ∴BQ=2QO，∴AQ=∴AQ=2∵点A0,6∴AO=6∴OQ=2∴点Q0,2故答案为：0,2．27．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图在等边△ABC中，∠BAC的平分线交y轴于点D，C(1)如图1，求D的坐标．(2)如图2，E为x轴上任意一点，以CE为边，在第一象限内作等边△CEF，延长FB交y轴于点G，求OG(3)如图3，在（1）条件下，M为y轴正半轴上D点上方的任意一点，在BM右上方作∠BMN=60°交AD延长线于N点，求【答案】(1)0,3(2)9(3)6【分析】（1）根据等边三角形的性质得OA=OB=12AB=12AC,∠BAC（2）过点F作FK⊥BC,FH⊥x轴，垂足分别为K，H，（3）在DN上截取DP=DM，连接MP,DB,MN，根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB=2OD=6，再证明△DMP是等边三角形，可得DM=MP，∠DPM【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，OC∴OA=在Rt△ACO中，∵C的坐标为0,9，∴OC=9∴OA=3∵∠BAC的平分线交y轴于点D∴∠BAD∴AD=2∴OA=∴OD=3∴点D的坐标为0,3；（2）解：如图，过点F作FK⊥BC,FH⊥∵△CEF∴FC=∵∠OBC∴∠CBE∴∠FCB∵∠∴∠FCB在△FCK和△∵∠FKC∴△FCK∴FK=∴BF平分∠CBE∴∠FBE∴∠OBG∴∠BGO∴BG=∴OB∴OG=（3）解：如图，在DN上截取DP=DM，连接∵OD垂直平分AB，∴DA=∵∠DAO∴∠ADO∴∠MDP=60°，∴∠BDN∵DM=∴△DMP∴DM=∴∠MPN∵∠BMN∴∠BMN∴点M，D，B，N四点共圆，∴∠MND在△MNP和△∵∠MNP∴△MNP∴PN=∴DN-【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，添加适当辅助线构建全等三角形是解题的关键．题型三探究等边三角形中的折叠问题28．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，AC上的两点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A'A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得．【详解】解：∵等边△ABC的边长为1∴AB=∵D，E分别是边AB，AC上的两点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A∴AD=A'则阴影部分图形的周长为：BC+故选：D．29．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，△ADC沿AD折叠得△ADE，连接BE，若∠ADB=70°，则A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．由折叠性质可得△ADC≌△ADE得到AC=AE，∠【详解】解：∵等边△ABC∴∠C=∠ABC∵∠ADB=70°，∴∠CAD由折叠性质可得△ADC∴AC=AE∴∠BAE∵AB∴∠AEB∴∠DBE故答案为：A．30．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在等边△ABC边上取D、E两点，沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F的位置，若DF⊥BC，则

【答案】45°/45度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．先根据等边三角形的性质求出相关角度，再利用折叠性质得到角的等量关系，最后通过三角形内角和定理求出∠AED【详解】∵△ABC∴∠A∵DF⊥∴∠DFB∴∠BDF由折叠可知，∠ADE∵∠BDF∴∠ADE∴∠AED故答案为：45°．31．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在△ABC中，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB=2α，连接B'【答案】90°-【分析】连接BB'，过点B'作B'E⊥BC于E，B'F⊥AC于F，可得△【详解】解：如图，连接BB'，过点B'作B'E⊥BC于E由折叠可知，∠BAD∴∠BA∴△AB∴AB∵B'C平分∴∠AC又∵B'∴B'在Rt△BBB'∴Rt△∴∠B∴∠B即∠ABC∵∠ACB∴∠ABC∴∠A故答案为：90°-α【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．题型四探究等边三角形中的三角板问题32．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有30°角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,AC=6,BC=23，点E，【答案】6【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将EP+BP的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'E⊥AB交【详解】解：如图：作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'E⊥AB交AC于点由题意可得两块完全相同的含有30°的三角板可以拼成一个等边三角形，∴BP=∴EP+BP=EP+B'P∴EP+BP∵B'E∴B∴EP+BP的最小值为故答案为：6．33．（22-23八年级上·山西长治·期末）如图，某同学拿着含45°角的直角三角板绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连结BM，与AC相交于点O．已知CM=4，则OC的长为【答案】2【分析】连接AM，由题意可得△ACM为等边三角形，AC=CM，再根据AB=BC，CM【详解】如图，连接AM，∵含45°角的直角三角板绕点C逆时针旋转60°得到△MNC∴CA=CM=4∴△ACM∴AM=∵AB=BC，∴BM垂直平分AC，∴OC=故答案为：2．【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．34．（21-22八年级上·山西临汾·期末）实践与探索：在数学综合与实践课上，老师让同学们以“两个含30°角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动．(1)将两个三角板较长的直角边靠在一起，拼成了如图1所示的三角形，则ΔABC是三角形，理由是

(2)经过拼摆，发现小组认真观察图1，得到了一个结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，并给出了证明的一部分．请将证明过程补充完整．已知：如图2，ΔABD是直角三角形，∠D=90°,∠证明：如图3，延长BD至点C，使CD=BD，连接∴BD=(3)实验小组受到了发现小组的启发，将图1中的ΔACD以点D为旋转中心，按逆时针旋转α(α<90°)，旋转后得到ΔA'C'D，如图4问题一：求证DO平分∠AD问题二：当点A恰好在A'D的垂直平分线上时，则∠AOD【答案】(1)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形(2)详见解析(3)问题一：见解析；问题二：120【分析】（1）由全等三角形的性质得AB=AC,∠（2）延长BD至点C，使CD=BD，连接AC．证ΔABD≌ΔACD(SAS)（3）问题一：连接AA'，证ΔADO问题二：连接AA'，由旋转的性质得AD=A'D，再由线段垂直平分线的性质得AA【详解】（1）解：由题意得：ΔABD∴AB=∴∠BAC∴ΔABC是等边三角形（有一个角为60°故答案为：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，（2）证明：如图3，延长BD至点C，使CD=BD，连接∴BD=在ΔABD和ΔBD=∴ΔABD∴AB=∴∠BAC∴ΔABC∴BC=∴BD=（3）问题一：证明：如图4，连接AA由旋转的性质得：∠OAD∴∠DA∴∠OA∴OA=在ΔADO和ΔAD=∴ΔADO∴∠ADO∴DO平分∠AD问题二：解：如图5，连接AA由旋转的性质得：AD=∵点A恰好在AD的垂直平分线上，∴AA∴AA∴ΔA∴∠AD由问题一可知，OD平分∠AD∴∠ADO∴∠AOD故答案为：120．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．题型五探究等边三角形中的动态问题35．（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t(1)当t=时，△(2)如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发．那么当t取何值时，△(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．试问线段DE【答案】(1)3(2)当t为2s或4s时，(3)DE的长度不变化，为3【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=BC=AC=6cm，∠A（2）分两种情况：当∠APQ=90°时，当（3）过点Q作QF⊥AC交AC的延长线于F，证明△APE≌△CQFAAS，得出AE=CF，【详解】（1）解：∵△ABC∴AB=BC=∵△PAC∴∠APC∴∠ACP∴AP=∵动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动，设点P的运动时间为ts，∴t=3÷1=3（2）解：∵△PAQ∴分两种情况：当∠APQ则∠AQP∴AQ=2由题意可得：AP=∴AQ=∴6-t解得：t=2当∠AQP则∠APQ∴AP=2∴t=2解得：t=4综上所述，当t为2s或4s时，（3）解：DE的长度不变化，为3cm如图，过点Q作QF⊥AC交AC的延长线于∵PE⊥AC，∴∠AEP∵∠QCF∴∠A∵AP=∴△APE∴AE=CF，又∵∠PDE∴△PDE∴DE=∵EF=CE+∴EF=∴DE=∴DE的长度不变化，为3cm【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．36．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交(1)如图1，求证：EF=(2)如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．（1）根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，根据题意可推出AE（2）由△ACF≌△AEF，结合题意可推出CF=BM，∠ACF=∠ABM，证明△ABM≌△ACF，得到AM【详解】（1）证明：∵AF平分∠∴∠∵AB∴在△ACF和△AEF中，∴△∴EF（2）如图，在BE上截取BM=EF，连接∵△ACF≌△∴在△ABM和△AB=∴△ABM∴∵∴△ABC∴∠BAC∴∠MAF∵∴△AMF题型六探究等边三角形中线段关系37．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知△ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP(1)如图1，点E在AC边上，且AE=BP，连接BE交CP于点①求证：BE=②填空：∠BFC=______(2)如图2，将CP绕点C顺时针旋转120°至CQ，即CP=CQ，∠PCQ=120°，连接BQ交AC于点D，试确定(3)如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，使CE=BP，连接QE，DE．在点P运动过程中，当S【答案】(1)①详见解析；②∠(2)4(3)12【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．（1）①证明△ABE≌△BCP（2）在AC上截取AE=BP，连接BE，QE，证明（3）延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM．证明△ACP≌△【详解】（1）①证明：∵△ABC∴AB=BC，在△ABE和△BCP中∴△ABE≌△∴BE=②∵△ABE∴∠AEB∴∠故答案为120°；（2）如图2，在AC上截取AE=BP，连接由（1）可知，BE=CP，∵CP∴BE=∵∠QCP∴∠BFC∴BE∴∠EBD=∠CQD，在△EBD和△CQD∴△EBD∴∵AE∴BP（3）如图3，延长CE至M，使CM=BC=4∵∠ACP=∠QCM=120°-∠ACQ∴△ACP∴∠M=∠A∵CE=BP，则∴△EMQ∵S∴S∴CE:EM∴S∵S∴S由（2）可知BD=QD，则∴故答案为：12538．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，连接BD，点C关于BD的对称点为点E，连接BE(1)若AB是∠DBE的平分线，求∠(2)如图2，连接EA并延长交BD的延长线于点F，∠F=60°，试探究EA，AF和【答案】(1)∠(2)BF=AE+2【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．（1）设∠EBA=∠ABD=α，根据对称得出∠CBD=∠（2）连接CF，在BF上截取FG=AF，连接AG，可推出∠AGB=∠AFC=120°，进而得出△【详解】（1）解：设∠EBA∵点C与点E关于BD对称，∴∠CBD∵△ABC∴∠ABC∴∠ABD∴3α∴α=20°∴∠ABD（2）解：BF=AE+2连接CF，在BF上截取FG=AF，连接∵点C与点E关于BD对称，∴CF=EF=AE∴△AGF∴∠AGF=60°，∴∠AGB∵∠ADB=∠∴∠ABD∵AB∴△ABG∴BG∴BF39．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r(1)连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC(2)深入探究如图2，将“在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG(3)理解与应用如图3，当点P在△ABC外时，PE、PF【答案】(1)PE(2)PE+(3)PE+【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）PE、PF、CM替代r1+r2=h，中的r1，r2【详解】（1）解：PE+故答案为：PE+（2）解：PE+连接AP、则S△∵等边三角形ABC，∴AB=∵PE⊥∴12∴12∴PE+（3）解：PE+连接AP、则S△∵等边三角形ABC，∴AB=∵PE⊥∴12∴12∴PE+题型七等边三角形中的多结论问题判断正误40．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A，C，E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②∠ADB=60°；③AP=BQ；④△A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】由等边三角形的性质，证△ACD≌△BCESAS，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到∠CAD=∠CBE，结合对顶角相等可推出∠AOB=∠ACP=60°，然后根据三角形外角的性质，即可判断②【详解】解：∵△ABC和△∴AC=BC，CD=∴∠ACB∴∠ACD在△ACD和△AC=∴△ACD∴AD=故①结论正确；∵△ACD∴∠CAD又∵∠APC∴∠AOB∵∠AOB是△∴∠AOB∴∠ADB故②结论错误；∵∠PCQ∴∠ACP在△ACP和△∠CAP∴△ACP∴AP=故③结论正确；∵△ACP∴PC=又∵∠PCQ∴△PCQ故④结论正确；∴∠CPQ∴∠ACP∴PQ∥故⑤结论正确；即正确结论的是①③④⑤，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．41．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G．DF交BC于点P．则下列结论：①BE=CG；②△A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，利用等边三角形的性质得到∠B=∠ACB=60°，则∠GCF=∠ACB=60°，则可根据“AAS”判定△BDE≌△CFG，所以BE=CG；于是可对①进行判断；利用DE=FG可判断△EDP≌△GFP，则可对②进行判断；由于只有当【详解】解：∵△ABC∴∠B∵∠GCF∴∠B∵DE⊥BC于E，FG⊥∴∠DEB在△BDE和△∠B∴△BDE∴BE=所以①正确；在△EDP和△∠DPE∴△EDP所以②正确；∵∠BDE∴只有当PD⊥AB时，所以③错误；∵△EDP∴EP=∵BE=∴EG=∴EP=所以④正确．故选：D．42．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角二角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD分别交①∠BAC=4∠ADC；②DF=AH；③其中一定正确的是．【答案】①②④【分析】根据等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质可得△CAD是等腰三角形，∠CAD=150°，求解可知①正确；由等腰直角三角形的性质以及三线合一定理得出∠DAE=45°，由三角形的内角和可求出∠BAH=∠ADF，通过证明△ADF≌△BAH即可得到DF=AH；BH=AF，可知②正确，由∠FAP=30°AH⊥CD，可得AF=2PF，BH【详解】解：∵△ABC∴∠BAC=60°，∵△ABD为等腰直角三角形，∠∴AB=AD，∴△CAD是等腰三角形，∠∴∠ADC∴∠BAC故①正确；∵∠ADB=∠ABD∴∠EDF=30°又∵AE⊥∴∠AFG=∠EFD∵AH⊥∴∠FAP=90°-∠∴∠BAH在△ADF和△∠ADF∴△ADF∴DF=AH，故②正确；∵∠FAP=30°，∴AF=2∴BH=2PF，故如图，取AD的中点Q，连接QP，QE，∵∠APD∴PQ=∴∠QPD∵∠DAP∴∠QPA=∠QAP∴∠AQP=180°-2×75°=30°，∴∠PQE∴△PQE∴∠QPE=60°∴∠EPD=60°-15°=45°，故故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解决本题的关键．43．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知∠ADC=120°，∠ABC=60°．“筝形”①△ABC②AD=③S四边形④点P、Q分别在线段AB、BC上，且∠PDQ=60°，则其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】由“筝形”的性质可得AB=BC，AD=CD，根据等边三角形的判定即可得出结论，故可判定①；证明△ABD≌△CBDSSS，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠CDB=60°，由直角三角形的性质即可得出BD与AD的数量关系，故可判定②；由面积关系可求出四边形ABCD的面积，故可判定③；延长【详解】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，∴AB=BC，∵∠ABC∴△ABC是等边三角形，故结论①∴∠BAC∵AD=CD，∴∠DAC∴∠DAB在△ABD和△AD=CD∴△ABD∴∠ABD∠ADB∴AD=12∵∠DOA∴BD⊥∵S四边形ABCD=如图所示，延长BC到E，使CE=AP，连接DE∵∠DAB∴∠DAB在△DAP和△DA=∴△DAP∴∠ADP=∠CDE∵∠